無載波超寬帶引信組合脈沖功率譜快速擬合方法

朱 航 侯林勝 康國欽 鄒曉鋆 宋 偉 譚 銘 張淑寧*

①(國防科技大學信息通信學院 武漢 430000)

②(南京理工大學電子工程與光電技術學院 南京 210094)

1 引言

無載波超寬帶無線電信號由于其發射功率低、抗干擾能力強、隱蔽性強等特點，在短距離室內通信及定位中應用廣泛[1]；同時，無載波超寬帶引信也成為近些年來逐漸發展起來的一種全新的無線電近炸引信，具有距離分辨率高、抗截獲能力強、電磁穿透性好等特點[2-5]。然而，由于無載波超寬帶信號帶寬較寬，容易受到各頻段噪聲及干擾影響，因此與傳統無線電信號相比，對發射信號波形有更高要求，在采用無載波超寬帶信號的無線電系統中，很有必要對其波形進行一定設計。

在超寬帶無線通信系統中，由美國聯邦通信委員會(Federal Communication Commission,FCC)所制定的輻射掩蔽標準是唯一可用的脈沖設計準則，為了使超寬帶脈沖頻譜更好符合FCC掩模規范，出現了很多波形設計方法，例如：利用Hermite多項式函數作為脈沖信號[6]，利用其正交性減少干擾；利用近似扁長橢球波[7]設計脈沖波形以滿足FCC掩模規范；而應用較多的，就是利用高斯脈沖波形[8-11]，通過選擇最佳脈沖微分階數和最佳脈沖形成因子的方法來逼近FCC掩模規范。由于用以產生超寬帶脈沖的函數表達式復雜，參數的選擇及波形設計問題求解較困難，因此在許多已提出的方法當中，都基于粒子群優化算法[10,11]在高斯脈沖及其導數波形的基礎上進行求解。

相比之下，雖然現階段對于高斯脈沖無載波超寬帶無線電引信的信號模型、抗干擾性能及目標識別等已有一定研究基礎[2-5]，但是其波形設計問題研究較少。與通信系統中波形設計問題不同，引信系統波形設計不存在像通信當中那樣恒定不變的頻譜或功率譜模板(FCC掩模規范)，可以考慮借鑒雷達系統波形設計思路，通過對回波信號進行分析，掌握目標、環境等相關信息[12]，建立合適的優化函數，通過優化系統的信干噪比[13]、參數估計誤差[14]、相關特性[15]等來產生與不斷變化的目標功率譜相適應的發射波形。然而，上述波形設計方法很多時候需要對非常復雜的目標函數進行不斷的迭代優化以得到最后波形，計算量較大，而考慮到引信系統一般工作在近程探測場景下，且硬件平臺算力有限，難以處理大型優化問題，因此，更為合適的設計途徑，是通過快速對功率譜進行設計，如利用注水算法最大化互信息[13,16]得到擬實現的波形功率譜，再結合功率譜擬合思想[15]，選定多個不同高斯脈沖，將設計波形的功率譜向理想功率譜逼近，達到波形設計的目的，該過程與無線通信中波形設計問題有相似之處，都是在一個功率譜規范下進行組合波形的擬合，然而，超寬帶無線通信系統中更加注重在各頻段范圍內擬合功率譜不超過功率譜規范的特定值，而無線電引信系統中更加注重擬合功率譜與功率譜規范的高度相似性，其設計準則和相關需求是有本質區別的。

本文立足于引信系統，在通過最大化互信息設計出功率譜的基礎上，研究了一種快速無載波超寬帶(Ultra Wide-Band, UWB)組合波形功率譜擬合方法，通過施密特正交化尋基(Orthogonal Basis Searching, OBS)方法快速確定用以進行組合的多個高斯脈沖的相應參數及加權系數，達到擬合設計功率譜的目的。

2 高斯脈沖波形及其組合波形

高斯脈沖函數及其傅里葉變換可描述為

當階數增加，脈沖的峰值頻率也隨之增大，其能量譜密度也同時變寬；同時，當脈沖形成因子增大，信號帶寬也隨之減小。

為獲得更加靈活的無載波超寬帶波形，一般采用的方法是將多個高斯脈沖進行組合，以擬合出需要的功率譜形狀，達到波形設計目的，組合的形式有多種，一般而言包括：多脈沖延時后組合、多脈沖頻移后組合、多個不同階數脈沖組合、多個相同階數脈沖組合等。本文選擇多個相同階數脈沖波形組合的方式進行波形頻譜擬合，組合波形時、頻域表達式為

3 無載波超寬帶組合脈沖功率譜擬合優化問題

無載波超寬帶信號在通信中有著較廣泛應用，為避免對特定頻段電子系統的干擾，在通信當中對超寬帶信號設計所遵循的規則是信號功率譜密度滿足美國聯邦通信委員會所規定的頻譜規范PFCC(f)，即

當箱梁的固端最大彎矩為1.5倍屈服彎矩時，其截面從底板到受壓區腹板的正應力分布較恰好達到屈服彎矩時均勻，如圖14所示，同時，受壓區腹板的壓應力也很大，接近屈服應力，而頂板的拉應力增幅較大并接近屈服。此時整個模型的塑性變形比彈性變形要大很多。綜上所述，在1.5倍的屈服彎矩加上去之后，箱梁截面底板正應力的變化和箱梁豎向正應力的變化均較大，底板正應力趨向于平均，剪力滯效應影響減弱，而豎向正應力也趨向于平均，伴隨較大塑性變形進入塑性狀態。

其中，Es為對波形設計的能量約束。

在上述優化當中，|S(f)|2≤PFCC(f)是一個很重要的約束條件，即要求所設計的信號功率譜在各個頻段范圍內都不高于頻譜規范PFCC(f)中特定值，體現了通信當中所設計的信號波形不對其他通信造成干擾。

然而，對于無載波超寬帶引信的認知波形優化，主要考慮的不是對各個頻段其他信號是否造成干擾的問題，而是需要根據環境及干擾特性，自適應地動態調整信號功率譜，因此不存在像通信當中那樣恒定不變的頻譜規范PFCC(f)。

通過最大化互信息[13,16]來設計最優功率譜P(f)時，需要注意的是，由于引信系統所處環境及干擾特性處于一個時變狀態，也即P(f)是不斷變化的，因此所擬合出的功率譜也要求隨P(f)變化而不斷變化，所以對其擬合實現方法的時效性有一定要求。

與式(6)相比，式(7)少了|S(f)|2≤PFCC(f)約束，也即不要求對各個頻段內其他信號都不造成干擾，而是主要衡量最終確定的波形與所設計功率譜P(f) 的相似程度。為∫實現對信號能量的充分利用，一般其能量約束能夠在求解中實現等號近似成立。 ∫

由于考慮多個高斯脈沖組合時，S(f)表達式復雜，難以通過一般的凸優化算法進行求解。在通信系統中，可以利用粒子群優化算法[10,11]，以求出合適系數，然而，這樣的粒子群優化算法屬于隨機優化，要得到較好的結果，迭代時間較長，不太符合引信波形設計中對計算時效性的要求，因此需要從其他方面著手，研究能夠快速得到優化參數的算法，這也是本文的主要工作。

根據式(2)，不同階數情況下，高斯脈沖頻譜函數表達式中包含有虛數單位 j的k次項，其虛實性以及取值的正負性受到影響，因此，考慮對頻域表達式乘上 j3k消除虛數單位的影響，則擬合誤差可表示為

其中，F為功率譜擬合誤差。下面給出近似求解式(10)優化問題的直接計算方法。

4 基于正交化尋基的組合脈沖功率譜擬合快速方法

然而，這樣一組k階高斯脈沖，總能夠通過施密特正交化得到多個能量為1的頻域函數u1(f)u2(f)...uI(f)，他們同樣能夠線性組合得到

令該序號向量為第1個選定的高斯脈沖所對應的頻域函數，同時記錄脈沖形成因子及能量值

從式(17)可以看出，在每一步循環中，將Ψ1中每一個尚未被選取的候選向量v(m)通過已經被選定的向量{u1,u2,...,ui-1}進行施密特正交化，并歸一化得到ui(m)，構成此次循環的候選向量集Ψi。找出其中與p(i)內積最大的向量序號

判斷是否有i ≥I，若成立，到步驟5；否則，令p(i+1)=p(i)-biui為此次迭代以后的殘留幅度頻譜向量，i=i+1，到步驟4。

步驟5 得到能量向量E=[E1,E2,...,EI]T及形成因子向量a=[a1,a2,...,aI]T，以及矩陣U=[u1,u2,...,uI] ,V=[v1,v2,...,vI]和向量b=[b1,b2,...,bI]T，計算矩陣

理論上，x(t)的頻譜函數所對應的向量就是s=V·c，滿足式(10)所示優化問題的最小化目標值。

5 仿真與分析

通過計算機(16 GB內存，i9-12900H)仿真對本文方法有效性進行了驗證。圖1給出了3例在互信息最大化準則下通過注水算法所設計出的不同頻域點數L=2N+1復雜形狀功率譜。利用本文方法，可以對不同階數(即前文中k取不同值)情況下的組合脈沖波形實現功率譜的快速擬合，達到與設計功率譜的較高相似度。為進行具體分析，此處取k=4為例，進行具體仿真，其中高斯脈沖形成因子取值范圍為a(i)∈[amin=0.002 5,amax=10] ，步進為?a=0.002 5 ，則候選高斯脈沖函數個數為M=4 000。圖2給出了在不同脈沖個數條件下，通過計算出的系數所對應多個高斯脈沖組合所擬合出波形的功率譜與設計功率譜對比圖(為便于觀測，僅給出正頻率部分)。

圖1 不同參數條件下的設計功率譜

圖2 不同4階高斯脈沖個數時的功率譜擬合效果對比

可以看出，不論是考慮L=2N+1為65點、129點或是257點的離散功率譜進行擬合，選用16個或32個高斯脈沖進行參數計算后的組合，都能獲得較好的功率譜擬合效果。

為了更好地比較及分析利用本文方法進行高斯脈沖組合的效果，給出組合波形所擬合功率譜與所設計功率譜之間的每個離散點上平均相對誤差計算公式

圖3通過上述公式，分別計算了考慮L=2N+1為65點、129點及257點離散功率譜條件下，利用不同高斯脈沖個數組合進行不同信號帶寬Bf=2N·?f范圍內功率譜擬合的平均相對誤差。從3張圖中都能夠發現，在相同帶寬條件下，隨著用以進行擬合的高斯脈沖個數的增加，功率譜擬合平均相對誤差有所下降，而且只要用以擬合的高斯脈沖個數大于16個，就能達到較好的擬合精度；同時，在相同高斯脈沖個數條件下，如果擬合功率譜帶寬越大，平均相對誤差越小。而對比這3張圖，可以發現，在相同高斯脈沖個數及相同帶寬條件下，隨著擬合過程中考慮的功率譜離散點數的增加，平均相對誤差會減小。

圖3 不同離散點功率譜擬合平均相對誤差

在圖4中，分別利用粒子群優化算法和本文所提OBS算法，在考慮65點離散功率譜的條件下，給出不同高斯脈沖個數及不同帶寬情況下，功率譜擬合的平均相對誤差及計算時間，從圖4(a)可以發現本文所提方法擬合精度略高于粒子群算法；圖4(b)中，對于本文所提算法給出了平均計算時間，而對于粒子群優化算法，給出的是達到圖4(a)所示精度的平均用時，可以發現，本文所提算法的計算效率要遠遠高于粒子群優化算法。從兩種算法的原理去分析實際上也能很好地解釋圖4中所示仿真結果，粒子群優化算法屬于是完全的隨機優化，是通過足夠多數量的粒子隨機演變，從而覆蓋到局部的極小值點以達到優化目的，因此達到設定閾值的時間相對較長；而本文所提方法相對而言就更加直接，在正交化的基礎上，確保每次迭代所找出的高斯脈沖都是與殘留幅度頻譜最匹配的一個，因此可以達到快速尋優的目的。

圖4 本文所提算法(OBS)與粒子群優化算法(PSO)對比圖

上述仿真結果說明，本文所提方法能夠在設計出功率譜之后，利用施密特正交化，在高斯脈沖信號模板的基礎上，快速確定組合脈沖波形的脈沖形成因子和加權系數，實現功率譜的快速擬合。

6 結束語

本文分析了引信系統相對于通信系統中，對波形設計問題的不同需求及設計準則差異，重點對無載波超寬帶引信的高斯脈沖組合波形功率譜快速擬合問題進行了研究。

本文所提方法在通過最大化互信息設計出功率譜的基礎上，運用施密特正交化，將原本不滿足正交特性的高斯脈沖函數轉化為正交函數集，將相應的加權系數通過內積計算快速確定，在此基礎上逐個確定用以組合的各高斯脈沖函數。從仿真分析中可以看出，本文所提方法與基于粒子群優化的擬合方法相比，擬合精度略有提升的基礎上，計算效率大幅提升，為無載波超寬帶引信認知波形快速設計提供了參考。

需要指出的是，盡管本文方法考慮的是利用最大化互信息對擬實現的功率譜進行設計，然而實際上這僅僅只是為功率譜擬合提供了一個目標模板，與通信系統中波形設計的FCC掩模規范作用相同，如果能夠采用其他效率更高、效果更好的功率譜設計方法，仍然可以利用本文所提方法進行擬合，這也是后續將進一步研究的問題。