一道橢圓試題的解析與拓展

江蘇省南通市海門第一中學(226100)黃丹

在圓錐曲線中,兩條焦點弦互相垂直是一種重要的位置關系,2024 屆黑龍江省哈爾濱師范大學附屬中學高三上學期開學考試數學第21 題反映的就是橢圓滿足這一關系的一道優質試題,本文對該試題的解法、變式及結論推廣等進行深入探究.

1 試題呈現

題目(2024 屆哈爾濱師大附中高三上學期開學考試第21 題) 如圖1,橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為,過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD,當直線AB的斜率為0 時,|AB|=4.

圖1

(1)求橢圓的方程;

(2)求使|AB|+|CD|取最小值時直線AB的方程.

2 解法探究

以下重點研究第(2)小題的解法.

分析1在對兩條直線AB與CD的斜率是否存在或是否為0 討論的基礎上,根據垂直關系分別設出直線方程,然后把直線方程與橢圓方程聯立,利用韋達定理分別表示出|AB|,|CD|,最后通過配湊、變形,利用均值不等式求解.

解法1當直線AB與CD中一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在時,由題意知|AB|+|CD|=7,不滿足條件.

當且僅當3+4k2=3k2+4,解得k=1 或k=-1,即AB的方程為x-y-1=0 或x+y-1=0 時上式取等號.

點評解法1 首先設出直線的點斜式方程與橢圓方程聯立,然后利用韋達定理“設而不求”,最后運用均值不等式達到求解的目的.這一解法思路清晰,是求解直線與圓錐曲線關系問題的常規思路方法.

分析2由題意知AB與CD是過橢圓右焦點F且互相垂直的兩條弦,我們聯想到橢圓第二定義,設角利用第二定義轉化為三角函數知識求解.

解法2由題意可知橢圓的右焦點為F(1,0),右準線為離心率為設右準線與x軸的交點為K,過點A作右準線的垂線,垂足為A1,過點A作x軸的垂線,垂足為H.設直線AB的傾斜角為α,則

點評解法2 設出直線的傾斜角α,然后應用橢圓第二定義并結合幾何圖形特征,將問題轉化為角α的三角函數,利用三角函數知識求解.

3 變式探究

試題的題設條件和第(1)小題不變,只對第(2)小題進行變式探究.

變式1如圖1,橢圓C:的離心率為,過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD,當直線AB的斜率為0 時,|AB|=4.

(1)求橢圓的方程;

(2)求使|AB|·|CD|取最小值時直線AB的方程.

簡解由上面解法2 可知下同解法2.

變式2如圖1,橢圓C:的離心率為,過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD,當直線AB的斜率為0 時,|AB|=4.

(1)求橢圓的方程;

簡解由于AB⊥CD,所以由變式1 簡解知,下同解法2.

4 結論推廣

對于橢圓而言,兩條焦點弦互相垂直是一種重要的位置關系,從試題和兩個變式可以看出,當兩相互垂直的焦點弦的長度的和或積取最小值時,兩弦所在直線的斜率分別為1或-1,于是便可得到弦所在直線的方程.下面主要關注關于橢圓的兩條互相垂直的焦點弦的幾個“最值”性質,并予以歸納和證明.

結論1過橢圓C:的焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD,則|AB|+|CD|的最小值為最大值為

證法1不妨設F為C的右焦點,設橢圓E的焦距為2c(0 ＜c＜a),則F(c,0).當直線AB、CD的斜率存在且不為0,設直線AB的方程為x=ty+c(t?=0),代入1 中整理得設A(x1,y1),B(x2,y2),則

因為AB⊥CD,設直線CD的方程為

令g′(x)=0,得x=1,且當0 ≤x＜1 時,g′(x) ＜0; 當x＞1 時,g′(x)＞0.所以g(x) 在[0,1) 上單調遞減,在(1,+∞) 上單調遞增,所以g(x) 在x=1 處取得最小值故|AB|+|CD|的最小值為2ab2·

美國紐約電影學院也開設關于“聲”和“形”的課程，但是在教學內容上與影視表演人才培養結合的更為緊密也更具有針對性。該學院開設《Voice》課程，準確的含義是《聲音》課程，旨在通過科學合理的訓練方法挖掘演員自身的嗓音，而不是單純追求類似于美聲演唱渾厚充滿共鳴的聲音。而在關于“形”的課程設置上，美國紐約電影學院開設的相關課程主要目的是開發演員的肢體語言或者說肢體表情，讓演員在表演過程中充分運用自身的肢體語言；而其他與“形”有關的課程則針對職業技能需求，如針對社交場合的交誼舞以及針對動作戲的《格斗技巧》課程。

又由于當t→0 和t→+∞時,|AB|+|CD|的趨勢相同,所以由函數g(x)的單調性可知當t=0 時,|AB|+|CD|取得最大值為此時直線AB、CD有一條的斜率不存在.故得證.

證法2不妨設F為橢圓的右焦點(c,0),右準線為離心率為如圖1,設右準線與x軸的交點為K,過點A作右準線的垂線,垂足為A1,過點A作x軸的垂線,垂足為H.設直線AB的傾斜角為α,則

因為AB⊥CD,同理可得|CD|=所以

結論2過橢圓C:=1(a＞b＞0)的焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD,則|AB|·|CD|的最小值為最大值為4b2.

簡證由結論1 的證法2 可得所以

結論3過橢圓C:=1(a＞b＞0)的焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD,則四邊形ACBD的面積S的最小值為最大值為2b2.

簡證因為AB⊥CD,所以由于·|AB|·|CD|,結合性質2 易得四邊形ACBD的面積S的最小值為最大值為2b2.

5 類比推廣

圓錐曲線之間有許多類似的性質,類比上述橢圓的結論,我們可以得到以下雙曲線和拋物線的部分結論.

結論4過雙曲線C:=1(a＞b＞0)的焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD,則當a?=b時,|AB|+|CD|的最小值為當a=b時,|AB|+|CD|的最小值為

說明由于雙曲線的復雜性,該結論證明的篇幅過長,這里從略.

結論5過拋物線C:y2=2px(p＞0)的焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD,則|AB|+|CD|的最小值為8p.

證明由題意可知直線AB,CD的斜率均存在且不為0.設直線AB的方程為不妨設k＞0,將其與拋物線方程聯立,得k2x2-p(k2+2)x+所以判別式

設A(x1,y1),B(x2,y2),則根據拋物線的定義,得

因為AB⊥CD,所以設直線CD的方程為將其與拋物線方程聯立得即x2-p(2k2+1)x+=0.設C(x3,y3),D(x4,y4),則x3+x4=p(2k2+1),根據拋物線定義,得

因此

結論6過拋物線C:y2=2px(p＞0) 的焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD,則|AB|·|CD|的最小值為16p2.

簡證由結論5 的證明可知,|AB|=2p(k2+1),所以

結論7過拋物線C:y2=2px(p＞0)的焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD,則四邊形ACBD的面積的最小值為8p2.

簡證由結論6 可知,|AB|·|CD| 的最小值為16p2.因為AB⊥CD,即四邊形ACBD的兩條對角線互相垂直.根據結論:“對角線互相垂直的四邊形的面積等于它的兩條對角線長的乘積的一半”可知,四邊形ACBD的面積為當且僅當即k=±1 時,等號成立.故四邊形ACBD的面積的最小值為8p2.得證.