基于APOS-H理念的中職數學概念教學模式構建與實施

【摘要】本文嘗試將APOS理論與HPM有機融合，以APOS理論作為操作形式、以HPM中的數學史作為操作內容，構建APOS-H概念教學模式，以教學函數這一抽象的數學概念為例展示該教學模式在中職數學教學中的應用，旨在幫助基礎薄弱、缺乏優良學習習慣的中職生順利理解數學概念。

【關鍵詞】APOS理論 HPM 函數的概念

中職數學

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）29-0136-05

數學概念是數學知識的基礎，概念教學在數學教學中發揮了基礎性的作用。《中等職業學校數學課程標準（2020年版）》（以下簡稱《課程標準》）強調，要通過數學學習培養學生的科學精神，加深學生對數學文化價值的認識。中職生的數學基礎普遍薄弱，對數學知識缺乏情感上的認同，面對抽象的數學概念時顯得手足無措。近年來，在新教學理念的影響下，“填鴨式”“滿堂灌”的概念教學方式已逐漸被教師拋棄，“學生主體、教師主導”的理念成為主流。然而，在具體的概念教學實踐過程中，大多教師只能空守著新理念而無從下手，原因是缺乏具體的操作方式。因此，探索出更加真實有效、具有可操作性的概念教學模式，幫助學生順利地進行概念學習，成為當前亟待解決的問題。一切行之有效的教學模式都需要以教學理論作為基礎和引領，因為只有在理論的指導下所設計出的模式才具有科學性。有時單一的教學理論無法滿足復雜的現實教學需要，因此，把多種教學理論進行恰當融合，發揮各教學理論的優點，并在此基礎上探索出新的概念教學模式，就成為教師教學的一條新途徑。

一、APOS-H理念的內涵

（一）APOS理論概述

APOS理論是由美國著名教育學家杜賓斯基提出的關于數學概念學習的理論。該理論以皮亞杰的建構主義學習理論為基礎，將數學概念的學習分為四個階段，即操作（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖示（Scheme）。

操作階段是指學生通過接受外部刺激，對感知到的對象進行轉換。過程階段是指在多次重復操作之后，學生經過反思提升，從不同情境中發現共性，進行抽象概括，得到一般的數學概念，并將這個過程形成一種模式。對象階段是指學生能夠把概念的抽象過程視為整體，并對其進行更深入的探究，理解概念的要素和其他特性。此時，學生已經把概念看成普通意義上的數學對象，完成了概念建構過程。學生把在前述三個階段獲得的知識與自身已有的知識結構融合，從而形成新的認知圖式，此時便達到圖式階段，這一階段學生的思維水平和認知狀況已經達到一個更高的層次，形成全新的知識體系。

（二）HPM研究簡述

HPM主要指國際數學教育大會成立的數學史與數學教學關系國際研究小組，隨著時代發展，如今HPM也經常用來表示數學史與數學教育研究。該研究主要探討如何把數學史恰當地融進數學教學，從而充分發揮數學學科的育人功能，落實立德樹人根本任務。

華東師范大學汪曉勤教授長期致力HPM領域的研究。他提出，如果要讓數學史真正地走進數學教學，需要滿足融入的自然性、體現價值的深刻性。比如，可以在教學中通過適時地向學生講授概念、定義、法則中所涉及的數學家及他們在探索數學知識時發生的故事，激發學生的學習興趣；在講解定理證明、公式推導的過程中采用古代數學家的巧妙方法，展現數學家的思想智慧和思維方式；在概念教學過程中不要只是將數學概念強硬地“灌輸”給學生，而要把數學概念的發展形成過程再現給學生，使學生了解知識發生發展的過程；在教學中根據簡單、主觀原則改編數學史中的部分內容，使其更能滿足教學過程的實際需要，方便學生感受其中蘊含的數學思想方法，實現學科核心素養的養成。

（三）融合APOS理論與HPM研究的APOS-H理念

近年來，數學教師對數學史的應用方式更趨向于在對相關歷史材料進行深入研究的基礎上，找出數學家在數學知識發展的關鍵時間節點所產生的困惑及不斷努力后取得的突破，并將這一素材進行以學生為中心的適當加工，最終成為學生在課堂上自主探究的素材。因為從本質上說，學生認識新知的過程與人類對自然科學知識探索的過程是相似的。這種HPM的應用方式能彌補傳統講授式教學法枯燥無味的缺陷，更重要的是堅持以問題為導向，符合學生的認知規律，創造了一個以學生為主體的課堂環境。這就使學生在追尋數學史實、進行問題探究的過程中，激發了學習興趣，完成了知識的自主建構，培養了數學學科核心素養。另外，APOS理論同樣強調學生學習概念的過程不應是被動接受的過程，而應該是主動建構的過程，即學生需要通過操作、過程、對象三個階段的思維活動，最終自主形成綜合心理圖式，完成知識的自主建構。在上述過程中，教師只可以發揮引導者的作用，而不能直接以“灌輸”等方式去替代學生完成一系列探究活動。

從上述分析不難發現，APOS理論和HPM研究都以強調動態的建構主義為基礎，這使得二者的融合不僅可行，而且是相輔相成的。一方面，APOS理論雖然提供了概念教學過程中學生建構新知所需的活動形式，但教師在具體的實踐過程中會面臨“巧婦難為無米之炊”的困境，即只知道引導學生的方式，卻缺乏相關素材，而HPM的數學史恰好為APOS理論的操作形式填充了具體的操作內容。另一方面，數學史本身雖然豐富精彩，但教師在運用其進行教學時常常缺乏科學的融入方式和階段性的操作策略，而APOS理論的四個階段在這時便可以發揮指導與引領的作用，從而充分發揮HPM的作用。比如，在APOS理論的操作和過程階段，學生需要對情境中的問題對象進行數學轉換，然后再進一步進行抽象概括。此時，上述情境的最佳構造方式莫過于以數學史作為主體，讓歷史素材成為APOS理論實現的依托，學生在數學史中進行抽象概括，完成知識的自主建構。這種以幫助學生更好地進行概念學習為目標，融合APOS理論和HPM研究的理念即為APOS-H理念。

二、基于APOS-H理念的中職數學概念教學模式構建

基于APOS-H理念的中職數學概念教學模式的教學流程如圖1所示。

（一）A-H階段：追尋概念起源，操作感知模型

在APOS理論中，學生學習概念的第一階段是在具體的問題情境中感知數學概念的雛形。在融入HPM的APOS-H教學模式下，中職數學教師可以把數學史實作為問題情境的具體內容，因為大部分的數學概念最初都來自數學家對實際問題的思考。具體操作中，教師事先充分挖掘數學史料，經過適當加工后呈現給學生，學生在教師的引導下追尋概念的起源，像數學家一樣，思考這些數學家曾經面對的問題，在思考、操作過程中感知問題情境中所蘊含的數學模型，為下一步的抽象反省過程做好鋪墊。

這樣的教學方式可以在課堂教學初期激發學生的學習興趣，活躍課堂氣氛，讓學生感受到數學知識與實際問題的關聯性，且這種關聯性是在歷史中真實存在的，不是教師虛構的；讓學生經歷思維的操作過程，在一定程度上培養直觀想象的學科核心素養。

（二）P-H階段：抽象概括史實，形成概念定義

初步感知概念模型之后進入P-H階段，即以數學史為載體的思維操作階段。此時，中職數學教師首先要引導學生對A-H階段中的歷史問題情境進行深入探究，并讓學生代入數學家的身份，盡情表達自己的想法，而后展示歷史上數學家解決問題的方式，分析自身思考結果與真實的數學史實有什么不同，從而展開一場學生自我思維與數學家思維的交流與碰撞。這種探究方法可以貫穿這一階段始終，因為數學問題的解決并不是一蹴而就的，數學概念最初的形式也是不完善的，數學概念是靠數學家在不斷探索、改進的歷程中總結優化的，這是一個曲折前進上升的過程。

教師運用HPM，將數學概念的發生、發展過程再現于學生眼前，有效地將數學家“發現問題—思考問題—解決問題—再發現問題—再思考問題—再解決問題”這一循環往復、檢驗修正的真實經歷重構為教學過程。學生在數學史的時間節點上，按照APOS理論，對經過教師加工的真實問題情境進行不斷的抽象概括，對數學家解決問題的過程進行深入的反思總結，最終得到數學概念的最新形式，同時了解概念形成與發展的來龍去脈，增加對數學知識情感上的認同。

（三）O-H階段：深入分析對象，把握概念要素

數學概念往往需要用文字語言、符號語言和圖象來表示，其中的文字語言是學生最易接受的，而符號語言具有較強的抽象性。數學概念的簡潔、精確卻離不開數學符號的使用。對中職數學概念教學來說，“會用數學的語言表達世界”是《課程標準》對中職生發展學科核心素養的要求。而在P-H階段，經過教師加工處理的數學史主要發揮便于學生理解概念發展歷程這個功能，在這樣的背景下，學生所習得的概念僅局限于文字表達，且是模糊的、不完整的。因此，在O-H階段，教師要進一步引導學生深入分析概念對象，尤其是概念中抽象符號的意義。此時，教師可以采用形象類比的方式，把晦澀深奧的數學符號類比為學生熟悉的事物或已有知識，再通過一些簡單的正反例幫助學生完成概念辨析，從而使學生能夠深刻把握概念中的要素，感悟數學符號的精練簡約之處，形成對概念的完整認知。

（四）S-H階段：建立概念聯結，完善知識體系

在APOS理論中，學生在經歷了思維的操作、過程、對象三個階段后，便需要將概念知識形成綜合心理圖示，該圖示建立的標志之一是能夠進行概念知識的遷移和應用。例如，當學生將來遇到一個問題或者對象時，能夠判斷這一問題或者對象是否屬于該綜合心理圖示。另外，《課程標準》所提到的培養學生數學學科核心素養中也包括數學建模素養，與進入圖示階段的標志之一，即概念的應用在結果上不謀而合。因此，S-H階段的主要任務是運用數學史來檢驗學生是否成功形成圖示結構。

APOS-H理念下的概念教學過程中，學生對概念的最初理解來源于操作階段和過程階段對數學史中具體問題情境的感知與抽象，因此最后的圖示檢驗應落腳于數學史或現代數學問題的應用上，從而形成一個概念從產生到應用在時間上的閉環結構，使學生感受到數學知識的現實性與實用性，進一步認同數學概念的合理性。教師在實際教學過程中，可以從數學史料中深挖與授課知識相關的素材，加工創編為難度適中、便于理解的問題，再讓學生以合作探究的形式運用所學概念知識進行解答。這里的問題設置也可以將現代生活中的實際資料作為主體內容。通過分析學生的解答情況，教師可以確認學生是否形成正確的心理圖示，若出現問題，還可以進行及時的反饋修正。

形成綜合心理圖示的另一重要標志為能否將新的概念與已有的知識體系建立聯結，構造新的知識體系。因此，教師還要結合學生學過的相關知識設計課堂練習，再輔以構造思維導圖，幫助學生進行總結歸納，使學生領悟新知與舊知之間的聯系和區別，建立多種知識之間全方位的聯結，在進一步理解概念的基礎上完善自身的認知結構。

三、基于APOS-H理念的中職數學概念教學模式實施

本文結合中職數學函數概念教學，論述基于APOS-H理念的中職數學概念教學模式的具體應用。

（一）教學分析

函數是現代數學最基本的概念，其本身除具有抽象性外，還包含許多復雜的下層概念，這使得它成為中職數學中教師最難教、學生最難學的概念之一。在傳統的教學模式下，學生往往不清楚為什么要學習函數，也不清楚函數概念的產生過程，導致他們無法理解函數的本質，對函數知識缺乏情感上的認同。

為解決上述難題，教師可以在APOS-H理念的指導下，以HPM中函數概念的歷史發展作為主線，引導學生從函數的起源開始，經歷函數演變的各種形式，最終形成“集合—對應”觀點下的函數概念。同時，根據學生的認知規律，按照APOS理論，先引導學生經歷思維的操作和過程階段，從數學史等具體的實例中逐步抽象出函數概念，再通過對象階段引導學生細化概念，對符號“f（x）”進行深入分析，深入探究函數的要素，最后以應用練習的方式，幫助學生鞏固概念，完成總結歸納，具體過程如下。

（二）教學過程

1.A-H階段

中職數學教師先幫助學生復習初中所學的函數概念，并展示歷史上對函數發展有積極影響的著名數學家，為后續探究函數定義的形成鋪墊，同時調動學生的好奇心，激發學生的求知欲。接著，教師以歷史上函數的起源作為切入點，讓學生了解函數產生于16世紀歐洲數學家對航海過程中運動軌跡研究的需要，而簡單的運動軌跡大部分可以用解析式刻畫，因此歐拉提出的函數最初形式也僅局限于解析式，即函數的解析式說：函數是由變量和一些常數以任意方式組成的量。這恰好是學生初中階段最熟悉的函數形式，學生易于接受。

2.P-H階段

中職數學教師分別展示用圖象（如圖2所示）和表格（如表1所示）表示函數的實例，并提問學生：“歐拉所提出的解析式說是否可以表達這兩個函數？”該問題激起學生的認知沖突，使學生親身感受到函數解析式定義的局限性。接著，教師引導學生深入分析，在抽象概括中發現兩個實例中的函數關系雖然無法用解析式刻畫，但變量之間卻存在著依賴關系，從而引出歐拉后續所提出的更加完善的變量依賴定義。

之后，教師引導學生繼續追隨數學家的腳步，通過常數函數的出現揭露變量依賴定義的不足。教師通過展示常數函數y=1（x[∈]R）的圖象（如圖3所示），引導學生發現某些函數中的兩個變量并不一定有依賴關系。單純地用變量依賴關系來刻畫函數并不完善，需要把“依賴”這個詞替換為“對應”。教師繼而給出狄利克雷所提出的變量對應定義。選用合適的例子使學生體會到了函數概念逐步合理化、完善化的過程，函數概念的學習過程不再生硬、枯燥。另外，通過辨析“對應”和“依賴”的區別，學生也理解了函數所刻畫關系的本質。

此時的函數定義已經十分接近函數的現代定義。為順利融入集合的思想，教師提問學生：“函數的概念能否進一步簡化？”接著通過分析一個現實中的文具銷售問題，在回顧集合知識的前提下，教師引導學生將兩個變量之間的對應進一步抽象概括為兩個集合之間的對應，得到最終的函數概念。

3.O-H階段

根據APOS理論，在過程階段之后，學生需要將概念作為一個對象來進行進一步的細化分析。因此，在對象階段，中職數學教師可以通過形象類比的方式，將符號“f ”類比為一臺機器，把函數的對應過程類比為產品的生產加工過程，從而使學生深入理解抽象符號的意義，感知函數的要素，如圖4所示。接著，教師要通過正反例的辨析幫助學生進一步鞏固概念。

4.S-H階段

在這一階段，中職數學教師要引導學生小組交流合作完成兩道習題。習題包括兩個層面：一是嘗試用新的函數概念描述初中學習過的幾種初等函數，二是運用所學的函數概念來判斷數學史上的幾個實例中的變量關系是否屬于函數關系。由此，可以檢測學生是否將新的概念形成心理圖式，并把這個圖式納入已有的認知結構。最后，學生借助思維導圖完成對函數這個概念的總結歸納。

在數學課堂教學中，部分學生往往只記住了概念的形式，卻對概念的本質一知半解。中職生因其基礎較為薄弱，長期以來存在著強記硬背的情況。在建構主義的基礎上，融合APOS和HPM的APOS-H理念，綜合了兩種理念的優點，以APOS理論中的操作、過程、對象、圖示四個階段作為操作的形式與步驟，以HPM中的數學史作為每個操作步驟中的具體探究內容，不僅便于教師使用，同時將原本枯燥、抽象的數學概念學習過程轉化為緊貼歷史發展實際、展現數學家生動奮斗經歷、強調應用實踐、符合認知規律的知識內化過程。中職數學教師還可以在該模式的基礎上進行其他概念主題教學的設計與應用，推動中職生更好地學習數學概念。

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注：本文系廈門市中等職業學校2023年度課題“核心素養背景下APOS理論在中職數學概念教學中的應用研究”（202304）的研究成果。

作者簡介：黃斌（1990— ），福建廈門人，本科，理學學士，講師，主要研究方向為中職數學教學。

（責編 劉小瑗）