蝴蝶定理在高考試題中的應(yīng)用
——2022全國甲卷理科第20題背景探幽

林健航

? 江西省九江市教育科學(xué)研究所

1 試題呈現(xiàn)

例(2022全國甲卷·20)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過點(diǎn)F的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程.

解法1：(1)拋物線C的方程為y2=4x.(過程略.)

圖1

(2)如圖1,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4).

由拋物線的對(duì)稱性知,當(dāng)α=90°時(shí),β=90°,則α-β=0.

當(dāng)α≠90°時(shí),β≠90°,設(shè)過點(diǎn)(x0,0)的直線方程為x=my+x0.

當(dāng)x0=1時(shí),得y1y2=-4;

當(dāng)x0=2時(shí),得y1y3=-8,y2y4=-8.

當(dāng)α∈(0°,90°)時(shí),β∈(0°,90°),且α>β.

當(dāng)α∈(90°,180°)時(shí),β∈(90°,180°),且α<β.

故要使α-β最大,則α∈(0°,90°).

設(shè)kAB=k>0,則kMN=2k.

此解法為通性通法.本題主要考查拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線的傾斜角和斜率的概念、均值不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合、分類討論和點(diǎn)差法等數(shù)學(xué)思想方法,考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2 背景探幽

本題的背景就是坎迪定理,下面我們先從蝴蝶定理入手進(jìn)行探究.

圖2

如圖2,設(shè)M是圓O中弦AB的中點(diǎn),過點(diǎn)M任作兩條弦CD,EF,連接DE,CF,分別交AB于P,Q兩點(diǎn),則MP=MQ.

這個(gè)問題的圖形,像一只在圓中翩翩起舞的蝴蝶,這正是該結(jié)論被冠以“蝴蝶定理”美名的緣故.

此定理的證明方法很多,下面用中學(xué)的有關(guān)知識(shí)給出該定理的兩種證法.

圖3

證法1：(初中幾何知識(shí))如圖3,過圓心O作CF,ED的垂線,垂足分別為S,T,連接OM,OP,OQ.

因?yàn)椤螼SQ=∠OMQ=90°,所以O(shè),S,Q,M四點(diǎn)共圓.

于是∠QSM=∠QOM.

同理可得∠PTM=∠POM.

又∠F=∠D,易得△FSM∽△DTM,于是有∠QSM=∠PTM,所以∠QOM=∠POM,

又OM⊥PQ,所以MP=MQ.

圖4

證法2：(高中幾何知識(shí))如圖4,以M為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)OM=b,則圓O的方程可寫為

x2+y2-2by+c=0.

①

設(shè)直線CD,EF的方程分別為y=k1x,y=k2x,合并為

(y-k1x)(y-k2x)=0.

②

于是,過曲線①②的交點(diǎn)C,D,E,F的二次曲線系方程為

x2+y2-2by+c+λ(y-k1x)(y-k2x)=0.

③

③式中令y=0,可知曲線③與AB的交點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)滿足(1+λk1k2)x2+c=0.由韋達(dá)定理,可得xP+xQ=0,即|MP|=|MQ|.

由仿射幾何知識(shí)可知,蝴蝶定理在圓錐曲線中也成立:

圖5

如圖5,在圓錐曲線中,過弦AB的中點(diǎn)M任作兩條弦CD和EF,直線DE,CF交直線AB于P,Q兩點(diǎn),則MP=MQ.(證明略)

若將M改為弦AB上的任意一點(diǎn),則可得到坎迪定理:

圖6

由蝴蝶定理和坎迪定理,可得上述例題的簡(jiǎn)單解法.

解法2：(1)略.

圖7

解得xT=4,即直線AB經(jīng)過點(diǎn)T(4,0).

由解法1知,要使得α-β取得最大值,則kAB=k>0.過點(diǎn)D作x軸的垂線分別交MN,AB于點(diǎn)R,S.

3 應(yīng)用拓展

若將上述例題一般化可得下列兩個(gè)結(jié)論.

研究解析幾何問題,不僅要研究其解法,還要研究其幾何背景,扣住幾何屬性,在更廣、更深的層面上認(rèn)識(shí)試題,發(fā)揮其教學(xué)功能,于教學(xué)過程中落實(shí)學(xué)科素養(yǎng).Z