多思妙解:一道高三一模聯(lián)調(diào)解析幾何題的探究

曹 均

? 江蘇省南通市通州灣中學(xué)

圓錐曲線中的最值或定值問題,一直是高考數(shù)學(xué)考查此模塊知識(shí)比較常見的基本題型之一.此類問題往往以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為問題場景,結(jié)合圓錐曲線中的元素(離心率、漸近線斜率等)、點(diǎn)的坐標(biāo)、參數(shù)值或相應(yīng)的代數(shù)式,以及相關(guān)的距離、角度、面積等綜合應(yīng)用,有“動(dòng)”有“靜”,有“數(shù)”有“形”,變化多端,創(chuàng)新新穎,趣味性高,可以很好體現(xiàn)高考命題的基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性等.

1 問題呈現(xiàn)

問題〔2023屆江蘇省蘇北四市(徐州、連云港、宿遷、淮安)高三上學(xué)期第一次聯(lián)合調(diào)研測試(一模)(1月)數(shù)學(xué)試卷·15〕已知拋物線y2=2x與過點(diǎn)T(6,0)的直線相交于A,B兩點(diǎn),且OB⊥AB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則△OAB的面積為______.

此題以直線與拋物線的位置關(guān)系為情境,通過過定點(diǎn)的直線以及兩直線的垂直關(guān)系來合理構(gòu)建相應(yīng)的幾何場景,進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)三角形的面積問題,題目簡捷明了,條件簡潔易懂,難度中等.

在實(shí)際解決問題時(shí),關(guān)鍵是剖析問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì),通過平面解析幾何問題的基本屬性,可以借助解析幾何思維來合理數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理,是處理問題的“通技通法”;也可以借助平面幾何思維來合理直觀想象與數(shù)形結(jié)合等,是處理問題的“巧技妙法”.無論從哪種基本思維切入,都可以很好地挖掘問題的本質(zhì),進(jìn)而得以分析與求解問題.

2 問題破解

2.1 思維視角——解析幾何思維

抓住問題本質(zhì),從平面解析幾何的內(nèi)涵入手,通過直線AB的方程、點(diǎn)B的坐標(biāo)的設(shè)置以及點(diǎn)的軌跡應(yīng)用等來切入,結(jié)合兩直線的垂直關(guān)系加以分析,利用直線與拋物線方程的聯(lián)立,通過合理的數(shù)學(xué)運(yùn)算來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

方法1：設(shè)線法+向量法.

圖1

解析：設(shè)直線AB的方程為x=my+6,A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0,如圖1所示.

方法2：設(shè)點(diǎn)法+向量法.

方法3：設(shè)點(diǎn)法+斜率法.

下同方法2的部分解析.

方法4：軌跡法.

解析：由于OB⊥AB,直線AB過點(diǎn)T(6,0),則知點(diǎn)B的軌跡方程為(x-3)2+y2=9,與拋物線y2=2x聯(lián)立,消去x并整理,可得x2-4x=0,解得x=4或x=0(舍去).

下同方法2的部分解析.

解后反思：根據(jù)平面解析幾何思維,或利用設(shè)線法切入,或利用設(shè)點(diǎn)法切入,或利用點(diǎn)的軌跡法等切入,這些都是解決平面解析幾何問題中的“通技通法”.解決此類問題的關(guān)鍵是通過對(duì)應(yīng)直線方程的構(gòu)建,然后與圓錐曲線方程聯(lián)立,借助函數(shù)與方程思維的轉(zhuǎn)化,從“數(shù)”的視角來邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算,實(shí)現(xiàn)問題的巧妙解決與應(yīng)用,達(dá)到解題的目的.

2.2 思維視角——平面幾何思維

抓住問題內(nèi)涵,從平面幾何的直觀入手,結(jié)合直角三角形中的場景,通過射影定理以及點(diǎn)的特征來確定對(duì)應(yīng)的線段長度,并結(jié)合兩直角三角形的相似來構(gòu)建關(guān)系式,得以確定其他線段的長度,通過合理的直觀想象來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

方法5：射影定理法.

圖2

解析：過A,B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線,垂足分別為C,D,如圖2所示.

由于OB⊥AB,在Rt△OBT中,由射影定理可得|BD|2=|OD||DT|.

由點(diǎn)A,B在拋物線y2=2x上,可知|AC|2=2|OC|,|BD|2=2|OD|.

解后反思：根據(jù)平面幾何思維,回歸平面解析幾何的本質(zhì),利用平面圖形的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)加以直觀分析與處理,是解決平面解析幾何問題中的“巧技妙法”.解決此類問題的關(guān)鍵是通過平面幾何圖形的構(gòu)建,挖掘圓錐曲線方程相關(guān)問題的內(nèi)涵,通過數(shù)形結(jié)合思維的直觀與轉(zhuǎn)化,從“形”的視角來邏輯推理與直觀想象,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問題的“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化與巧妙應(yīng)用.

3 變式拓展

回歸問題本質(zhì),改變問題的求解方式,將“△OAB的面積”的求解轉(zhuǎn)化為“弦AB的長度”的求解,得到相應(yīng)的變式與拓展.

變式已知拋物線y2=2x與過點(diǎn)T(6,0)的直線相交于A,B兩點(diǎn),且OB⊥AB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則弦AB的長度為______.

4 教學(xué)啟示

4.1 比較解題方法,提升數(shù)學(xué)能力

原問題的解法中,平面解析幾何思維是“通技通法”,需要學(xué)生牢固掌握,并結(jié)合具體場景來合理選擇切入視角;在此基礎(chǔ)上,回歸平面解析幾何的本質(zhì)與內(nèi)涵,平面幾何思維是“巧技妙法”,有利于學(xué)生借助平面幾何圖形進(jìn)行直觀分析與代數(shù)運(yùn)算,有效調(diào)控?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算過程并提升數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理能力等,實(shí)現(xiàn)平面解析幾何與平面幾何等相關(guān)知識(shí)之間的融會(huì)貫通,達(dá)成知識(shí)與方法的綜合.

4.2 開展“一題多解”,實(shí)現(xiàn)“一題多得”

2019年發(fā)行的《中國高考評(píng)價(jià)體系》為今后的高考試題改革指明了方向,其中包括“高考試題要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”等,為高考命題與高中教學(xué)提供了更加直接有效的方向.

這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)與解題研究中,在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法與基本技能等方面訓(xùn)練的基礎(chǔ)上,以習(xí)題的“一題多解”探究為載體,開闊學(xué)生解題視野,使他們熟練掌握更多解題方法;同時(shí),在此基礎(chǔ)上做到深度學(xué)習(xí),合理“一題多變”,達(dá)到“一題多得”,總結(jié)解題規(guī)律,有效避免題海戰(zhàn)術(shù),真正有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力等.Z