數(shù)學理解視角下數(shù)學史的價值與選取原則

黃賢明 徐敬元

［摘? 要］ 數(shù)學理解是國際數(shù)學教育研究的熱門話題之一，數(shù)學史在數(shù)學理解的過程中也發(fā)揮著重要作用. 文章通過對數(shù)學理解的內(nèi)涵及特征的分析，指出數(shù)學史與數(shù)學理解的關系，揭示數(shù)學史對于數(shù)學理解的價值是“解釋知識之源、促進意義構建、推動遷移應用和奠定文化理解”，并提出數(shù)學史的選取應遵循啟發(fā)性、探索性和深刻性原則.

［關鍵詞］ 數(shù)學理解；數(shù)學史；選取原則

理解是教育永恒的追求. 20世紀90年代以來，“學習經(jīng)濟”與“終身學習”得到國際社會的廣泛認同，有效學習的理念也逐漸從“記憶與練習”轉向“理解與應用”. 學習者必須擁有對復雜概念的深層次理解能力，并能將其應用于生成新的知識、新的觀點、新的理論等［1］. 自此，“為理解而教，為理解而學”的教育理念成為當代教育改革的重要思潮. 在數(shù)學教育領域，數(shù)學理解一直是人們關注的重點，與問題解決并列為國際數(shù)學教育研究的兩大主題. 在已有的研究中，人們已經(jīng)重點探討了數(shù)學理解的內(nèi)涵、數(shù)學理解的價值意義、數(shù)學理解的過程模型、數(shù)學理解的實現(xiàn)等問題，其中皮瑞和基倫深入研究了數(shù)學理解的增長趨勢與表征，構建了“超回歸”數(shù)學理解模型，提出了數(shù)學理解的八個水平，對后續(xù)數(shù)學理解的研究產(chǎn)生了深遠影響. 對于數(shù)學理解的實現(xiàn)問題的探討，研究者的觀點不盡相同，有的研究強調(diào)教師在課堂教學中的主導作用，有的研究則關注數(shù)學交流、數(shù)學實驗在數(shù)學理解中的價值……隨著國內(nèi)HPM研究的深入，數(shù)學史“知識之諧、文化之魅、方法之美、探究之樂、德育之效”的教育價值不斷凸顯，基于數(shù)學史的教學課例不斷開發(fā)，數(shù)學史亦受到了廣泛關注［2］. 自然，數(shù)學史在教學中的滲透也將在一定程度上促進數(shù)學理解，即數(shù)學史在數(shù)學理解的實現(xiàn)中也擁有不容忽視的作用與價值. 但目前很少有研究者從數(shù)學史的視角下探索數(shù)學理解的實現(xiàn)，HPM研究與數(shù)學理解的研究處于相對獨立的狀態(tài). 鑒于此，本研究嘗試探索數(shù)學史在數(shù)學理解中的作用，構建數(shù)學史與數(shù)學理解的關系，并在數(shù)學史五大選取原則上闡述指向數(shù)學理解的數(shù)學史選取新原則.

數(shù)學理解的理論框架

1. 從理解到數(shù)學理解

“理解”在《辭海》中被定義為：“了解、領會. 是通過揭露事物間的聯(lián)系而認識新事物的過程. ”而《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）則將“理解”作為描述目標的行為動詞，解釋為：“描述對象的由來、內(nèi)涵和特征，闡述此對象與相關對象之間的區(qū)別和聯(lián)系.［3］”理解是一個較難界定的概念，不同學科流派也會產(chǎn)生截然不同的認識. 從哲學的角度來看，理解最早源于對古代文化的解釋. 隨著人們對“理解”問題的探索，理解最終被視為人的交往實踐活動，強調(diào)理解的創(chuàng)造性和主體性，關注理解的多元性和差異性. 從認知心理學的角度來看，理解本質(zhì)上是學習者以信息的傳輸、編碼為基礎，根據(jù)對已有信息建構內(nèi)部的心理表征，獲得心理意義的過程［4］. 從腦科學的角度來看，理解是學習者在浸潤性地主動參與動態(tài)的、整體性的、實踐性的知識的建構，即以整體、浸潤、聯(lián)系的觀點來解釋理解.

“數(shù)學理解”區(qū)別于一般的“理解”，它是對數(shù)學知識、數(shù)學思想等的理解，研究者對其內(nèi)涵的解釋也各具特色，具體從以下三個角度進行說明：一是網(wǎng)絡聯(lián)系的角度，數(shù)學理解是指數(shù)學對象被納入學習者的內(nèi)部表征網(wǎng)絡，即學習者將新知識與已有知識建立聯(lián)結，使之納入學習者頭腦中的知識網(wǎng)絡，進一步豐富、完善網(wǎng)絡結構. 二是表征轉化的角度，數(shù)學理解是指用不同的方式表征數(shù)學對象，并實現(xiàn)表征方式相互轉化的能力. 在表征方式相互轉化的過程中，學習者需重新解釋和建構數(shù)學對象，獲得對數(shù)學對象的新認識，形成深刻的理解. 三是類型層次的角度，斯根普提出工具性理解和關系性理解的分類，并指出數(shù)學教學的最終目標是使學生獲得關系性理解. 研究者在此基礎上提出了理解的四面體模型，即數(shù)學理解可以劃分為直觀理解、程序理解、抽象理解和形式理解，詮釋了數(shù)學理解的多樣性、過程性等特點.

2. 數(shù)學理解的特征

從數(shù)學理解的內(nèi)涵中不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學理解擁有以下幾個特征.

其一，數(shù)學理解是集過程與結果于一體的概念. 這意味著數(shù)學理解既是一個動態(tài)、連續(xù)、螺旋式發(fā)展的過程，也是經(jīng)歷數(shù)學理解性學習后所達成的對數(shù)學對象的理解結果. 從過程來看，數(shù)學理解是從淺層理解出發(fā)，在一系列外部刺激的作用下，逐漸形成對數(shù)學知識的深層理解的過程. 從結果來看，數(shù)學理解是指學習者表露出來的對數(shù)學知識提取、應用的能力，所謂數(shù)學理解的達成就是學習者能夠準確描述數(shù)學對象的內(nèi)涵、區(qū)別、聯(lián)系，形成數(shù)學對象的知識網(wǎng)絡，并能夠隨時將其應用于問題的發(fā)現(xiàn)與解決.

其二，數(shù)學理解的本質(zhì)在于建立聯(lián)結. 其既是建立新舊知識聯(lián)系的過程，從而形成數(shù)學知識網(wǎng)絡；又是建立聯(lián)結、知識納入網(wǎng)絡的結果，即達成了關系性理解，從而表露出將數(shù)學對象的不同表征方式相互轉化的能力.

其三，數(shù)學理解擁有不同的水平層次. 對于相同的數(shù)學知識，受限于不同學習者的理解能力、學習習慣等因素，所獲得的數(shù)學理解也是參差不齊的. 具體來說，可以分為記憶性理解水平、解釋性理解水平和探究性理解水平［5］，高水平層次的數(shù)學理解是數(shù)學教育所追求的目標.

3. 數(shù)學理解與數(shù)學史的關系

數(shù)學理解與數(shù)學史既相互獨立又相互聯(lián)系. 第一，數(shù)學史是實現(xiàn)數(shù)學理解的重要手段. 數(shù)學史正如“使面包和黃油更加可口的蜂蜜”，使數(shù)學學習更具有吸引力［6］，其教育價值不言而喻. 因此，數(shù)學史不僅要在課堂教學中有所滲透，在教材、習題、考試中也應該有所體現(xiàn). 在知識理解的過程中，數(shù)學史的加入能夠有效解決“知識何來源”“知識何價值”“知識何應用”等疑惑，構建學生對知識意義的理解，同時也能夠激發(fā)學生的探索興趣，促使學生文化性理解的形成. 第二，數(shù)學理解必將促進學生對數(shù)學史的探索. 數(shù)學理解的實現(xiàn)是多種因素相互作用而達成的結果，學生的好奇心與求知欲將不斷驅動他們探索知識及其相關內(nèi)容，包括對知識背后數(shù)學史的理解. 第三，數(shù)學理解與數(shù)學史在數(shù)學教學中是相互制約、相互引導、相互促進的. 在數(shù)學理解的過程中總會存在一些只能通過數(shù)學史來回答的問題，如“‘函數(shù)一詞是怎么來的？”“無理數(shù)是‘沒有道理的數(shù)嗎？”等等. 當然，學生的數(shù)學理解水平會影響他們對數(shù)學史的認識與理解. 因此，在數(shù)學教學中要把握好數(shù)學理解與數(shù)學史的關系，巧妙地將數(shù)學史滲透于數(shù)學理解的始終，使其更好地為數(shù)學理解的實現(xiàn)而服務.

數(shù)學史對數(shù)學理解的價值

1. 解釋知識之源

學生對于數(shù)學知識的理解往往是一種經(jīng)驗性理解，即源于學生已有認知或生活經(jīng)驗的對數(shù)學知識表層的、不全面的、主觀的，甚至錯誤的理解與認識，是學生知識理解道路的起點. 學生的學習困難具有歷史的相似性，數(shù)學史恰巧可以承擔起學生理解道路中“指明燈”的角色，解決“知識何源”的問題. 例如，勾股定理最早可能是由畢達哥拉斯在觀察等腰直角三角形拼成的地磚中發(fā)現(xiàn)的. 在教學中，教師就可以創(chuàng)設相似情境，呈現(xiàn)圖1，讓學生在觀察中發(fā)現(xiàn)勾股定理的雛形，得到相關假設并加以驗證. 在這個過程中，可以充分調(diào)動學生的經(jīng)驗性理解，闡述勾股定理的來源，并有效推動勾股定理的探索進程，促進學生對勾股定理的理解.

2. 促進意義構建

在《標準》的課程內(nèi)容中，經(jīng)常會出現(xiàn)“理解……的意義”的要求，如“理解負數(shù)的意義”“能根據(jù)現(xiàn)實情境理解方程的意義”等. 那何為“理解知識的意義”呢？這是在理解數(shù)學知識本質(zhì)的基礎上，還要理解其產(chǎn)生的意義和學習的意義，乃至對數(shù)學學科價值的理解，屬于數(shù)學理解的重要一環(huán). 數(shù)學知識的意義并非無源之水、無根之木，需要以歷史的視角來審視，整體構建知識的多種意義，以此促進學生對數(shù)學的理解. 以韋達定理的教學為例，大多數(shù)教材都選擇用求根公式來求證韋達定理，這種方法雖然簡便、直觀、易于理解，但其恰恰忽視了對韋達定理的意義的構建. 求根公式的實質(zhì)就是用一元二次方程的系數(shù)來表示方程的根，也就是說學生已經(jīng)掌握了根與方程系數(shù)的具體關系，那為何還要學習兩根和、兩根積與系數(shù)的關系呢？再加上初中階段對韋達定理的應用較少，這不禁讓學生質(zhì)疑韋達定理的意義，進而阻礙學生深入理解. 從歷史上看，韋達定理最早可以追溯到16世紀，其證明方法大多圍繞的是“設而不求”思想，如吉拉爾的代入相減法、歐拉的因式分解法等. 直到19世紀，華里斯才運用韋達定理得到了求根公式. 因此，教學中可以選取較為復雜的一元二次方程（如系數(shù)過大的一元二次方程）用于學生感受求根公式的“失效”，進而引出韋達定理，并利用歷史上的方法加以證明，最后設置用韋達定理證明求根公式的環(huán)節(jié)，促使學生建立韋達定理與求根公式之間的聯(lián)結，達成對韋達定理的意義的理解.

3. 推動遷移應用

遷移性理解是指將知識應用于陌生的情境中解決相關問題的過程，是在數(shù)學理解過程中檢測學生數(shù)學理解水平的重要階段，也詮釋了數(shù)學理解的價值意義. 數(shù)學史在此階段充當著“素材庫”的作用，教師可以選擇相關數(shù)學史料作為背景設計相關試題，以達到檢測學生的數(shù)學理解水平，促使學生遷移應用知識的目的. 例如，在初中函數(shù)概念的教學中，教師可以圍繞函數(shù)概念的發(fā)展歷史設計問題（如圖2所示），引導學生思考歷史上的數(shù)學家所定義的函數(shù)存在的缺陷，將如今的函數(shù)概念與歷史上的函數(shù)概念作對比，進一步加深對函數(shù)概念的理解. 當然，《九章算術》《幾何原本》等數(shù)學專著中的數(shù)學問題及其改編題也能在教學中達到相應的目的.

4. 奠基文化理解

數(shù)學史是數(shù)學文化的有機組成部分，也是數(shù)學教學不可或缺的內(nèi)容. 在知識理解中，文化性理解貫穿數(shù)學理解始終，為數(shù)學理解的各個環(huán)節(jié)提供著源源不斷的“能量”. 文化性理解是立足知識本身，并追溯到知識背后所隱藏的發(fā)展脈絡、名人軼事、思想方法等，形成學生獨特的數(shù)學文化體系. 數(shù)學史的加入能夠在學生心里埋下一顆“文化的種子”，這顆“種子”將會在學生后續(xù)知識的學習中生根發(fā)芽，長成一棵參天大樹. 例如，學生在七年級學習負數(shù)等內(nèi)容時，教師可以滲透中西方關于負數(shù)的歷史，引導學生自主思考西方為何不接受負數(shù)等問題，捋清負數(shù)的發(fā)展脈絡. 而后隨著學習的深入，在探索一元二次方程的幾何解法時學生就會意識到，西方數(shù)學家更傾向于在直觀的幾何中找到對數(shù)學的解釋，比如幾何解法只能表示正根. 此時，學生對數(shù)學的理解不再停留于知識本身，而是在此基礎上以整體的視角構建一種文化理解觀，達到較高水平的數(shù)學理解.

指向數(shù)學理解的數(shù)學史選取原則

從已有研究來看，數(shù)學史的選取要遵循“趣味性、可學性、有效性、人文性和科學性”五大原則，這是數(shù)學史選取的基本原則［2］. 在指向數(shù)學理解的視角下，數(shù)學史不能如蜻蜓點水般地簡單羅列，而要在“好”中取“精”，選擇最適合幫助學生達成數(shù)學理解的史料. 因此，數(shù)學史的選取原則應有所補充——加入啟發(fā)性、探索性和深刻性原則，具體見表1.

在指向數(shù)學理解的數(shù)學史的選取中，首先要遵循啟發(fā)性和探索性原則，做到讓數(shù)學史為推動數(shù)學理解的實現(xiàn)而服務，既幫助學生激活舊知、激發(fā)求知欲，又有效推進學生深入數(shù)學理解. 其次，以深刻性原則保證數(shù)學史呈現(xiàn)的有效性，以期學生通過所呈現(xiàn)的數(shù)學史獲得對數(shù)學知識更為全面的理解，這種理解包括知識背后的歷史文化等內(nèi)容，進而激發(fā)學生自主探索的欲望. 當然，深刻性也可以是數(shù)學史料中的德育、美育等因素對學生留下的深刻印象.

結語

數(shù)學史在數(shù)學理解的實現(xiàn)中發(fā)揮著重要作用，指向數(shù)學理解的教學自然也離不開相關數(shù)學史的融入. 在數(shù)學理解實現(xiàn)的道路中，教師要關注理解過程，聚焦理解本質(zhì)，明晰理解目標，在五大原則的基礎上以啟發(fā)性、探索性和深刻性原則選取史料，并在恰當?shù)慕虒W環(huán)節(jié)中展示出來，以此促進數(shù)學理解的實現(xiàn).

參考文獻：

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［6］黃賢明. 數(shù)學史滲透數(shù)學教學的微思考——以“有理數(shù)”單元為例［J］. 中學數(shù)學月刊，2022（06）：49-51.