基于大概念,依托大單元,落實核心素養(yǎng)*
——“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計與反思

甘肅永登縣第六中學(xué)(730300)項麗紅

數(shù)學(xué)大概念,指能反映數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì),居于學(xué)科中心地位,能將不同數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系為一個整體,具有較為廣泛的適用性和解釋力的原理、思想和方法,是關(guān)于數(shù)學(xué)的理解以及關(guān)于數(shù)學(xué)的教與學(xué)的重要思想或觀點的陳述[1].為了學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展和全面發(fā)展需要大概念教學(xué)[2].單元教學(xué)是根據(jù)教材中已有單元或按照需要將有聯(lián)系的內(nèi)容進(jìn)行重新整合,形成新教學(xué)單元,并對教學(xué)要素進(jìn)行整體規(guī)劃以達(dá)到更好教學(xué)效果的教學(xué)模式,發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)需要單元教學(xué)設(shè)計[3].

可以發(fā)現(xiàn),發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)是大概念教學(xué)與單元教學(xué)的“契合點”及目標(biāo).因此,基于大概念,依托大單元進(jìn)行教學(xué)設(shè)計,付諸教學(xué)實踐可以落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者以大概念為引領(lǐng), 在單元整體教學(xué)分析基礎(chǔ)上設(shè)計的湘教版“3.3.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程”一課有幸獲得教育部2022 年“基礎(chǔ)教育精品課”,現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計與各位教師分享交流.

1 單元整體分析

解析幾何是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的標(biāo)志性成果,是微積分創(chuàng)立的基礎(chǔ).“圓錐曲線與方程”單元的學(xué)習(xí),學(xué)生將“通過建立坐標(biāo)系,借助圓錐曲線的幾何特征,導(dǎo)出相應(yīng)方程,用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì),體會坐標(biāo)法的思想,體會數(shù)與形的結(jié)合”,此即本單元的大概念.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版2020 修訂)》將平面解析幾何安排在選擇性必修一“幾何與代數(shù)”主題, 內(nèi)容包括: 直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程.湘教版教材將本單元安排在選擇性必修一第三章,編排順序為: 3.1 橢圓(共4 課時)3.1.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2 課時)3.1.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)(2 課時)→3.2 雙曲線(共3 課時)3.2.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1 課時)3.2.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(2 課時)→3.3拋物線(共2 課時) 3.3.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1 課時) 3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1 課時)→3.4 曲線與方程(1 課時)→3.5 圓錐曲線的應(yīng)用(1 課時)→小結(jié)與復(fù)習(xí)(2 課時).教材按照“總—分—總”的思路展開內(nèi)容: 先通過數(shù)學(xué)實驗整體上初步認(rèn)識三種曲線,然后從曲線自身特征出發(fā),給出三種曲線的概念; 再運用坐標(biāo)法分別研究三種曲線的幾何性質(zhì),進(jìn)而通過統(tǒng)一定義從總體上進(jìn)一步認(rèn)識三種圓錐曲線的關(guān)系;最后在對直線、圓錐曲線感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上,建立曲線方程的概念,并用方程觀點認(rèn)識和研究曲線交點等問題.本單元教材編排順序即為單元教學(xué)順序.

本單元之前,學(xué)生學(xué)習(xí)了第2 章“平面解析幾何初步”,以直線與圓為研究對象,在平面直角坐標(biāo)系中建立了直線和圓的代數(shù)方程,通過對方程的討論,研究了其幾何性質(zhì)及相互位置關(guān)系,體會了數(shù)形結(jié)合的思想,了解了坐標(biāo)法,初步形成了用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.

2 課時教學(xué)設(shè)計

2.1 教學(xué)目標(biāo)

1.借助GGB 作圖抽象并理解拋物線的定義,在抽象定義的過程中重點提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng);

2.類比橢圓、雙曲線的建系過程,探究拋物線的建系方式及推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程,在此過程中重點提升邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng),并能解決簡單的相關(guān)問題;

3.在學(xué)習(xí)過程中體會類比、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,體會坐標(biāo)法的思想.

2.2 教學(xué)重點

1.拋物線的定義

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

2.3 教學(xué)難點

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

2.4 教學(xué)過程

1.感受生活,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)

教師: 在初中,我們將二次函數(shù)的圖象稱為拋物線,并且知道: 在重力作用下的平拋或斜拋物體,如籃球場上投出的籃球、水池里噴出的水柱等,其運動的軌跡都是拋物線的一部分.(生活中的拋物線軌跡展示,PPT 展示籃球運動軌跡、噴泉水柱軌跡等)

學(xué)生: 借助教師語言以及PPT 圖片展示,感受與發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué).

設(shè)計意圖: 創(chuàng)設(shè)情境,引入課題.概念教學(xué)要講究背景,本情境通過生活實例引導(dǎo)學(xué)生了解拋物線的背景,產(chǎn)生對拋物線的直觀感受.

2.實驗操作,描繪圖形

教師: 拋物線在我們身邊廣泛存在,怎樣畫出標(biāo)準(zhǔn)的拋物線呢? 我們一起借助GGB 來探究.

(1)平面上任取一點F,畫一條定直線l,點F/∈1;

(2)在直線l上任取一點H,過H作直線l的垂線g;

(3)連結(jié)HF,作HF的中垂線交g于點P;

(4)拖動點H,點P隨之運動;

(5)觀察點P的軌跡.

學(xué)生: 通過GGB 作圖,感受拋物線的形成.

設(shè)計意圖: 通過GGB 演示,一方面提升直觀想象素養(yǎng),另一方面為抽象拋物線的概念奠定基礎(chǔ).

3.發(fā)現(xiàn)特征,抽象概念

教師: (1)由點P的軌跡形狀,我們猜想它是拋物線.事實上,它確實是拋物線.通過實驗,你能說出拋物線上的點P所滿足的幾何條件嗎?

(2)由拋物線上點所滿足的幾何特征,請嘗試對拋物線下定義.

拋物線的定義: 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(Fl)距離相等的點的軌跡是拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.

符號語言: 拋物線是滿足{P||PF|=|PH|,Fl}的點的集合

(3)當(dāng)F/∈l時,點P的軌跡是什么?

學(xué)生活動: 找出拋物線上的點滿足的幾何特征,抽象出拋物線的定義,并用自然語言與符號語言加以表述,通過問題(3)對定義中的限制深入理解拋物線定義.

設(shè)計意圖: 概念教學(xué)要注重概念的生成過程,通過GGB演示拋物線的形成過程,發(fā)現(xiàn)其幾何特征,抽象概括拋物線的定義,并用文字語言和符號語言予以表征,重點學(xué)生提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

4.合理建系,推導(dǎo)方程

教師: (1)類比橢圓、雙曲線的建系過程,以開口向右的拋物線為例,思考: 如何建立平面直角坐標(biāo)系,能使拋物線的方程形式更簡單? (給學(xué)生充足的思考空間,對學(xué)生的建系方式予以分析,并對3 種常見建系方式予以PPT 展示)

第1 種

第2 種

第3 種

(2)選擇一種建系方式并推導(dǎo)方程.

過F作l的垂線與l相較于點D,以DF的中點為坐標(biāo)原點,DF所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.以第3 種建系方式為例,推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

學(xué)生活動: 合作探究、交流、分享

(1)類比橢圓、雙曲線的建系過程,探究求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程該怎樣建系.

(2)推導(dǎo)拋物線的方程,并觀察比較,發(fā)現(xiàn)第3 種建系方式下得到的方程最簡潔,因此選擇其為開口向右的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計意圖: 學(xué)生合作探究、展示,突出學(xué)生的主體地位,突破了難點,強(qiáng)化了重點,通過拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),體會建系的“對稱美”與拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的“簡潔美”,重點提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

5.推理分析,完善建構(gòu)

教師: 前面我們以開口向右的拋物線為例,建系并推導(dǎo)了其標(biāo)準(zhǔn)方程,下面請大家思考以下問題:

(1)拋物線的開口還可以朝向哪邊?

(2)相應(yīng)的該如何建系?

(3)建系后,請寫出拋物線上點P(x,y)滿足的數(shù)學(xué)式子.

學(xué)生: 合理猜想,類比發(fā)現(xiàn),觀察歸納,簡化計算,加深理解與記憶.

設(shè)計意圖: 類比探究,發(fā)現(xiàn)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的其他形式,重點提升學(xué)生邏輯推理、直觀想象素養(yǎng).

教師: (1)獨立思考,完成表1.

表1

(2)觀察此表,請思考: ①四種標(biāo)準(zhǔn)方程次數(shù)特征是怎樣的?

左二右一: 等號左邊是二次項,右邊是一次項.

②如何確定拋物線焦點位置及開口方向?

一次定焦,正負(fù)定向: 一次項確定焦點位置,正負(fù)決定開口朝坐標(biāo)軸正向還是負(fù)向.

學(xué)生: 在此前探究的基礎(chǔ)上,獨立完成表格,完善其余3種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,并在觀察方程形式的基礎(chǔ)上歸納方程的次數(shù)特征,能根據(jù)方程找出焦點位置和開口方向.

設(shè)計意圖: 觀察發(fā)現(xiàn)方程的形式特征,利于方程的理解與記憶,重點提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

6.典例講解,運用知識

教師: 請同學(xué)們獨立完成以下例題.

例1 求下列拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程:

(1)y2=4x;(2)y=ax2,其中a＞0.

分析: 先看方程是否是標(biāo)準(zhǔn)形式,不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化為標(biāo)準(zhǔn)形式,再求解.

例2 求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:

(1)焦點坐標(biāo)為F(0,-4);(2)準(zhǔn)線方程為;(3)焦點在坐標(biāo)軸上,經(jīng)過點M(-2,-4).

分析: 先根據(jù)題目已知找到拋物線焦點位置(定位),再確定標(biāo)準(zhǔn)形式(定形),最后待定p 的值(定量),即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.

教師: 接下來,請同學(xué)們完成課本143 頁練習(xí).

學(xué)生: 獨立完成例題與練習(xí)

設(shè)計意圖: 鞏固所學(xué),強(qiáng)化應(yīng)用,對基本題型形成程序意識, 對求焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程的應(yīng)先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,對求標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)確立“先定位、再定形,最后定量”的程序意識,重點提升學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

7.小結(jié)收獲,提升素養(yǎng)

教師: 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),請說說你的收獲.

學(xué)生活動: 暢所欲言,小結(jié)收獲.

教師: 用一首詩來描繪我們的學(xué)習(xí)過程: 定線定點距相等,圓錐曲線再加增;類比探究策略定,以數(shù)研形標(biāo)準(zhǔn)成;定位定形再定量,左二右一方程定;坐標(biāo)引入千般好,曲線方程任縱橫.

設(shè)計意圖: 學(xué)生小結(jié)知識收獲,分享學(xué)習(xí)心得,形成知識網(wǎng)絡(luò),教師對不足之處加以補(bǔ)充,并通過一首詩將本節(jié)課的重點予以重現(xiàn),便于學(xué)生理解與記憶.

8.數(shù)學(xué)文化,育人無聲

黑格爾說:“數(shù)學(xué)是上帝描述自然的符號.”伽利略說:“數(shù)學(xué)是上帝用來書寫宇宙的文字.”周海中說:“數(shù)學(xué),表達(dá)上準(zhǔn)確簡潔、邏輯上抽象普適、形式上靈活多變,是宇宙交際的理想工具.”通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你對這些話是否有了更深地認(rèn)識呢?

9.作業(yè)布置,課后鞏固

必做題: 習(xí)題3.1 學(xué)而時習(xí)之1、2、3 題;選做題: 上網(wǎng)查閱網(wǎng)頁或視頻資料,了解生活中的拋物線.

設(shè)計意圖: 課后作業(yè),鞏固新知,并上網(wǎng)查閱資料了解生活中的拋物線,提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

3 教學(xué)反思

本節(jié)課首先通過展示籃球運動軌跡、噴泉水柱軌跡等圖片,讓學(xué)生感受拋物線在身邊大量存在,發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué);接著借助GGB 探究拋物線的形成過程,找出拋物線上點的幾何特征,進(jìn)而抽象出拋物線的定義;再類比橢圓、雙曲線的建系過程,發(fā)現(xiàn)開口向右的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的建系方式,并推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程,再觀察分析得出開口向左、上、下的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;最后通過例題和練習(xí)對本節(jié)課知識加以運用與鞏固,并通過學(xué)生小結(jié)本課知識、思想方法升華所學(xué).通過問題及啟發(fā)式教學(xué),融合信息技術(shù),強(qiáng)化學(xué)生直觀感知、促進(jìn)學(xué)生自主探索,在“坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合思想”單元大概念指導(dǎo)下,依托單元教學(xué),落實了“重點提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)”的教學(xué)目標(biāo).