復(fù)雜環(huán)境下基于自適應(yīng)卡爾曼濾波的時(shí)間比對(duì)跟蹤算法

程 燕 王海峰 王學(xué)運(yùn) 郭 梁 張升康 葛 軍

(北京無線電計(jì)量測(cè)試研究所計(jì)量與校準(zhǔn)技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100854)

1 引言

在基礎(chǔ)科學(xué)研究、國家基礎(chǔ)建設(shè)等領(lǐng)域中，如電力電網(wǎng)、移動(dòng)通信、軌道交通、現(xiàn)代導(dǎo)航等都需要高精度時(shí)間同步作為基礎(chǔ)保障[1]。隨著人們對(duì)時(shí)間傳遞需求的不斷發(fā)展，時(shí)間比對(duì)系統(tǒng)還需要工作在車載、雷達(dá)等協(xié)同組網(wǎng)系統(tǒng)[2]中，高精度時(shí)間同步是保障組網(wǎng)系統(tǒng)正常工作的關(guān)鍵技術(shù)。在這些系統(tǒng)中，為了盡可能減小通信信號(hào)被偵查和截獲的概率[3]，常常需要采用弱信號(hào)進(jìn)行通信。另外，車載、船載等組網(wǎng)系統(tǒng)通常工作在動(dòng)態(tài)環(huán)境下[4]。因此，時(shí)間比對(duì)系統(tǒng)通常需要工作在弱信號(hào)或者動(dòng)態(tài)等復(fù)雜場景下，在這些場景下時(shí)間同步精度會(huì)大大降低。但是目前的時(shí)間同步系統(tǒng)還主要工作在靜態(tài)和強(qiáng)信號(hào)的場景下，針對(duì)復(fù)雜場景設(shè)計(jì)的時(shí)間同步系統(tǒng)還比較少。因此，為了提高時(shí)間同步系統(tǒng)在復(fù)雜環(huán)境下的時(shí)間同步精度，亟需對(duì)復(fù)雜場景下的高精度時(shí)間同步系統(tǒng)進(jìn)行研究。

目前，雙向時(shí)間比對(duì)技術(shù)是實(shí)現(xiàn)高精度時(shí)間同步的重要手段[5,6]。調(diào)制解調(diào)器是雙向時(shí)間比對(duì)系統(tǒng)的核心組成設(shè)備，解調(diào)器中跟蹤環(huán)路的測(cè)量精度決定了時(shí)間同步的精度。目前雙向時(shí)間同步系統(tǒng)調(diào)制解調(diào)器中跟蹤環(huán)路使用傳統(tǒng)鎖相環(huán)(Phase Lock Loop, PLL)或者鎖頻環(huán)(Frequency Lock Loop,FLL)，但是這些環(huán)路在弱信號(hào)或者高動(dòng)態(tài)等復(fù)雜場景下極其脆弱，很難正常工作。文獻(xiàn)[7]在將卡爾曼濾波(Kalman Filter, KF)算法應(yīng)用于導(dǎo)航接收機(jī)系統(tǒng)中，測(cè)試結(jié)果顯示KF跟蹤相比于傳統(tǒng)跟蹤環(huán)路能夠跟蹤更弱的信號(hào)。

KF性能很大程度上依賴于噪聲統(tǒng)計(jì)特性，算法中噪聲協(xié)方差是預(yù)先設(shè)定好的，在整個(gè)濾波迭代過程中保持不變。但是當(dāng)系統(tǒng)工作在復(fù)雜場景下，實(shí)際環(huán)境的噪聲統(tǒng)計(jì)特性并不是固定不變的，而且很難直接獲得，預(yù)先設(shè)定好的噪聲協(xié)方差很難準(zhǔn)確反映實(shí)際的噪聲情形。此時(shí)不準(zhǔn)確的噪聲協(xié)方差會(huì)影響KF濾波結(jié)果，嚴(yán)重時(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)果或者發(fā)散。因此，需要應(yīng)用自適應(yīng)卡爾曼濾波(Adaptive Kalman Filter, AKF)算法。目前不同的AKF算法主要應(yīng)用于其他領(lǐng)域，比如水面無人航行器[8]、定位系統(tǒng)[9]、慣導(dǎo)系統(tǒng)[10]等，這些AKF算法都是根據(jù)應(yīng)用系統(tǒng)機(jī)理設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)模型和測(cè)量模型，并不適合于其他應(yīng)用系統(tǒng)。目前，還未有合適的AKF跟蹤算法應(yīng)用于時(shí)間比對(duì)調(diào)制解調(diào)器中。因此，需要深入研究調(diào)制解調(diào)跟蹤系統(tǒng)機(jī)理，設(shè)計(jì)合適的系統(tǒng)模型和測(cè)量模型。然后根據(jù)存在弱信號(hào)和動(dòng)態(tài)的復(fù)雜場景，設(shè)計(jì)適合調(diào)制解調(diào)器的AKF跟蹤算法。

本文提出一種利用自適應(yīng)因子調(diào)節(jié)系統(tǒng)噪聲協(xié)方差的AKF跟蹤算法。自適應(yīng)因子可以根據(jù)輸入信號(hào)變化情況自適應(yīng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)噪聲協(xié)方差，從而彌補(bǔ)由于不準(zhǔn)確系統(tǒng)噪聲協(xié)方差導(dǎo)致的模型誤差。通過仿真信號(hào)測(cè)試顯示，相比于傳統(tǒng)PLL跟蹤算法和標(biāo)準(zhǔn)KF跟蹤算法，提出的AKF跟蹤算法可以提高在復(fù)雜信號(hào)場景下的跟蹤魯棒性，并且算法復(fù)雜度不高。因此，本文提出的AKF跟蹤算法，對(duì)于提高動(dòng)態(tài)協(xié)同組網(wǎng)系統(tǒng)中時(shí)間同步精度具有重要意義。

2 時(shí)間比對(duì)信號(hào)模型

微波雙向時(shí)間比對(duì)信號(hào)通常采用碼分多址(Code Division Multiple Access, CDMA)方式，使用偽碼(Pseudo Random Noise, PRN)對(duì)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行擴(kuò)頻。由于PRN碼自相關(guān)可以產(chǎn)生清晰的峰值，不同的PRN碼互相關(guān)值很小，因此PRN碼廣泛應(yīng)用于雙向時(shí)間比對(duì)信號(hào)中。在相同的頻率信道里，可以同時(shí)發(fā)送不同PRN碼的信號(hào)，如圖1所示，節(jié)點(diǎn)1接收節(jié)點(diǎn)2的PRN碼信號(hào)并計(jì)算出到達(dá)時(shí)間(Time Of Arrival, TOA)，節(jié)點(diǎn)2接收節(jié)點(diǎn)1的PRN碼信號(hào)并計(jì)算出TOA，通過這兩個(gè)TOA值，可以得到兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的鐘差值。

圖1微波雙向時(shí)間比對(duì)系統(tǒng)框圖

對(duì)于CDMA方式，接收信號(hào)x(t)可以認(rèn)為是不同PRN碼信號(hào)和加性噪聲的線性結(jié)合，可以表示為

其中，下標(biāo)n表示發(fā)送信號(hào)的節(jié)點(diǎn)n，An表示信號(hào)幅度，cn表示發(fā)送信號(hào)的PRN碼波形，τn表示TOA，ωn表示載波頻率，φn表示載波相位，w(t)表示加性噪聲。對(duì)x(t)進(jìn)行采樣后，輸出的離散采樣信號(hào)xi為

其中，Ts表 示采樣周期，cn,i(iTs-τn)表示i時(shí)刻節(jié)點(diǎn)n的PRN碼延遲了τn的碼相位，wi表示采樣的噪聲。

3 時(shí)間比對(duì)信號(hào)跟蹤環(huán)路及存在問題

3.1 時(shí)間比對(duì)信號(hào)跟蹤環(huán)

數(shù)字中頻時(shí)間比對(duì)信號(hào)經(jīng)過捕獲模塊獲得粗略的參數(shù)估計(jì)值，然后進(jìn)入到跟蹤環(huán)路中。中頻時(shí)間比對(duì)信號(hào)分成兩路，一路與正弦載波相乘，即為I路，另外一路與余弦載波相乘，即為Q路。混頻后的信號(hào)與本地復(fù)制偽碼相乘，用于解調(diào)出時(shí)間信息，得到I,Q兩路積分值。得到的積分值輸入到積分清除器中，濾除高頻成分，保留低頻成分，得到積分值Ip和Qp，可以表示為

其中，k是相關(guān)值更新的索引號(hào)，A表示信號(hào)的幅度，N(k) 表示相關(guān)器中累積的采樣數(shù)，R(τ-τ?)k代表偽碼的自相關(guān)函數(shù)，τ?表示本地即時(shí)支路的偽碼延遲，δf(k) 是載波頻率誤差，單位為Hz，Ts是相干積分時(shí)間，單位為s，δφk表示時(shí)間Ts內(nèi)的平均載波相位誤差值，wI(k)和wQ(k)表示互不相關(guān)的高斯白噪聲，這兩個(gè)噪聲有著相同的功率。

隨后這I,Q兩路積分值輸入到鑒相器中得到相位誤差值，然后輸入到環(huán)路濾波器中，不斷濾波迭代得到載波相位和頻率，用來更新載波數(shù)控振蕩器(Numerically Controlled Oscillator, NCO)。直到本地復(fù)制的載波與輸入的時(shí)間比對(duì)信號(hào)載波相一致，剝離出中頻時(shí)間比對(duì)信號(hào)載波。時(shí)間比對(duì)信號(hào)跟蹤環(huán)路框圖如圖2所示。

圖2 時(shí)間比對(duì)信號(hào)跟蹤環(huán)路框圖

3.2 傳統(tǒng)跟蹤環(huán)存在的問題

目前雙向時(shí)間比對(duì)調(diào)制解調(diào)器中跟蹤環(huán)路使用傳統(tǒng)鎖相環(huán)或者鎖頻環(huán)，但是這些環(huán)路帶寬一直保持不變，不能根據(jù)輸入信號(hào)情況進(jìn)行變化。如果時(shí)間比對(duì)系統(tǒng)工作在動(dòng)態(tài)場景下時(shí)，帶寬需要增大，這樣可以減小跟蹤環(huán)路的動(dòng)態(tài)壓力誤差。但是當(dāng)時(shí)間比對(duì)系統(tǒng)工作在弱信號(hào)場景下，需要延長積分時(shí)間。但是對(duì)于傳統(tǒng)鎖相環(huán)，從s域轉(zhuǎn)換為z域時(shí)只有在Bn·T ?0.5(Bn表示環(huán)路帶寬，T表示積分時(shí)間)時(shí)才有效。因此，為了滿足這個(gè)條件，延長積分時(shí)間就需要減小帶寬，但是減小帶寬又會(huì)影響跟蹤環(huán)路的動(dòng)態(tài)性能。因此，在弱信號(hào)和動(dòng)態(tài)同時(shí)存在的復(fù)雜場景下，傳統(tǒng)跟蹤環(huán)路極其脆弱，很難正常工作。

由于KF跟蹤算法可以自適應(yīng)調(diào)節(jié)跟蹤環(huán)路帶寬，文獻(xiàn)[11]中指出KF跟蹤環(huán)路的等價(jià)噪聲帶寬為

4 提出的復(fù)雜環(huán)境下時(shí)間比對(duì)信號(hào)跟蹤算法

4.1 基于KF跟蹤算法

時(shí)間比對(duì)調(diào)制解調(diào)器中基于KF跟蹤算法的系統(tǒng)模型為

由KF更新迭代過程可知，系統(tǒng)噪聲協(xié)方差Qk的值會(huì)影響卡爾曼增益Kk結(jié)果，根據(jù)式(5)，進(jìn)而會(huì)影響KF跟蹤環(huán)路的等價(jià)噪聲帶寬Bn。當(dāng)Qk較小時(shí)，P?k-會(huì)變小，相應(yīng)的Kk會(huì)變小，從而導(dǎo)致新的測(cè)量值權(quán)重變小。因此，在復(fù)雜場景下，比如動(dòng)態(tài)平臺(tái)下，需要提高Qk的值來提高新的測(cè)量值的權(quán)重[12]。在復(fù)雜弱信號(hào)或者動(dòng)態(tài)場景下，時(shí)間比對(duì)信號(hào)KF跟蹤算法在迭代過程中保持Qk不變，可能會(huì)影響參數(shù)估計(jì)的結(jié)果，嚴(yán)重時(shí)可能會(huì)導(dǎo)致跟蹤環(huán)路失鎖。

4.2 提出的AKF算法

針對(duì)時(shí)間比對(duì)信號(hào)KF跟蹤環(huán)路在復(fù)雜場景下存在的問題，本文提出一種AKF跟蹤算法，應(yīng)用于時(shí)間比對(duì)信號(hào)跟蹤環(huán)路中。當(dāng)雙向時(shí)間比對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用于復(fù)雜場景下時(shí)，系統(tǒng)噪聲協(xié)方差Qk如果是固定不變的，往往不能真實(shí)反映實(shí)際噪聲情況。因此，本文引入自適應(yīng)因子λk來根據(jù)外部輸入信號(hào)變化情況自適應(yīng)調(diào)節(jié)Qk，提高Qk值的準(zhǔn)確度，進(jìn)而提高迭代過程中卡爾曼增益Kk的準(zhǔn)確度，根據(jù)式(5)可知同時(shí)提高了等價(jià)噪聲帶寬的準(zhǔn)確度，最終提高狀態(tài)向量的估計(jì)精度。

引入自適應(yīng)因子后，根據(jù)式(10)，預(yù)測(cè)狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣P?k-表示為

當(dāng)卡爾曼然濾波系統(tǒng)中存在模型誤差時(shí)，新息序列dk將不服從正交原則。因此，本文將根據(jù)正交原則來計(jì)算自適應(yīng)因子λk，調(diào)節(jié)λk減小模型誤差，使得新息序列服從正交原則。

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，為了使 E[dk+jdTk]=0，那么需滿足

由于P?k-和HT為正定矩陣，因此，式(18)的充分必要條件為

4.3 提出的時(shí)間比對(duì)AKF跟蹤算法

由于真實(shí)的新息協(xié)方差矩陣Ck一般不能直接獲得，通常采用滑動(dòng)窗口法來計(jì)算，即

綜上，提出的AKF濾波算法流程圖如圖3所示。其中橙色方框中即為計(jì)算自適應(yīng)因子λk和調(diào)節(jié)Qk的過程。提出的時(shí)間比對(duì)AKF跟蹤環(huán)路框圖如圖4所示，其中橙色方框即為提出的AKF載波環(huán)路濾波器。

圖3 提出的AKF算法流程圖

圖4 提出的時(shí)間比對(duì)信號(hào)AKF跟蹤環(huán)路框圖

5 試驗(yàn)結(jié)果與分析

5.1 動(dòng)態(tài)弱信號(hào)測(cè)試實(shí)驗(yàn)

為了測(cè)試提出的時(shí)間比對(duì)信號(hào)AKF跟蹤算法的性能，本文對(duì)該算法進(jìn)行仿真測(cè)試和分析。試驗(yàn)配置框圖如圖5所示，將KF跟蹤環(huán)路和PLL跟蹤環(huán)路與提出的AKF跟蹤環(huán)路進(jìn)行對(duì)比，比較不同跟蹤環(huán)路在復(fù)雜場景下的跟蹤結(jié)果。

圖5 試驗(yàn)配置框圖

為了模擬復(fù)雜場景下信號(hào)，本文設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)和弱信號(hào)同時(shí)存在的場景，仿真信號(hào)載噪比和速度變化情況如圖6所示。數(shù)字中頻信號(hào)頻率為4.17 MHz，采樣率為62 MHz，量化位數(shù)為1 bit。如圖6所示，信號(hào)強(qiáng)度方面，信號(hào)載噪比從40 dB-Hz開始下降，在40 dB-Hz時(shí)保持5 s，然后每5 s下降1 dB，直到降到25 dB-Hz，然后在25 dB-Hz保持60 s, 138 s之后信號(hào)強(qiáng)度每5 s增加1 dB，直到達(dá)到34 dB-Hz。信號(hào)動(dòng)態(tài)方面，在前60 s保持靜止，60 s之后信號(hào)加速度為32 m/s2，直到t=78 s速度達(dá)到576 m/s2。隨后，信號(hào)速度一直保持576 m/s2直到t=138 s，然后速度開始下降，加速度為–32 m/s2，最終在t=156 s時(shí)停止。

圖6 模擬復(fù)雜場景信號(hào)的載噪比和速度變化情況

圖7為跟蹤結(jié)果圖，顯示了不同跟蹤算法在動(dòng)態(tài)弱信號(hào)場景下，估計(jì)的載噪比和多普勒頻率的結(jié)果。其中黑色曲線為真實(shí)的載噪比和多普勒值，紅色曲線為提出的AKF跟蹤結(jié)果，藍(lán)色曲線為標(biāo)準(zhǔn)KF跟蹤結(jié)果，黃褐色曲線為PLL跟蹤結(jié)果。從中可以看出，所提AKF跟蹤算法可以一直跟蹤動(dòng)態(tài)弱信號(hào)，其他的跟蹤算法在信號(hào)加速并且衰減時(shí)都失鎖了。在信號(hào)強(qiáng)度較高時(shí)，3種跟蹤算法都能較好地跟蹤，但是當(dāng)信號(hào)強(qiáng)度較低，同時(shí)加速度為32 m/s2時(shí)，傳統(tǒng)PLL跟蹤在67 s時(shí)失鎖，標(biāo)準(zhǔn)KF跟蹤在77 s時(shí)失鎖。

圖7 模擬信號(hào)的跟蹤結(jié)果圖

根據(jù)測(cè)試結(jié)果可知，在動(dòng)態(tài)弱信號(hào)的復(fù)雜場景下，傳統(tǒng)PLL跟蹤算法性能最差，標(biāo)準(zhǔn)KF跟蹤算法其次，跟蹤性能最好的是提出的AKF跟蹤算法。由此可知，所提AKF跟蹤算法可以利用自適應(yīng)因子較好地跟蹤動(dòng)態(tài)弱信號(hào)的變化情況，即使輸入信號(hào)強(qiáng)度較低同時(shí)信號(hào)加速時(shí)，AKF跟蹤算法也能很好地跟蹤。由于KF跟蹤算法中系統(tǒng)噪聲協(xié)方差一直保持不變，不能準(zhǔn)確反映實(shí)際輸入的信號(hào)變化情況，因此，在信號(hào)變?nèi)醪⒓铀贂r(shí)，KF跟蹤就失鎖了。而PLL跟蹤算法因?yàn)榄h(huán)路帶寬是固定不變的，不能根據(jù)輸入信號(hào)變化情況及時(shí)調(diào)節(jié)，所以在3種跟蹤算法中性能最差。

5.2 計(jì)算復(fù)雜度分析

本文提出的AKF跟蹤算法相比于標(biāo)準(zhǔn)KF跟蹤算法，主要增加的計(jì)算量為圖3中計(jì)算自適應(yīng)因子λk部分，主要增加了3個(gè)式子的計(jì)算，分別為式(16)、式(25)和式(23)。對(duì)于式(16)而言，由于狀態(tài)向量zk為鑒相器輸出的載波相位誤差，為標(biāo)量，H維度為1×3，x?-k維度為3×3，因此迭代1次計(jì)量dk需要的乘法數(shù)為3，加法數(shù)也為3。對(duì)于式(25)，dk維度為1×1，所以迭代1次計(jì)算C?k需要的乘法數(shù)為3，加法數(shù)為2。對(duì)于式(23)，Φ維度為3×3，所以迭代1次計(jì)算式(23)所需的乘法數(shù)為37，加法數(shù)為23。因此，計(jì)算自適應(yīng)因子λk總的計(jì)算量為：乘法數(shù)為43，加法數(shù)為28，如表1所示。

表1 迭代1次所需的計(jì)算量

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)KF跟蹤算法來說，狀態(tài)向量為3維，測(cè)量向量為1維，根據(jù)文獻(xiàn)[16]可知，標(biāo)準(zhǔn)KF所需的計(jì)算量乘法數(shù)為102，加法數(shù)為81，如表1所示。所以，相比于標(biāo)準(zhǔn)KF跟蹤，提出的AKF跟蹤算法增加的乘法數(shù)為42%，增加的加法數(shù)為34%。因此，增加的計(jì)算量并不大，非常適合應(yīng)用于實(shí)際時(shí)間比對(duì)跟蹤系統(tǒng)里。

6 結(jié)束語

針對(duì)動(dòng)態(tài)弱信號(hào)同時(shí)存在的復(fù)雜場景下，時(shí)間比對(duì)調(diào)制解調(diào)器跟蹤環(huán)路魯棒性差的問題，本文提出一種AKF算法應(yīng)用于時(shí)間比對(duì)信號(hào)跟蹤環(huán)路中。該算法利用自適應(yīng)因子來調(diào)節(jié)系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣，自適應(yīng)因子可以根據(jù)外部輸入信號(hào)變化情況進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)，從而提高系統(tǒng)噪聲協(xié)方差的自適應(yīng)能力。試驗(yàn)結(jié)果表明，該算法在弱信號(hào)和動(dòng)態(tài)信號(hào)同時(shí)存在的情況下，所提AKF跟蹤算法能夠很好地跟蹤，而傳統(tǒng)PLL跟蹤環(huán)路和標(biāo)準(zhǔn)KF跟蹤環(huán)路在該復(fù)雜信號(hào)下直接失鎖。因此，所提AKF跟蹤算法魯棒性強(qiáng)，并且增加的計(jì)算量不高，非常適合應(yīng)用于動(dòng)態(tài)協(xié)同組網(wǎng)的時(shí)間同步系統(tǒng)中。