基于差分陣列的雙基地EMVS-MIMO雷達高分辨多維參數估計

潘小義 謝前朋 孟曉明 陳吉源 艾 夏 劉佳琪

①(國防科技大學電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室 長沙 410073)

②(解放軍 95913部隊 沈陽 110041)

③(陸軍裝備部駐南京地區軍事代表局駐上海地區第二軍事代表室 上海 200031)

④(試驗物理與計算數學國家重點實驗室 北京 100076)

1 引言

近年來，雙基地EMVS-MIMO雷達的多維參數估計問題得到了廣泛的研究[1–5]。由于發射陣列和接收陣列均是電磁矢量傳感器，相比于原始的雙基地MIMO雷達，雙基地EMVS-MIMO雷達不僅能夠實現2維發射角和2維接收角的角度參數估計，還能夠實現發射/接收極化角和發射/接收極化相位差的估計。為了實現對雙基地EMVS-MIMO雷達中的發射4維參數和接收4維參數的估計，文獻[1]首先提出ESPRIT算法，該算法通過利用Khatri-Rao乘積的性質重構EMVS的空間響應，從而實現發射/接收方位角，發射/接收極化角，發射/接收極化相位差的估計。為了降低角度參數和極化參數求解過程中的計算復雜度，文獻[2]提出PM算法，該算法的優勢在于使用低維的數據來實現對接收數據模型信號子空間的近似。文獻[3]進一步對PM算法進行修正，提出發射4維參數和接收4維參數自動配對的PM算法。通過對雙基地EMVS-MIMO雷達陣列接收數據結構特性的利用，文獻[4]基于3階張量模型提出平行因子分解算法。文獻[5]通過把陣列接收數據協方差矩陣構建成4階張量模型，提出高階奇異值分解算法。高階奇異值分解算法的優勢在于較好的參數估計性能，但算法的計算復雜度較高。針對相關信源的多維參數估計問題，文獻[6]基于空間平滑技術來實現對發射角和接收角的角度參數估計。文獻[7]利用極化多樣性平滑技術來實現去相關操作。文獻[8]通過把發射/接收空間響應矩陣合并到信號矩陣中來構建新的接收信號模型，然后對該信號模型進行解相關處理獲得相應的發射角和接收角的角度參數估計。但是，文獻[6–8]中所提的算法無法實現對相關信源的發射/接收方位角，發射/接收極化角，發射/接收極化相位差的估計。文獻[9]通過構建廣義空間平滑矩陣實現了對雙基地EMVS-MIMO雷達中相關信源的8維參數有效估計。文獻 [10–12]通過把稀疏陣列結構應用于雙基地EMVS-MIMO雷達的發射陣列和接收陣列來實現對角度參數和極化參數的有效估計。

從以上分析可以看出，針對雙基地EMVS-MIMO雷達的多維參數估計問題，眾學者提出了各種有效的算法。但是，以上文獻所提的算法均是基于原始的陣列結構進行相應的信號處理。根據文獻[13–18]，原始陣列的差分陣列結構能夠進一步提升陣列的孔徑。對于M元半波長均勻線性陣列，其差分陣列的自由度為 2M-1 。因此，為了進一步提升雙基地EMVS-MIMO雷達的多維參數估計性能，本文利用發射/接收EMVS陣列的差分結構來實現高分辨的多維參數的估計。在雙基地EMVS-MIMO雷達中，構建發射/接收EMVS的差分陣列的難點在于空間響應矩陣與陣列導向矩陣的耦合。因此，為了有效地構建發射/接收EMVS陣列的差分陣列，需利用高階張量來對陣列接收數據進行建模。張量結構能夠充分地體現出接收數據的多維空時特性[19–22]。首先，通過對5階張量陣列接收數據在時間維上進行張量外積處理獲得一個8階張量。然后對該8階張量進行張量順序交換和高階張量縮并操作獲得一個新的5階張量，該5階張量結構包含了發射/接收EMVS的差分陣列。再進一步地利用選擇矩陣和張量縮并運算規則可以獲得一個新的3階張量模型，該3階張量模型的第3個維度為36。最后，通過利用平行因子分解算法來實現對發射/接收因子矩陣進行求解來獲得相應的發射/接收4維參數。仿真實驗表明，借助張量處理獲得的差分陣列結構能夠有效地提升雙基地EMVS-MIMO雷達中的多維參數估計性能。

文中 (·)T, (·)H, (·)-1和 (·)?分別表示轉置、共軛轉置、矩陣求逆和矩陣偽逆操作；⊕,?,⊙和?分別表示Hadamard乘積、Kronecker乘積、Khatri-Rao乘積和矢量外積操作；I和1分別表示單位矩陣和全1矩陣； ∠ 和 real(·)分別表示取角度和取實部操作。

2 信號模型

如圖1所示，假設雙基地EMVS-MIMO雷達系統包含M個發射陣列和N個接收陣列，且相鄰發射EMVS和相鄰接收EMVS的陣元間距為半個波長。

圖1 雙基地 EMVS-MIMO 雷達系統

圖2 不同算法的計算復雜度隨快拍數的變化

對于K個空中目標，發射EMVS和接收EMVS的陣列導向矢量可以分別表示為

其中，θtk表示發射俯仰角，θrk表示接收俯仰角，且(θtk,θrk)∈[0,π)；?tk表示發射方位角，?rk表示接收方位角，且(?tk,?rk)∈[0,2π)；γtk表示發射極化角，γrk表示接收極化角，且 (γtk,γrk)∈[0,π/2)；ηtk表示發射極化相位差，ηrk表示接收極化相位差，且(ηtk,ηrk)∈[-π,π),k=1,2,...,K；qtk=[1,ejπsinθtk,...,ejπ(M-1)sinθtk]T和qrk=[1,ejπsinθrk,...,ejπ(N-1)sinθrk]T分別表示發射和接收陣列導向矢量；ctk(θtk,?tk,γtk,ηtk)和crk(θrk,?rk,γrk,ηrk)分別表示發射和接收空間響應矢量。對于一個EMVS，其空間響應c(θ,?,γ,η)的詳細形式為

其中，F(θ,?)∈C6×2表 示空間角度位置矩陣，g(γ,η)∈C2×1表示極化狀態矢量。因此，對于雙基地EMVSMIMO雷達，其單快拍陣列接收數據可以表示為

其中，Qt=[qt1,qt2,...,qtK]表示發射陣列導向矢量矩陣，Qr=[qr1,qr2,...,qrK]表示接收陣列導向矢量矩陣，Ct=[ct1,ct2,...,ctK]表示發射空間響應矩陣，Cr=[cr1,cr2,...,crK]表示接收空間響應矩陣，s(t) 是入射信號，n(t)為噪聲信號。

對于L個采樣快拍，多快拍陣列接收數據可以進一步表示為

其中，At=Qt⊙Ct=[at1,at2,...,atK],Ar=Qr⊙Cr=[ar1,ar2,...,arK] 。從式(5)可以看出，At⊙Ar的維度為 C36MN×K，且陣列接收數據Y滿足多維張量結構特性。為了實現對雙基地E M V SMIMO雷達中的多維參數估計，下面利用高階張量來構建對應于Qt和Qr的差分陣列結構。

3 基于差分陣列的高分辨8維參數估計

3.1 發射/接收EMVS差分陣列的構建

從式(5)可以看出，為了實現對Qt和Qr的差分陣列結構的構建，必須實現對Qt和Ct,Qr和Cr的解耦合處理。首先，為了充分利用陣列接收數據Y中的多維空時結構，一個5階張量χ可以表示為

進一步地，通過利用文獻[19–22]中的張量縮并規則，從8階張量?1中可以得到如下的5階張量

故，為了得到唯一的陣列元素，通過利用選擇矩陣J1和J2來實現對重復元素的去除，J1和J2的構建可以參考文獻[14]中差分陣列的元素對應的不同權重來實現。因此，去除重復元素之后新構建的5階張量為

從式(13)和式(14)可以看出，發射EMVS和接收EMVS的差分陣列有效地實現了陣列自由度的提升。再次利用張量的縮并規則，可以得到如式(15)的3階張量模型

3.2 高分辨多維參數估計

因此，經過以上的處理過程可以得到相應的發射4維參數 (θtk,?tk,γtk,ηtk),k=1,2,...,K。并且，以上處理過程得到的參數不需要額外的角度參數配對過程。

3.3 CRB，計算復雜度和最大可分辨信源數分析

對于雙基地EMVS-MIMO雷達，其發射4維參數(θt,?t,γt,ηt) 和接收4維參數 (θr,?r,γr,ηr)的克拉默-拉奧羅界(CRB) 可以表示為[5]

其中，A=(At⊙Ar)表示發射E M V S 和接收EMVS的聯合發射接收矩陣，ΠA⊥=I36MN-AA?表示矩陣A的投影矩陣，⊕表示 Hadamard 乘積，Rs表示多快拍信號協方差矩陣，18×8表示維度為8×8 的 全1矩陣。D表示聯合發射接收矩陣A對4維發射參數 (θt,?t,γt,ηt) 和 4維接收參數 (θr,?r,γr,ηr)的聯合導數矢量矩陣。

最大可分辨信源數：根據文獻[19]中的Kruskal’s定理，為了實現公式(15)中3階張量分解的唯一性，最大可分辨的信源個數為K應該滿足如式(30)的條件

同時，最大可分辨的信源數K也應該滿足在求解發射俯仰角和接收俯仰角時構建的旋轉不變關系，即

結合式(31)和式(32)可以看出，最大可分辨的信源數K為

因此，經過分析可以看出，本文所提算法能夠有效地實現雙基地EMVS-MIMO雷達中陣列自由度的提升。

4 仿真實驗

實驗1 多維參數估計性能

仿真實驗中發射EMVS陣列的個數M設置為9，接收EMVS陣列的個數N設置為10。假設入射的獨立非相關信源個數K=5，其相應的發射4維參數(θt,?t,γt,ηt) 和接收4維參數 (θr,?r,γr,ηr)分別為θt=[10?:15?:70?],?t=[5?:15?:65?],γt=[15?:15?:75?],ηt=[23?:15?:83?],θr=[15?:15?:75?],?r=[10?:15?:70?],γr=[15?:15?:75?]和ηr=[20?:15?:80?]。另外，信噪比和快拍數分別設置為10 dB和200。噪聲設置為獨立非相關高斯白噪聲，且噪聲與信號相互獨立。

圖3(a)和圖3(b)中的星座圖分別表示2維發射角和2維接收角的角度參數配對情況，圖3(c)和圖3(d)中的星座圖分別表示發射俯仰角和發射方位角，發射極化角和發射極化相差配對情況，圖3(e)和圖3(f)中的星座圖分別表示接收俯仰角和接收方位角，接收極化角和接收極化差位配對情況。因此，從圖3的仿真實驗可以看出，文中所提算法能夠有效地實現對發射4維參數和接收4維參數的估計。

圖3 基于差分陣列的空間譜估計性能

實驗2 不同信噪比下的均方誤差性能

從圖4的仿真實驗可以看出，相比于ESPRIT算法、PM算法和 PARAFAC算法，本文所提算法的均方誤差估計性能明顯優于以上3種算法；相比于Tensor 子空間算法，在信噪比大于 8 dB時，本文所提算法的性能較好，其中圖4中的下標 d 和 p分別表示角度參數和極化參數。通過以上的蒙特卡羅仿真實驗可以看出，本文通過對差分陣列的利用可以明顯地提升雙基地EMVS-MIMO雷達中的角度參數和極化參數估計性能。

圖4 均方誤差隨信噪比的變化

實驗3 不同采樣快拍數下的均方誤差性能

下面驗證不同算法的均方誤差隨采樣快拍數的變化，此時快拍數L的變化范圍為 [40:40:520]，信噪比設置為10 dB，其余仿真實驗參數和實驗2相同。

從圖5的仿真實驗可以看出，隨著快拍數L的增加，各種算法的角度參數和極化參數估計均方誤差呈現減小趨勢，即估計性能均能得到有效的提升。但相比于ESPRIT 算法、PM算法、 PARAFAC算法和Tensor 子空間算法，本文所提算法在采樣快拍數較少時仍然具有較好的角度參數和極化參數均方估計誤差，且角度和極化均方誤差大小均小于 1?。

圖5 均方誤差隨快拍數的變化

5 結論

本文通過對雙基地EMVS-MIMO雷達中發射/接收EMVS的差分陣列的構建有效地實現了對發射4維參數和接收4維參數的高精度估計。本文所提算法的意義在于利用高階張量的運算規則有效地解決了發射/接收電磁矢量傳感器空間響應和發射/接收陣列導向矩陣之間的耦合。該處理過程能夠有效地實現陣列孔徑的倍增，從而提升雙基地EMVS-MIMO雷達中的8維參數的估計性能。并且，本文所提算法的處理流程可以進一步推廣應用于雙基地EMVSMIMO雷達中稀疏發射/接收EMVS的差分陣列結構的構建，從而獲得更大陣列自由度的提升。