基于張量Tucker分解的頻譜地圖構建算法

陳智博 胡景明 張邦寧 郭道省

(陸軍工程大學通信工程學院 南京 210000)

1 引言

電磁環境頻譜地圖(Spectrum Map)也稱為頻譜態勢圖或者無線環境地圖，能夠從時間、空間、頻率和能量等多個維度對電磁環境的當前狀態和未來發展趨勢進行定量描述，并結合地理信息系統(Geographic Information System, GIS)進行可視化呈現。頻譜地圖在干擾協調、無線網絡規劃、動態頻譜共享以及頻譜管控等方面具有廣泛應用，能夠有效緩解頻譜沖突、降低無線通信系統開銷，提高電磁頻譜管理效率和智能化水平[1]。頻譜地圖是由輻射源和地理環境共同作用的結果，可建模為地理空間位置、時間和頻率的復雜函數。受限于傳感器數量、數據計算、存儲和通信資源的約束，很難對每個地理空間位置部署傳感器采集樣本數據，而利用少量傳感器獲取局部監測樣本數據以構建出全局頻譜地圖的算法成為該領域研究的重點。

目前已經提出了大量的頻譜地圖構建算法。Atanasovski等人[2]提出了一種頻譜地圖的原型，旨在存儲和估計從傳感器獲得的頻譜數據，這為頻譜地圖構建提供了指導性工作。Romero 等人[3]使用在線隨機梯度下降法來重建功率譜密度圖，該算法需要輻射源位置作為先驗信息。文獻[4]提出了一種基于自適應高斯徑向基函數的頻譜地圖構建框架，不需要輻射源的先驗信息，能夠非參數地構建頻譜地圖。此外，克里金法[5]、字典學習[6]、稀疏貝葉斯學習[7]、矩陣補全[8]等算法也被用于頻譜地圖構建。上述算法都是基于插值或者模擬無線電傳播現象的模型驅動算法，算法的性能高度依賴于模型的準確性。然而，實際的無線電傳播環境是動態復雜的，不適合的模型會嚴重影響頻譜地圖的構建精度。為了解決這一問題，提出了數據驅動算法，利用深度神經網絡(Deep Neural Network, DNN)從歷史數據集中學習潛在的電磁波傳播現象，如自由空間損耗、陰影、反射和衍射等。在此基礎上，Krijestorac等人[9]提出了一種基于生成對抗網絡的功率譜圖估計算法，并建立了回歸圖像重建模型。Teganya等人[10]設計了一種深度補全自編碼器，從電磁環境中預先學習傳播現象，僅需要少量的樣本數據即可重建高精度的頻譜地圖。在上述研究中，傳感器監測的位置是固定的或者隨機的，沒有考慮對監測位置的優化以捕捉不同空間位置相關性。對此，Shen等人[11]提出了基于QR旋轉的觀測位置優化算法，但是該算法需要地理環境的先驗信息來建立準確的電磁波傳播模型。文獻[12]提出了空間相關性不確定度的概念，認為不確定度越高的區域頻譜信息越豐富，并提出了一種基于動態規劃的傳感器采樣路徑算法，以構建精確的頻譜地圖。此外還有一些特定場景下的算法，文獻[13]研究了不可達區域的遠程頻譜地圖構建問題，利用可達區域中的少量采樣數據來預測不可達區域的頻譜地圖，并提出了一種基于交替方向乘子法來估計不可達區域的功率大小。

本文研究使用少量監測樣本數據構建動態電磁環境的時變頻譜地圖。首先采用張量表征方法將動態電磁環境的時變頻譜地圖建模為3維頻譜張量。根據時間、空間、頻率對輻射源信號傳播的影響，對3維頻譜張量進行Tucker分解，提取出具有物理意義的核張量和因子矩陣等低維特征，這是首次將張量Tucker分解模型應用到時序頻譜地圖構建。根據頻譜張量時域、空域、頻域之間的相關性以及監測樣本數據的稀疏性，設計一種基于Tucker分解的低秩張量補全模型，將頻譜地圖構建任務轉化為數據缺失的低秩張量補全優化問題。相比于矩陣表征法，張量表征法能夠有效保持多維數據空間結構信息，在較弱的約束條件下具有本征唯一性，能夠唯一地求解出具有物理意義的低維特征成分。本文提出了兩種無需先驗信息的頻譜地圖構建算法：高精度頻譜地圖構建算法和快速頻譜地圖構建算法。前者采用交替最小二乘法(Alternating Least Squares, ALS)求解數據缺失的低秩張量補全問題，對核張量和因子矩陣交替求解，通過“補全-分解”的迭代過程實現對頻譜地圖的高精度構建。后者采用序列截斷高階奇異值分解法(Sequential Truncated High Order Singular Value Decomposition, ST-HOSVD)，對潛在多個低秩近似張量加權平均，該算法具有收斂快速和計算復雜度低的優勢，在犧牲少量構建精度的情況下能夠快速構建頻譜地圖。本文采用真實的城市地理數據進行廣泛的仿真研究。仿真結果顯示，與傳統的基準頻譜地圖構建算法相比，我們提出的兩種頻譜地圖構建算法在所需樣本數量方面表現更出色，并且能夠實現更高的構建精度和噪聲魯棒性。

2 符號和相關定義

3 系統模型和問題表述

3.1 系統模型

考慮如圖1(a)所示的電磁環境，固定輻射源和移動輻射源工作在F個頻段上，形成了動態時變的電磁頻譜環境，紅色區域表示頻譜能量高，黃色區域表示頻譜能量低，環境中隨機部署傳感器接收輻射源的信號。將2維平面地理空間劃分為一組L=n×n的正方形小網格，網格內一個時隙的平均接收信號強度作為頻譜數據，T個時隙的歷史頻譜數據可以建模為如圖1(b)的3維頻譜地圖張量XT ∈RL×F×T,x軸 、y軸、z軸分別是空間位置、頻率和時間的索引，張量的元素xl,f,t,l ∈{1,2,...,L},f ∈{1,2,...,F},t ∈{1,2,...,T}表 示在第f個 頻段、第l個網格位置、第t個時隙的信號強度。為了對頻譜地圖張量已知的元素和未知的元素進行建模，構建索引集合?T和采樣函數P?T(·)， 則監測樣本數據YT表示為

圖1 動態電磁環境時變頻譜地圖建模

將每個時隙的監測樣本數據按照時間順序堆疊，形成監測樣本張量，如圖2所示。頻譜地圖構建任務是根據時序監測樣本數據YT，構建出當前時隙的頻譜地圖XT=X:,:,T。

圖2 頻譜地圖構建任務

3.2 問題表述

頻譜地圖構建的任務是基于時序監測樣本張量YT，對當前T時隙的頻譜地圖XT進行估計補全，該問題屬于張量補全的范疇。待補全張量具有低秩特征是使用張量補全的先決條件，即張量數據具有高相關性。文獻[14]利用實地測量的頻譜數據證明了3階頻譜張量的時間、空間地理位置、頻率之間具有高相關性和良好的低秩結構。因此，頻譜地圖重建任務可以視為數據缺失張量的低秩近似補全，并建模為如下的優化問題

其中，X是待補全張量，Y是監測樣本張量，rank(·)表示張量的秩。式(2)假定待補全張量具有低秩結構，對張量秩進行最小化優化，從而補全張量。但張量秩的優化是NP-hard問題，為使式(2)的優化問題可解，本文采用Tucker分解實現張量低秩補全。對張量X進行Tucker分解可得

其中， (R1,R2,R3) 是張量X的Tucker秩，S,U,V表示因子矩陣，G表示核張量。可以將Tucker分解簡寫為X=[[G;S,U,V]] 。對于張量X中的元素有如下計算公式

根據式(4)，將張量Tucker分解模型應用到時序頻譜地圖構建中，對3維頻譜張量的Tucker分解所得到的低維特征信息賦予物理含義。當因子矩陣單位正交時，Tucker分解具有本征唯一性。核張量以及因子矩陣的物理意義能夠為頻譜地圖的參數估計和信息挖掘等應用提供理論依據。3維頻譜張量每個元素表示的能量強度xl,f,t是該頻段上經過路徑損耗(自由空間損耗)和陰影衰落(障礙物影響)的所有輻射源信號強度線性疊加得到的。頻譜張量的Tucker秩表示電磁環境中輻射源的數量，核張量G表示輻射源功率，空間因子矩陣S表示輻射源與傳感器之間的路徑損耗系數，頻率因子矩陣U表示輻射源的頻率傳播損耗系數。動態電磁環境中，輻射源位置隨時間變化，輻射源與地理空間中障礙物的相對位置也隨時間變化，導致不同程度的陰影衰落，因此時間因子矩陣V表示輻射源的陰影衰落損耗系數。綜上所述，在張量Tucker分解的框架下求解缺失張量補全估計問題，可建模為如下的優化問題

本節將頻譜地圖構建任務轉化為數據缺失的低秩張量補全問題，并給出式(5)的優化問題，在第4節中，將分別采用迭代交替最小二乘法和序列截斷高階奇異值分解法對問題式(5)進行求解，并設計高精度頻譜地圖構建算法以及快速頻譜地圖重建算法。

4 問題求解

4.1 基于迭代交替最小二乘法的高精度頻譜地圖構建算法

式(6)的優化問題是對數據缺失的Tucker分解張量補全，求解使得近似誤差的F范數最小化。該優化問題簡寫為

交替最小二乘法的流程為：根據設置的張量Tucker秩，初始化因子矩陣S,U,V，固定因子矩陣U,V，利用式(10)求出因子矩陣S。同理，固定S,V計算U，固定S,U計算V，再求出核張量G。最后，根據式(3)，求出補全的估計張量X?。通過“補全-分解”的迭代使得算法收斂至誤差最小，從而實現對張量的高精度補全。對于因子矩陣的初始化，可以隨機初始化或者采用高階奇異值分解(High Order Singular Value Decomposition, HOSVD)算法[15]。上述使用的ALS算法需要預先設置Tucker秩。對張量秩的準確計算是NP-hard問題，難以設置準確的Tucker秩來執行算法。如果設置的秩Rn

算法1的計算復雜度包括3個方面：根據因子矩陣交替計算Zi產生的張量矩陣模態積運算，對Z(k)

算法 1 基于迭代交替最小二乘法的高精度頻譜地圖構建算法

4.2 基于序列截斷高階奇異值分解的快速頻譜地圖構建算法

4.1節利用ALS算法求解數據缺失的低秩張量補全問題，該算法采用了循環迭代的方式，在算法收斂之前的迭代過程中，大量的張量矩陣模態積的運算花費相當的時間代價。此外，該算法需要多次迭代才能達到收斂，因此計算復雜度較高。為了解決這一問題，本節提出一種基于序列截斷高階奇異值分解(ST-HOSVD)的快速張量補全算法。該算法通過截斷高階奇異值分解找到張量X的低秩近似，使得已知數據上的重構誤差較小，再將獲得的所有低秩近似張量加權平均來獲得最佳的補全結果。

首先，設置截斷秩(R1,R2,R3)， 對待補全張量X在第1模態進行截斷操作，則因子矩陣S是X(1)的左奇異值向量按照對應奇異值降序構成的矩陣。保留因子矩陣的前R1列，得到估計的因子矩陣S?∈RL×R1。臨時核張量為G1=X×1S?，視為張量XT在第1模態上的投影，則張量XT的一個低秩近似為

每個T?i都是對待補全的張量X的一個低秩近似。通常張量分解算法取最后一個低秩近似項作為最終結果輸出，如果得到若干個近似值，在沒有其他先驗信息的條件下，對X的最佳估計值為全部低秩近似的平均值。綜上，基于序列截斷高階奇異值分解的快速頻譜地圖構建算法如算法2所示。

算法2 基于序列截斷高階奇異值分解的快速頻譜地圖構建算法

5 仿真實驗與分析

5.1 仿真環境設置

本節提供了數值仿真結果以評估本文提出的兩種頻譜地圖構建算法的性能。本文使用如圖3(a)所示的法蘭克福的部分城市地形數據，利用電磁波傳播模擬軟件WinProp模擬部署輻射源和傳感器，以構建城市電磁波傳播環境。為了驗證電磁仿真場景的實用性和算法在不同環境下的泛化能力，在圖3(a)的環境內隨機選取邊長為100 m的待監測區域，并離散為n=100的小網格，頻譜地圖的空間分辨率為1 m，如圖3(b)所示。在待監測區域內隨機部署4個移動的輻射源，運動速率1 m/s，高度為1.5 m，工作在1800～2000MHz頻段上，頻率分辨率為1MHz。定義空間位置采樣率為r=nr/n2，其中nr是部署傳感器的網格數，n2是待檢測區域全部網格的數量。根據設定的空間采樣率在待監測區域內部署相應數量的傳感器接收信號，用于構建完整的頻譜地圖，傳感器部署位置是隨機均勻選取的。考慮移動輻射源的運動狀態，每1 s生成1張頻譜地圖，持續觀測100 s，獲得的3階頻譜張量的維度為(10 000,200,100)。仿真生成的完整無缺失的張量可以作為頻譜地圖重建的基礎。為了評價頻譜地圖重建的精度，采用均方根誤差(Relative Mean Square Error,RMSE)作為性能評價指標

5.2 性能評估

本文提出的兩種頻譜地圖構建算法均要預先設置張量的Tucker秩，對于N階張量，需要分別指定N階的秩，算法調優的過程和實施的過程都需要考慮對秩的設置。圖4研究了張量截斷秩對所提出的頻譜地圖構建算法性能的影響。為了驗證輻射源運動對算法性能的影響，在仿真中加入靜止輻射源場景作為對比。仿真結果表明，在相同空間采樣率的條件下，隨著截斷秩的增加，算法性能先上升后下降。并且當輻射源保持靜止，高精度構建算法在截斷秩設置為5時，算法性能達到最優；快速構建算法的截斷秩設置為4時，算法性能達到最優。當輻射源移動，形成動態頻譜環境時，兩種算法性能達到最優時的截斷秩分別為8和7。這是因為在動態電磁環境中，不同時隙的頻譜地圖按照時序堆疊后，移動的輻射源被視為多個等效輻射源，此時的頻譜地圖是多個等效輻射源線性疊加而成，這導致了3階頻譜張量的Tucker秩的變化。因此，在算法的實際部署應用中，需要對張量Tucker秩進行調優，以實現最佳的頻譜地圖構建精度。

圖4 張量截斷秩對頻譜地圖構建精度的影響

本文研究了不同空間采樣率和背景噪聲對頻譜地圖構建精度的影響，仿真結果如圖5所示。根據圖4的結論，將高精度構建算法和快速構建算法的截斷秩設置為8和7，使得兩種頻譜地圖構建算法均達到最佳性能。在不同的背景噪聲條件下，隨著空間采樣率的增加，高精度構建算法和快速構建算法的性能顯著提升，隨后保持平穩。當采樣率小于0.05時，信息丟失過多導致構建的頻譜地圖誤差較大，當采樣率大于0.2時，信息冗余，構建的頻譜地圖精度提升有限，采樣成本顯著提高。在仿真實驗中，TS1算法沒有給出采樣率小于5%時的性能曲線，因為該算法無法在這樣低的采樣率下運行，并且NCARL算法在采樣率小于0.2時的性能較差，難以構建出可用的頻譜地圖。而本文提出的頻譜構建算法在采樣率為0.05時，即可重構出較為精確的頻譜地圖。在實際應用場景中，本文提出的算法能夠顯著降低傳感器的數量，從而降低監測網絡的構建成本。同時還能觀察到，當背景噪聲功率小于–30 dBm時，對4種算法性能的影響幾乎可以忽略，而當噪聲功率達到–20 dBm時，4種算法的性能均有顯著下降。此外，在所有背景噪聲設置下，本文提出的兩種頻譜地圖構建算法的精度均顯著優于對比算法。噪聲功率為–40 dBm, –30 dBm,–20 dBm，空間采樣率為0.05時，高精度算法的頻譜地圖構建精度誤差為–18.02 dB, –15.62 dB,–13.44 dB，快速算法的頻譜地圖構建精度為–16.76 dB, –15.4 dB, –12.07 dB，本文提出的兩種算法具有更高的噪聲魯棒性，在較高的噪聲水平下仍能正常工作。

圖5 不同噪聲水平頻譜地圖構建算法性能比較

本文還研究了不同算法在時間復雜度上的性能比較，以驗證上節給出的算法時間復雜度計算公式，其中TS1算法和NCARL算法不需要多次迭代，僅給出算法運行時間消耗的對比。從圖6(a)中可以看出，在背景噪聲為–40 dBm的條件下，隨著空間采樣率的降低，高精度構建算法和快速構建算法達到收斂時所需的迭代次數增加。這是因為缺失的元素數量大，需要多次分解重建才能達到設定的頻譜地圖精度。從圖中還能夠看出，在0.05的空間采樣率條件下，高精度構建算法迭代22次達到收斂，能夠實現–18.02 dB的構建精度誤差；快速構建算法僅需6次迭代即可達到收斂，能夠實現–16.76 dB的構建精度誤差。圖6(b)中給出了不同算法構建頻譜地圖的時間消耗，可以看出，NCARL算法的運行時間消耗在空間采樣率小于0.1時會隨著空間采樣率的增加而迅速增加，當空間采樣率大于0.1時，該算法的運行時間消耗相對平穩。當采樣率大于0.05時，TS1算法的運行時間消耗是所有算法中最大的，并且在采樣率大于0.2之后保持平穩。本文提出的快速構建算法的運行時間消耗在空間采樣率大于0.05時最低，并且隨著采樣率的增大，運行時間不斷降低，這是因為需要估計重建的元素數量減少，算法運行迭代次數少。高精度構建算法在空間采樣率小于0.05時運行時間消耗最大，因為大量需要重建估計的元素使得算法需要多次迭代，導致計算時間較長。然而，隨著空間采樣率的增加，該算法的運行時間消耗迅速降低，當空間采樣率大于0.2時，高精度算法的計算時間消耗小于NCARL算法和TS1算法。根據上述算法性能分析，在實際應用中可以根據不同的構建精度需求和硬件條件選擇最佳的算法進行頻譜地圖的構建。

圖6 不同算法時間復雜度的性能比較

最后，圖7給出了4種算法在時間t=10時的頻譜地圖的可視化效果。與傳統算法相比，在–40 dBm的背景噪聲條件下，本文提出的高精度頻譜地圖構建算法和快速頻譜地圖構建算法能以更少的傳感器采樣數量實現更好的頻譜地圖構建效果，這與圖5的性能結果一致。從可視化效果能夠看出，本文提出的構建算法能夠獲得更加精確的頻譜地圖，能清晰地反映出輻射源信號強度、輻射源位置、信號空白區域和信號覆蓋區域。不僅顯著提升了頻譜地圖在頻譜管理、網絡規劃、干擾協調、頻譜管理等常規任務中的作用，還能夠在目標搜索和多輻射源定位任務中實現更高的定位精度。

6 結束語

本文研究了使用少量監測樣本構建動態電磁環境頻譜地圖的問題，將動態電磁環境的時變頻譜地圖建模為3維頻譜張量，通過張量Tucker分解提取低維特征并給出其物理意義，設計一種基于Tucker分解的低秩張量補全模型，并開發兩種無需先驗信息的頻譜地圖構建算法對模型求解，在5%的空間采樣率下，實現了對頻譜地圖的高精度和快速重建。本文提出的兩種算法能夠在更低的采樣率條件下構建出誤差更小精度更高的頻譜地圖，并且具有良好的噪聲魯棒性，能顯著提升在頻譜管理和輻射源定位等任務中的作用。此外，本文首次給出了符合Tucker分解的頻譜地圖構建模型，在仿真實驗中驗證了可行性。下一步將繼續深入研究Tucker分解與動態電磁環境頻譜地圖構建模型之間的關系。此外，時序頻譜數據的存儲的長度會影響頻譜地圖構建的精度，在未來的工作中將面向采樣率設計一種動態加窗算法，通過逐步淘汰過時數據，增加新到達數據的權重，從而提高更新算法的性能。