蝴蝶定理在高考試題中的應用
——2022全國甲卷理科第20題背景探幽

林健航

? 江西省九江市教育科學研究所

1 試題呈現

例(2022全國甲卷·20)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過點F的直線交C于M,N兩點.當直線MD垂直于x軸時,|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當α-β取得最大值時,求直線AB的方程.

解法1：(1)拋物線C的方程為y2=4x.(過程略.)

圖1

(2)如圖1,設M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4).

由拋物線的對稱性知,當α=90°時,β=90°,則α-β=0.

當α≠90°時,β≠90°,設過點(x0,0)的直線方程為x=my+x0.

當x0=1時,得y1y2=-4;

當x0=2時,得y1y3=-8,y2y4=-8.

當α∈(0°,90°)時,β∈(0°,90°),且α>β.

當α∈(90°,180°)時,β∈(90°,180°),且α<β.

故要使α-β最大,則α∈(0°,90°).

設kAB=k>0,則kMN=2k.

此解法為通性通法.本題主要考查拋物線的定義、直線與拋物線的位置關系、直線的傾斜角和斜率的概念、均值不等式等基礎知識,考查數形結合、分類討論和點差法等數學思想方法,考查邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養.

2 背景探幽

本題的背景就是坎迪定理,下面我們先從蝴蝶定理入手進行探究.

圖2

如圖2,設M是圓O中弦AB的中點,過點M任作兩條弦CD,EF,連接DE,CF,分別交AB于P,Q兩點,則MP=MQ.

這個問題的圖形,像一只在圓中翩翩起舞的蝴蝶,這正是該結論被冠以“蝴蝶定理”美名的緣故.

此定理的證明方法很多,下面用中學的有關知識給出該定理的兩種證法.

圖3

證法1：(初中幾何知識)如圖3,過圓心O作CF,ED的垂線,垂足分別為S,T,連接OM,OP,OQ.

因為∠OSQ=∠OMQ=90°,所以O,S,Q,M四點共圓.

于是∠QSM=∠QOM.

同理可得∠PTM=∠POM.

又∠F=∠D,易得△FSM∽△DTM,于是有∠QSM=∠PTM,所以∠QOM=∠POM,

又OM⊥PQ,所以MP=MQ.

圖4

證法2：(高中幾何知識)如圖4,以M為坐標原點,AB所在的直線為x軸,建立平面直角坐標系.設OM=b,則圓O的方程可寫為

x2+y2-2by+c=0.

①

設直線CD,EF的方程分別為y=k1x,y=k2x,合并為

(y-k1x)(y-k2x)=0.

②

于是,過曲線①②的交點C,D,E,F的二次曲線系方程為

x2+y2-2by+c+λ(y-k1x)(y-k2x)=0.

③

③式中令y=0,可知曲線③與AB的交點P,Q的橫坐標滿足(1+λk1k2)x2+c=0.由韋達定理,可得xP+xQ=0,即|MP|=|MQ|.

由仿射幾何知識可知,蝴蝶定理在圓錐曲線中也成立:

圖5

如圖5,在圓錐曲線中,過弦AB的中點M任作兩條弦CD和EF,直線DE,CF交直線AB于P,Q兩點,則MP=MQ.(證明略)

若將M改為弦AB上的任意一點,則可得到坎迪定理:

圖6

由蝴蝶定理和坎迪定理,可得上述例題的簡單解法.

解法2：(1)略.

圖7

解得xT=4,即直線AB經過點T(4,0).

由解法1知,要使得α-β取得最大值,則kAB=k>0.過點D作x軸的垂線分別交MN,AB于點R,S.

3 應用拓展

若將上述例題一般化可得下列兩個結論.

研究解析幾何問題,不僅要研究其解法,還要研究其幾何背景,扣住幾何屬性,在更廣、更深的層面上認識試題,發揮其教學功能,于教學過程中落實學科素養.Z