利用同構法探究圓錐曲線雙切線問題

華南師范大學數學科學學院(510630)吳悅彤

本文中的同構式是指除了變量不同,結構相同的兩個式子.在解析幾何問題中,有時會出現一些除了變量以外結構完全相同的式子,解題時利用其同構的特點,尋求其與問題的內在聯系,進而利用同構后的某種性質進行解題,這種同構法會給解題帶來極大方便,在運用同構法解題時,我們要先識別出“形相似”,進而得到“同構式”,這是運用同構法解題的關鍵.

2021 年高考乙卷理科第21 題以解析幾何知識作為命題內容,此題的命題背景是阿基米德三角形,是一道典型的拋物線“雙切線”問題,由于“雙切線”的結構相似,所以常常可以利用同構法解題.

1 試題及其解析

題目已知拋物線C:x2=2py(p＞0)的焦點為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1 上點的距離的最小值為4.

(1)求p;

(2)若點P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點,求ΔPAB面積的最大值.

本題的第(1)問較簡單,本文只研究第(2)問,解法有多種,本文運用同構法解決此題.

同構解法一由(1) 得拋物線C的方程為x2=4y.設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則拋物線的切線PA的方程為y-y1=(x-x1).點P在切線上,所以即

同理可得

所以直線AB的方程為2y-x0x+2y0=0.將其與拋物線方程聯立,由韋達定理得x1__+x2=2x0,x1x2=4y0.所以

點P到直線AB的距離所以

由-5 ≤y0≤-3,得當y0=-5 時,SΔPAB取得最大值為證畢.

評注發(fā)現切線PA,PB“形相似”,先求出點A,B的切線方程,利用兩切線共點,進而得到“式同構”,從而發(fā)現A,B兩點都在直線2y-x0x+2y0=0 上,巧妙地求得動弦AB的方程,體現了同構思想.其難點在于考生從同構式中抽象出動弦AB的直線方程.

同構解法二由(1) 得拋物線C的方程為x2=4y.設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則切線PA的方程為將點P(x0,y0)代入得

同理可得

由于x1,x2均滿足方程x2-2x0x+4y0=0,由韋達定理:

x1x2=4y0.設弦AB的中點為Q,則所以PQ//y軸,從而

又

評注利用同構式,構造一元二次方程,再利用韋達定理得到兩切點的關系式,從而根據圖形特征巧妙利用分割得到ΔPAB面積表達式.其難點在于考生從式中發(fā)現圖形的特別之處.

2 第(2)問的變式

原題中,拋物線兩切線的交點在某一曲線上運動,引發(fā)兩條切線運動,從而導致拋物線切點弦的運動,反過來,滿足某一運動規(guī)律的拋物線切點弦,會導致該拋物線的兩條切線發(fā)生變化,從而導致兩切線的交點發(fā)生運動,那么此時交點的軌跡如何? 兩種情況的“主動”對象和“被動”對象相反,但所含的元素類似,均為拋物線的“雙切線”問題,是否仍然能根據“雙切線”的“形相似”,用同構法求解? 下面給定拋物線的切點弦滿足的運動規(guī)律為:切點弦所在直線為圓x2+(y+4)2=1 的切線,得到以下命題:

變式1已知拋物線C:x2=4y與圓M:x2+(y+4)2=1,點Q為M上一動點,過點Q作M的切線與C相交于A,B兩點,若拋物線C在A,B兩點處的切線相交于點P,求點P的軌跡方程.

證明設A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x3,y3),P(x0,y0).圓M在點Q處切線的斜率為則圓M在點Q處的切線方程為x3x+(y3+4)(y+4)=1,即直線AB的方程為x3x+(y3+4)(y+4)=1.因為拋物線的切線的斜率為,所以切線PA的方程為2y-x1x+2y1=0,由于點P在切線上,所以2y0-x1x0+2y1=0.同理得,切線PB的方程為2y0-x2x0+2y2=0,所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.因為x3x+(y3+4)(y+4)=1 與x0x-2y-2y0=0表示同一條直線,所以即y3=代入x2+(y+4)2=1,得聯立方程組得x2-2x0x+4y0=0.因為直線AB與拋物線有兩個不同的交點,所以所以(y0-4)2-1,即所以y0＞或因此,點P的軌跡是雙曲線的一部分,其方程為證畢.

3 第(2)問的推廣

如果將確定的拋物線改為任意的拋物線、橢圓,將確定的圓改為圓心在y的負半軸軸上的任意的圓(由對稱性,本文只討論圓心位于y軸的負半軸的情形,圓心位于y軸的正半軸的情形類似可求),是否仍有當點P運動到圓的最低點時,ΔPAB的面積最大?

通過探究發(fā)現上述問題的答案是否定的,利用同構法討論當點P運動何處時,ΔPAB的面積最大,并獲得以下命題:

命題1已知拋物線C:x2=2py(p?= 0) 和圓M:x2+(y+m)2=r2(m,r＞0),若點P(x0,y0) 在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點.

(1)當p＜0 時,ΔPAB不存在.

(2) 當p＞0 時,若0 ＜r≤p,則當y0=-m-r時,ΔPAB的面積最大,最大值為若r＞p,則當y0=-m-p時,ΔPAB的面積最大,最大值為

證明(1)當p＜0 時,拋物線C開頭向下,切線PA,PB不存在,所以ΔPAB不存在.

(2)當p＞0 時,拋物線C開口向上.若m＞r＞0,拋物線C與圓M無交點.則y0∈[-m-r,-m+r]時,切線PA,PB存在,ΔPAB存在;若r≥m＞0,拋物線C與圓M有交點,聯立圓M與拋物線C的方程得y2+2(m+p)y+m2-r2=0,解得所以當y0∈時,切線PA,PB存在,ΔPAB存在.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則拋物線C的切線PA方程為將P(x0,y0) 代入得y0-y1=整理得py1-x0x1+py0=0.同理得py2-x0x2+py0=0,所以直線AB的方程為

點P到直線AB的距離所以ΔPAB的面積為

命題2已知橢圓C:= 1(a＞b＞0)和圓M:x2+(y+m)2=r2(m,r＞0),若點P(x0,y0)在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點.

(1)當m+r≤b時,ΔPAB不存在;

(2)當m+r＞b時,當y0=-m-r時,ΔPAB的面積最大,最大值為

證明(1)當m+r＜b時,圓M在橢圓C內部,此時切線PA,PB不存在,ΔPAB不存在;當m+r=b時,點A和點B重合,ΔPAB不存在.

(2)當m+r＞b時,設區(qū)間Y?[-m-r,-m+r]為使得ΔPAB存在的所有y0的集合.設A(x1,y1),B(x2,y2),y1,y2∈Y,則橢圓C的切線PA的方程為將P(x0,y0)(y0∈Y)代入得= 1.同理可得所以直線AB的方程為聯立直線AB與橢圓C的方程,由韋達定理得

故

點P到直線AB的距離所以ΔPAB的面積為

一族平面直線的“包絡”是指與這族直線中任意一條都相切的曲線.在命題2 的探究過程中發(fā)現,當m＞r＞0,即拋物線C與圓M無交點時,動點P在圓上運動時,動直線AB隨之變化,利用GeoGebra 軟件跟蹤動直線AB的軌跡,可以看到動直線AB形成的區(qū)域的邊界像是中心在y軸上的雙曲線(如圖1),于是猜想動直線AB包絡成一雙曲線.

圖1

引理1[1]設A,B,C是關于x,y的函數,以λ為參變量的方程Aλ2+Bλ+C=0 表示的曲線族的包絡線是B2-4AC=0.

命題3已知拋物線C:x2=2py(p＞0) 及圓M:x2+(y+m)2=r2(m＞r＞0),P為M上一動點,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點,則切點弦AB所構成的直線族的包絡線為雙曲線

證明由命題2 中式可知,切點弦AB所在直線的方程為py+py0=x0x,兩邊同時平方得p2y2+代入,得由引理1 知,直線族py-x0x+py0=0 的包絡線是(2p2y+2mx2)2-4(p2+x2)(p2y2+m2x2-r2x2)=0,化簡并變形得因此,滿足r2(m＞r＞0)的直線族py-x0x+py0=0(p＞0)的包絡線是一雙曲線.

注對于m＞r的情況,由于拋物線與圓有交點,所以存在y0使得切線PA,PB不存在,所以動直線AB不存在,因此,當m＞r時,切點弦AB所在直線的包絡線是一不完整的雙曲線.

下面的問題是一個與包絡線有關的問題,供有興趣的讀者思考.

題目(2020 年北大強基計劃)從圓x2+y2=4 上的點向橢圓C:引切線,兩切線間的線段稱為切點弦,則橢圓C內不與任何切點弦相交的區(qū)域的面積為()

結束語“問題是數學的心臟”,通過問題引發(fā)探究,發(fā)現新內容.教師通過探究問題的變式及一般情形,加深對此類問題的理解,才能站在更高的角度看問題,同時可以發(fā)現推廣到橢圓和雙曲線時,解題思路類似,同樣可以運用同構法解題.因此,一方面教師可根據上述命題命制題目,作為原題的變式題讓學生嘗試解決,另一方面,教師可提問學生“改變拋物線或圓的方程,是否仍有:當點P 運動到圓的最低點時,ΔPAB 的面積最大? ”,從而引發(fā)學生探究,使學生在鞏固運用同構法解決圓錐曲線雙切線問題的同時,提高問題意識,培養(yǎng)創(chuàng)新能力.