在充分體驗與對比理解中把握周長本質

任存金

一、描一描，在對比中建立正確的周長概念

課始，鄧老師讓學生猜一猜周長可能跟學過的什么知識有關，并讓學生說一說周長可能是物體或圖形哪里的長度。接著，讓學生找一找學習單中的物體或圖形是否有周長，如果有，就在下面的括號里畫“√”，再拿出彩筆，把它的周長描出來。（學生作品如圖1所示）

師：對于樹葉的周長，有兩種不同的畫法，你們贊同誰的，為什么？

生：我贊同頭兩個同學，因為他們都是畫的一周邊線；我不贊同第三個同學，因為他把里面的這條線也畫了。

師：還有哪個圖形也有這樣的問題？（五角星）

師：通過對樹葉與五角星的對比，我們明確了周長就藏在圖形的邊線上。現在，我們把目光聚焦在角上。有同學認為角有周長，也有同學認為沒有，你同意誰的觀點？

生1：角有周長。因為它從起點到終點也有長度，所以我覺得它是有周長的。

生2：角沒有周長。因為畫周長要從起點開始，然后回到起點，但是這一條邊回不到起點，所以角沒有周長。

生3：角沒有周長。因為有周長的圖形都是封閉圖形，角不是封閉圖形，所以角沒有周長。

生4：我本來認為角有周長，但聽了同學們的講述后，我也覺得角是沒有周長的。因為角沒有完整的一周，所以它沒有周長。

【賞析】本環節，鄧老師為學生提供了五種素材來構建周長的概念——既有標準樣例“課本封面”和“正方形”，又有非標準樣例“樹葉”和“五角星”，還有反例“角”。鄧老師以“描畫周長”這一探究任務，讓學生自主表征對周長的理解，并在此過程中暴露認知沖突。非標準樣例和反例的各自對比，學生在生生交流中打破了思維定式，建立了正確的周長概念。

二、轉一轉，在對比中了解長度的可累加性

師：數學書封面的周長有多長？老師把它畫在黑板上，你們什么時候覺得該停了，就喊停。

師：那感覺準不準呢？你們有什么辦法驗證一下？

生：可以通過“轉一轉”，把數學書的四條邊依次畫在這條橫線上。

師：小助手來轉書，老師幫你們打記號。

師：看來咱們剛才估計得少了，那老師把它補齊。現在這條線段能代表課本封面的周長了嗎？到底有多長呢？小助手來量一量。（91厘米）

師：奇怪了，你們看課本的封面，它不大呀，怎么它的周長會有這么長呢？

生：因為數學書有四條邊，四條邊的長度加起來就會有91厘米。

師：剛才咱們把課本封面的四條邊放在了一條線段上，一眼就能看出它的周長有這么長。

【賞析】與單一線段長度不同，周長是圍成圖形所有邊線的長度總和，學生較難直觀感知周長的長短。鄧老師通過操作活動，把二維圖形的邊線轉移到一維邊線上，讓學生感知線段長度的可累加性，學生能更加直觀地理解周長的含義。另外，通過等量的轉移，將課本封面的四條線段合并成一條完整的線段，也溝通了直邊圖形與曲邊圖形周長測量方法的聯系，讓學生感悟到周長測量方法的一致性。

三、量一量，在對比中體悟方法的靈活性

師：老師給你們帶來了一些圖形，還給你們準備了繩子和尺子，想想看，怎樣利用這些工具來測量它們的周長？（圖2）

師：前面三個圖形，它們測量的結果比較一致，誰能說一說是怎么測量的？

生1：我量了三角形的三條邊，把它們的長度加起來就是三角形的周長。

生2：正方形要量四條邊再相加。

生3：正方形只用量一條邊，然后乘4就可以了，因為四條邊的長度都相等。

師：利用了圖形邊長的特點，巧算周長，太棒了！還有哪個圖形也可以用這樣的好方法？

生：五角星也可以，只要量出它的一條邊，之后再乘10，就可以得出它的周長。

師：你們是怎么得到樹葉周長的？

生：我把繩子繞樹葉一周，再把繩子拉直，繩子的長度就是樹葉的周長。

師：他剛才這一繞，再一拉，就把原本彎曲的邊給變直了，便好測量了，這就是數學上的化曲為直。用這個好辦法測量出樹葉的周長大約是20厘米。

【賞析】鄧老師為學生提供了測量周長的素材，既有一般圖形，又有特殊圖形；既有直邊圖形，又有曲邊圖形。通過對比不同素材周長的測量過程，學生體悟到了周長測量的一般方法和特殊方法，凸顯測量方法的靈活性，豐富了測量活動經驗，發展了量感和空間觀念。

四、練一練，在對比中發展思維的嚴密性

1.練習一。

師：這有兩個圖形，能快速地算出它們的周長嗎？（圖3）

師：將兩個圖形合并在一起，變成了一個新圖形。這個新圖形的周長是多少？（圖4）

2.練習二。

師：老師這兒有一塊大菜地和一塊小菜地，你們猜猜看，誰的周長會更長？（圖5）

師：圖形大周長就長，是這樣嗎？看，一塊長方形的菜地被分成了大小兩塊，現在再請你仔細地觀察對比一下，它們的周長怎樣？

生：我認為兩塊菜地的周長是一樣的。無論是大菜地還是小菜地，其實都是由長方形的一條長、一條寬，再加上中間這條相同的曲線圍成的，那它們的周長當然就一樣長了。

【賞析】練習一通過拼組前后圖形的邊線對比，學生理解了圖形相拼，周長并非原圖形周長的疊加，進一步豐富了學生對周長概念的理解，較好地契合了課始階段操作活動中的非標準樣例樹葉周長和五角星周長。練習二通過猜一大一小兩個平面圖形的周長，學生經歷了根據“圖形大周長就長”的直覺進行的推理，再到結合圖形邊長特征及周長的概念進行的推理，在對比中發現兩個圖形的周長一樣長。巨大的反差，讓學生切實感受到周長的長短只和圖形邊線的總長有關，滲透周長和面積的區別與聯系。學生在不斷地觀察、比較、分析和推理的過程中，去豐富、強化、建構周長的概念，對圖形的周長到底是什么有了更加深刻的認知，發展了推理意識和空間觀念。