并聯DC-DC變換器網絡控制系統的信號量化研究

2023-12-16 03:51:22王艷敏張偉琦張涵清楊亞龍

電機與控制學報 2023年10期

王艷敏, 張偉琦, 張涵清, 楊亞龍

(1.哈爾濱工業大學電氣工程及自動化學院,黑龍江哈爾濱 150001; 2.安徽建筑大學智能建筑與建筑節能省重點實驗室,安徽合肥 230000)

0 引言

開關型并聯直流變換器(DC-DC converter)因其拓撲簡單、性能可靠等特點,被廣泛應用于分布式直流供電、并聯儲能充電等領域[1-2]。網絡控制系統(networked control system,NCS)作為并聯DC-DC變換器在多領域應用時的“大腦”,幫助通信用電網絡實現并聯變換器的靈活調度[3-4]。

大量文獻表明,滑模控制(sliding mode controller,SMC)由于其設計結構簡單、魯棒性強等特點,可被用于設計并聯DC-DC變換器的NCS系統,幫助實現變換器系統在復雜工作環境下的均流輸出,保證用電網絡的輸入電能品質[5-6]。但是受數字控制系統存儲能力以及傳感器模數轉換精度的限制,易導致并聯DC-DC變換器系統的NCS無法在有效時間內處理較大字長的傳輸數據,影響系統SMC控制信號的有效生成,嚴重損害了并聯DC-DC變換器的均流輸出性能[7-8]。

量化技術通過將連續的傳輸信號轉換為多段離散值,減少信息通道中數據包的大小,進而減輕信息的傳輸負擔,節約成本,是解決NCS反饋信息處理問題的一種有效方法[9-10],故關于NCS的量化器研究成為越來越多學者關注的熱點。文獻[11]針對未知控制方向的非線性系統,通過引入遲滯量化器保證了系統全局穩定性,但是該方法無法用于控制量明確的非線性系統;文獻[12]通過引入對數量化器,設計了控制方向確定的高階非線性系統的量化控制系統,但是系統最終只能達到漸進穩定,收斂效果不理想;文獻[13]在此基礎之上,結合均勻量化器,進一步改善了系統的收斂性能,但是在系統的穩定性分析方面仍有待研究。

本文針對并聯DC/DC變換器系統,以降壓型(Buck converter)為例,采用SMC策略在連續域內設計其主從均流控制系統。為強化并聯Buck變換器NCS對冗長信號的處理能力,利用均勻量化法對SMC系統進行量化處理,并基于量化誤差分析系統穩定性,給出均勻量化系統的穩定條件?？紤]變換器在用電網絡中的實際工程應用,對均勻量化SMC系統作離散化設計,研究其狀態變量的離散化效應,并在此基礎上分析離散系統的穩定性。最后,利用仿真與實驗分析驗證所設計均勻量化SMC系統及其離散化后的系統狀態特性與輸出性能,以證明本文設計方法的正確性。

1 并聯DC/DC變換器的SMC設計

1.1 并聯DC/DC變換器系統建模

以并聯Buck變換器為例,給出了n相并聯Buck變換器的拓撲結構,如圖1所示。

圖1 n相并聯Buck變換器拓撲結構Fig.1 Topology of the n-phase parallel Buck converter

圖中:E為直流輸入電壓源;vO為并聯變換器輸出電壓;R為負載電阻;Li和Ci分別為第i相的濾波電感和電容(i=1,2,…,n);iLi和iCi分別為流過他們的電流;VDi為第i相的續流二極管;Swi為第i相的功率開關管,常見有MOSFET、IGBT等,其導通與關斷分別受控于控制器輸出信號ui=1和ui=0。

本文這里使圖1中所示的并聯Buck變換器工作于連續電流模式(continuous current mode,CCM)下,以便更好地觀察變換器的能量流動過程。以任意一相為例分析,分別考察當Swi導通/關斷時系統的工作過程,由此可得:

(1)

此處將式(1)中Swi的通斷狀態與控制信號ui的狀態逐一對應,可將式(1)中的系統數學模型統一表示為如下形式:

(2)

1.2 系統主從均流SM控制器設計

考慮到線性滑模(linear sliding mode,LSM)設計結構簡單、參數調節方便,在實際工程上被廣泛應用,故將基于LSM設計系統的主從均流控制器,通過主從相ui的調節,以實現對并聯Buck變換器系統的均流控制,即iRi=vO/(nR),其具體設計原理如圖2所示。

圖2 并聯Buck變換器主從均流控制原理圖Fig.2 Schematic diagram of master-slave current sharing control for parallel Buck converter

圖2中,電路第一相為主相,其余相為從相。以變換器輸出誤差為參考量。可定義如下狀態變量

(3)

其中:x1i為系統輸出電壓偏差;x2i為其一階導數;Vref>0為輸出參考電壓值。將式(2)代入到式(3)中,可得系統的狀態空間方程

(4)

其中,狀態變量xi=[x1i,x2i]T,系統矩陣Ai、bi和fi分別為

(5)

由式(4)可設計并聯Buck變換器LSM主從均流控制系統的滑模面為

si=λix1i+x2i。

(6)

其中:si表示第i相LSM的滑動變量;λi>0為滑模面參數,通過在合適范圍內調節λi可改變si的收斂速度,進而影響系統輸出穩態誤差。

對于LSM控制律ui的設計,通常分為等效控制律ueqi和切換控制律uNi兩部分,前者負責將系統狀態驅趕到預設滑模面si=0上,后者保證系統狀態能夠沿著si收斂到原點。由式(4)知,控制律隱藏在系統狀態變量的一階導數中,故對si求導可得

(7)

(8)

結合式(1)中系統的開關特性,可設計uNi為

uNi=-ηisgn(si)。

(9)

其中ηi>0表示切換增益。

由式(8)和式(9)可得LSM控制律ui為

ui=di=ueqi+uNi。

(10)

其中di表示并聯Buck變換器開關占空比,由文獻[15]可知ui與di等效。且在實際工程應用中,常利用PWM調制技術對di調制以實現ui的“1”、“0”形式。故理論分析中可認為ui與di二者等效。

2 系統的均勻量化設計

由于并聯BUCK變換器的主從均流控制器實際中無法處理無限字長數據,需對其進行量化分析。下面先給出一般非線性系統均勻量化的理論方法。

2.1 系統的均勻量化理論

本文這里認為系統工作環境理想,無信號傳輸延時,則考慮量化的系統控制結構如圖3所示。

圖3 非線性系統的量化控制結構圖Fig.3 Quantitative control structure diagram for general nonlinear systems

圖3中,ψ(t)=[ψ1(t)ψ2(t) …ψn(t)]∈n為系統的輸出狀態,ψi(t)(i∈1,2,…,n)表示系統n維狀態變量。在忽略圖中傳感器的離散采樣作用對系統輸出信號影響的情況下,可認為ψ(t)即為量化器的輸入信號;和分別為連續時間下的量化狀態與由ψ(t)所得到的控制信號。

考慮到控制系統的模數轉換(ADC)過程一般采用均勻量化的方式,且均勻量化方法下的系統收斂特性與響應時延更佳[14],故本文這里使用均勻量化器對系統進行量化處理。以一維系統狀態空間為例,均勻量化器將連續的輸入信號等間隔分割成若干份,且每一分割份的中點處被定義為跳變點,不到中點處和超過中點處的部分分別被量化到前一和后一分割份的量化值中,具體如圖4所示。

圖4中,l>0為量化步長,即量化過程按l長度間隔分割。實際工程中,l的大小通常由ADC的精度決定。由圖4中的量化特性可得均勻量化器模型為

(11)

其中round(·)函數用于對輸入數值作四舍五入處理。根據其處理原則,可將式(11)重寫為

(12)

其中,q為正整數,幫助調節l以保證較好的量化輸出精度。式(12)與圖4很好地對應,且由其可得到均勻量化器的絕對量化誤差為

(13)

通過均勻量化處理,將連續時間下的系統狀態空間ψ(t)劃分成若干個量化區域,且每個量化區域的量化狀態值固定。由此隨著時間的變化,系統狀態會從一個固定的量化狀態直接跳轉到另一個,即在幅值上不再連續。圖5給出了一維到三維系統狀態空間的均勻量化情況。

圖5 均勻量化器對系統狀態空間的劃分情況Fig.5 Partition of system state space by uniform quantizer

由圖5可知,當狀態呈一維空間時,ψ1被均勻量化成長度為l的等份區域且量化值取其中點;當狀態呈二維空間時(對應本文所研究的并聯Buck變換器系統),相平面(ψ1,ψ2)被均勻量化成面積為l2的等份區域且量化值取其中心;當狀態呈三維空間時,狀態空間(ψ1,ψ2,ψ3)被均勻量化成體積相為l3的等份區域且量化值取其幾何中心。

2.2 變換器的主從均流SM控制器的量化設計

首先考慮加入均勻量化器后的系統方程變為

(14)

(15)

再考慮均勻量化器對系統SM控制器的量化效應,式(6)和式(10)可分別重寫為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

2.3 系統穩定性分析

式(13)表明均勻量化器的引入會帶來不超過l/2的量化誤差,下面將基于系統的輸出誤差具體分析該量化誤差對系統LSM控制器穩定性的影響。

根據均勻量化器的量化誤差特性式(15),再結合式(13)可得到系統SMC的量化絕對誤差為

(21)

其中li為并聯Buck變換器系統每一相的量化步長。

-ciAiexi-ηicibisgn(si)。

(22)

由式(13)可得式(22)中ciAiexi項的上界為

(23)

其中li=[li,li]T。

(24)

(25)

-ciAiexi+ηisgn(si)。

(26)

此時不再滿足式(25)中的穩定性條件,系統不再單調收斂,直到系統狀態再次進入到|si|≥(1+λi)li/2區域。由此可劃分出含均勻量化器的SMC系統的工作狀態區域,如圖6所示。

圖6 含均勻量化器的SMC系統工作狀態區域劃分Fig.6 Working state region division of SMC system with uniform quantizer

在圖6中,系統狀態會在兩個區域之間不斷運動,由于|si|≥(1+λi)li/2區域具有穩定性且分布在|si|<(1+λi)li/2的兩邊,包含的區域面積更多,所以系統狀態雖然在區域間不斷運動,但最終會到達所預設的滑模面si,由此完成到達階段的收斂運動。

2)滑動階段:當系統狀態在兩個量化區域邊界運動時,由于量化狀態固定,因此控制信號會發生跳變。所以在均勻量化器的作用下,系統狀態會在與滑模面相交的量化區域邊界上發生與傳統滑模相同的滑動,如圖7所示。

(27)

同理,若系統狀態在x1i為定值的邊界處發生滑動,即N4G2所示軌跡,則該局部滑動面可表示為

(28)

通過上述分析可知,量化步長li與系統不穩定區域和系統極限環的大小均成正比,進而直接影響系統的穩態誤差的大小。

3 均勻量化系統的離散化效應

考慮到實際工程中采用數字控制器來實現對系統的調控。因此本文將對所提出的基于SMC的均勻量化系統進行離散化分析,以增強其實用性。

3.1 均勻量化系統的離散化設計

本文這里利用零階保持器(zero-order holder,ZOH)對式(14)所示系統進行離散化處理[3],從而得到其離散化表達式為

(29)

(30)

其中O(h3)為h的三階無窮小。

同樣利用ZOH對式(16)中已量化的LSM進行離散化處理,可得

(31)

(32)

(33)

(34)

進一步將式(34)代入式(29)中,聯立式(2)與式(3)可獲得滑模變量一階導數的表達式為

(35)

由式(30)可知,矩陣Φi和Γi均為h的函數,由此可定義Γi=bi[r1i(h),r2i(h)]T,且有

(36)

其中:bi=E/(LiCi);a1i=1/(LiCi);a2i=1/(nRCi)。

由此可將Φi也重新表示為

(37)

由此,將式(36)與式(37)代入到式(35)中,可將離散閉環量化控制系統重新表示為:

(38)

進一步可將式(38)改寫為:

(39)

(40)

根據式(13)可求出|ex1i(k)|≤li/2和|ex2i(k)|≤li/2,由此可得式(38)中量化誤差項的上界為:

(41)

其中:χ1i(k)和χ2i(k)為式(39)中的量化誤差項;X1i和X2i分別為其對應的上界。

3.2 離散化系統穩定條件分析

為進一步考察離散化對含均勻量化器系統連續性的影響,下面將對3.1小節中所設計的離散化系統進行穩定性分析。

考察式(39)中的系統輸出狀態變量,對較為簡單的y2i(k+1),結合式(41)可得其上界為

|y2i(k+1)|≤|1-a1ir1i-λir2i||y2i(k)|+X2i+|ηir2i|。

(42)

下面分析較為復雜的y1i(k+1),由式(39)可知式(40)為y1i(k+1)中的關鍵項,結合式(41)可得

X1i=Hi。

(43)

其中Hi為zi(k)的上界常數。

y1i(k+1)=y1i(k)+zi(k)-

(λir1i+r2i)ηisgn(y1i(k))。

(44)

同樣對式(44)進行分類討論:若y1i(j)≥0(j=0,1,2,…,k-1),則有y1i(k+1)=y1i(0)+∑zi(j)-(λir1i+r2i)ηi,因此若Hi<(λir1i+r2i)ηi,則存在k0使得y1i(k0)≥0,而y1i(k0+1)<0,即y1i(k0)<(λir1i+r2i)ηi-zi(k0);若y1i(0)<0,則存在一點k1使得y1i(k1)<0,而y1i(k1+1)≥0,若Hi<(λir1i+r2i)ηi,則有-(λir1i+r2i)ηi-zi(k1)≤y1i(k1)<0。

由此可知,當系統到達點k0或k1對應的狀態之后,其會進入到符號函數的切換運動中,進而使得|y1i(k)|≤Hi+(λir1i+r2i)ηi。因此,當zi(k)的上界滿足Hi<(λir1i+r2i)ηi時,|y1i(k)|終會收斂到2(λir1i+r2i)ηi內。綜上所述,可得離散量化系統的穩定條件為:

(45)

且結合式(39)與式(45),進一步可得離散系統狀態x1i(k)和x2i(k)的最終收斂區域為:

(46)

4 仿真分析與實驗驗證

下面將驗證本文所設計的含均勻量化器的并聯BUCK變換器系統的穩定性能。這里以三相并聯BUCK變換器為例進行分析,其電路參數如表1所示。

表1 三相并聯Buck變換器電路參數Table 1 Circuit parameters of the three-phase parallel Buck converter

4.1 連續域下量化步長對系統影響仿真分析

由式(25)可知,含均勻量化器的并聯Buck變換器系統SMC系統的穩定性同時受電路參數、控制器參數和量化器參數三者影響。因此這里設計控制器的切換增益ηi=0.01、SMC控制參數λi=50。則由式(25)可得,當均勻量化器的量化步長li<0.4時,系統穩定。因此下面分別選取li為0.2、0.4和0.7進行對比分析,仿真結果如圖8所示。圖中的黑色點劃線之間表示|si|≤(1+λi)li/2區域。

圖8 連續域下不同量化步長下的系統狀態軌跡圖Fig.8 System state trajectory diagram under different quantization step size

由圖8(a)所示的系統狀態軌跡可知,當量化步長li=0.1時,含均勻量化器的SMC系統狀態軌跡近似于無量化器下的理想SMC系統。且由圖8(b)的局部放大圖可知,當系統狀態到達滑模面si=0之后會收斂到|si|≤(1+λi)li/2區域內,即表明此時的系統可以穩定工作。

且當系統狀態沿著與si=0相交且平行于x1i軸的量化區域邊界發生滑動,滑動面會呈現為分段形式;當li=0.4時,雖已不滿足式(25)中的穩定條件,但由圖8(c)與8(d)可知,系統狀態仍能夠收斂到|si|≤(1+λi)li/2區域內,且系統可保持穩定工作;而li=0.7時,由圖8(e)可知,系統狀態已無法收斂在|si|≤(1+λi)li/2區域內,此時系統不穩定。根據圖8(f)的局部放大圖可知,系統狀態(x1i,x1i)最終收斂在(-2.6,0)附近并形成極限環,而該收斂范圍正好超出了死區范圍xDBi∈{(x1i,x2i)|-0.35

4.2 離散域下的采樣周期和量化步長對系統影響仿真分析

這里使系統參數與4.1中保持一致,根據式(46),當采樣周期h<1.95 ms且量化步長li<0.38時,系統可收斂。故下面分不同選值情況對系統穩定性進行仿真分析,以此驗證本文所設計的離散均勻量化SMC系統的有效性。

1)當h=0.1 ms,li分別為0.2與0.4時,離散量化系統狀態軌跡如圖9(a)和圖9(b)所示。圖9(a)中,li滿足穩定性條件,系統狀態收斂,但是同連續域下的圖8(a)相比,系統的穩態性能有所降低;在圖9(b)中,li不滿足穩定性條件,與圖9(a)相比,系統狀態(x1i(k),x1i(k))沿滑模面si=0的滑動性較差,但最終收斂在死區{-0.2

圖9 離散域下不同量化步長與采樣時間的系統狀態軌跡Fig.9 System state trajectories with different quantization steps and sampling times in discrete domain

2)當li=0.2,取h分別為1 ms與2 ms時,離散量化系統狀態如圖9(c)和圖9(d)所示。圖9(c)中,當采樣周期h=1 ms滿足穩定性條件時,系統狀態收斂,但收斂效果相比圖9(a)較差;圖9(d)中,當h不滿足穩定性條件時,系統狀態(x1i(k),x1i(k))收斂在死區{-0.1

4.3 均勻量化SMC系統輸出性能仿真分析

下面在4.1與4.2小節的基礎上,給出系統的輸出電壓vO與各相電流iLi波形與性能參數,如圖10與表2所示。

表2 含均勻量化器系統的輸出性能Table 2 Output performance of the system with uniform quantizer

圖10 含均勻量化器的并聯Buck變換器系統輸出性能Fig.10 Output performance of parallel Buck converter system with uniform quantizer

在連續域下,如圖10(a),當li滿足穩定條件時(li<0.4),vO隨著li的減小而越接近非量化的理想值,由表2可知,當li=0.1時,vO的穩態誤差僅為0.045 V,收斂時間僅為0.076 s;當li=0.7時,不滿足穩定條件,vO到0.250 s時才穩定,且穩態誤差達到2.603 V,對應圖8(e)中系統不再有效收斂的情況。故這里選取li=0.1的較優步長,考察連續域中系統各相輸出電流波形,如圖10(c)所示,可見無論量化前后,各相輸出電流波形均穩定在0.333 A附近,且量化穩態誤差僅為0.002 A,表明均勻量化SMC系統起到了很好的均流控制效果。在離散域下,如圖10(b),穩定條件內的li與h越小,系統輸出vO的性能越好,在表1中,當li=0.2,h=0.1 ms時,vO的穩態誤差僅為0.061 V,收斂時間僅為0.311 s。故選取li=0.1,h=0.1 ms,得到離散域下系統各相輸出電流波形如圖10(d)所示,同樣各相電流在均勻量化SMC作用下被很好地均流,且離散后的穩態誤差僅為0.018 A,且在0.098 s內迅速收斂,離散效果較好。

4.4 離散域下均勻量化系統輸出性能實驗驗證

同樣以三相并聯Buck變換器為例,電路參數如表1所示,基于Dspace1106搭建如圖11所示的半實物仿真平臺,設計切換控制項增益ηi=0.01,滑模面參數選為λi=600,PWM調制頻率為12.5 kHz,實驗波形與數據結果如圖12與下表3所示。

表3 并聯Buck變換器系統輸出性能實驗結果Table 3 Experimental results of output performance of parallel Buck converter system

圖11 并聯Buck變換器控制系統實驗平臺Fig.11 Experimental platform of parallel Buck converter control system

圖12 并聯Buck變換器系統輸出性能實驗波形Fig.12 Experimental results of output performance of parallel Buck converter system

圖12(a)是固定采樣周期h=0.1 ms,驗證不同量化長度li對系統輸出電壓vO的影響。結合表3可知,三條曲線的響應速度基本都能在0.117 s左右達到穩態,但vO的穩態誤差卻隨著li的增加而變差。當li在滿足穩定條件范圍內變化時,系統輸出穩態誤差基本穩定在0.4 V以內,且當li取最佳值0.1時,穩態誤差達到最小,僅為0.21 V;當li超出穩定范圍取0.7時,輸出vO呈現明顯波動,且輸出穩態誤差達到了0.53 V,與4.3小節中的仿真結果一致。

圖12(b)是固定量化步長li=0.1,驗證不同采樣周期h對系統輸出電壓vO的影響。結合表3可知,隨著h由1 ms增至4 ms,系統輸出vO的穩定時間由0.119 ms增至0.135 ms,穩態誤差由0.37 V增至0.82 V,可見h的變化同時影響系統的暫態及穩態性能,且當h取值越小,系統輸出性能越優,這同樣證明了4.3小節中的仿真結果。

取h=0.1 ms、li=0.1,得到并聯Buck變換器系統三相輸出電流波形如圖12(c)所示,結合表3可知,圖中三相輸出電流均穩定在0.333 A處,穩態誤差均保持在0.008 A左右,由此證明經離散后的均勻量化控制器可以保證系統較好的均流輸出特性,也驗證了本文設計的均勻量化控制器及其離散化研究的正確性。

5 結論

本文針對用于電能路由器的并聯DC/DC變換器,結合SMC與均勻量化法設計其主從均流控制系統,實現了系統在有效時間內對長數據的有效處理,增強了其自身的控制性能。并基于系統的量化誤差分析其穩定性,得到當穩定條件下的量化步長越小,系統收斂越理想;還發現系統狀態會圍繞量化誤差邊界內的死區形成極限環,幫助確定系統的參數范圍。為了適應實際工程應用,對所設計量化系統進行離散化分析,并結合離散系統狀態的絕對收斂范圍得到了離散系統穩定性條件。最后通過仿真分析與實驗驗證,得到在0.1的量化步長和0.1 ms的采樣時間下系統能夠獲得最優的輸出性能,進一步證明了所設計的連續域和離散域下的均勻量化控制系統的有效性。