用聯(lián)系的觀點(diǎn)看解析幾何章節(jié)起始課的教學(xué)
——以“直線的傾斜角與斜率”為例

徐曉芳

(嘉興市秀州中學(xué),浙江 嘉興 314033)

平面解析幾何是“幾何與代數(shù)”主線的重要組成內(nèi)容,是學(xué)生感受幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算融合、體悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間關(guān)聯(lián)、理解數(shù)學(xué)整體性的重要載體[1].“直線的傾斜角與斜率”是解析幾何的章節(jié)起始課,是學(xué)生運(yùn)用坐標(biāo)法按照解析幾何的“基本套路”解決問題的首次實(shí)踐.本節(jié)課滲透了解析幾何的思想方法,幫助學(xué)生初步了解幾何要素代數(shù)化的過程,為整個(gè)解析幾何的后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了認(rèn)知基礎(chǔ).那么,如何在聯(lián)系的觀點(diǎn)啟發(fā)下,發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容與已有經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、思想方法與文化的多角度、多層次聯(lián)系?如何讓章節(jié)起始課更好地體現(xiàn)知識(shí)的整體性、邏輯的連貫性、方法的普適性、思想的一致性?本文以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(以下統(tǒng)稱“教材”)中“直線的傾斜角與斜率”為例來談?wù)効捶?

1 聯(lián)系的3個(gè)層次

1.1 教學(xué)生成的基石:知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)結(jié)

1.2 數(shù)學(xué)思維之道:思想與方法的聯(lián)結(jié)

在本節(jié)課之前,學(xué)生已經(jīng)知道三角函數(shù)通過坐標(biāo)法將任意角α與其終邊和單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)建立起函數(shù)關(guān)系,又通過坐標(biāo)法將圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性轉(zhuǎn)化成了三角恒等變換公式,向量更是利用坐標(biāo)法將圖形中的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算.在本節(jié)課中,學(xué)生將學(xué)習(xí)先觀察直線的幾何特征,建立坐標(biāo)系,然后將圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式,通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何問題.通過前后知識(shí)對(duì)比,學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題的解決模式與之前三角函數(shù)概念的引入、向量的坐標(biāo)化完全一致,后續(xù)學(xué)習(xí)圓、橢圓、雙曲線、拋物線又加深了這種印象,即解析幾何的問題解決模式是“幾何圖形—建立坐標(biāo)—幾何性質(zhì)代數(shù)化”.在這些“完全一致”之間,學(xué)生浸潤(rùn)式地學(xué)習(xí)與體會(huì)了“怎樣去研究數(shù)學(xué)”,即數(shù)學(xué)“思維之道”.

1.3 數(shù)學(xué)文化性的體現(xiàn):理性精神的一以貫之

在本節(jié)課中,推導(dǎo)斜率計(jì)算公式本質(zhì)上是坐標(biāo)法下的一次數(shù)形轉(zhuǎn)化.我們已經(jīng)知道數(shù)形結(jié)合思想與坐標(biāo)法在解決平面幾何問題中具有強(qiáng)大的普適性,即可以用一種程序性方法解決一眾紛繁復(fù)雜的幾何問題,且將研究由定性推向定量.這也是近代哲學(xué)之父笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的初衷之一.笛卡兒深受數(shù)學(xué)理性思維與數(shù)學(xué)研究方式的影響,折服于數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔、抽象、統(tǒng)一的美和超越感官與表象對(duì)事物本質(zhì)從理性角度無限窮究的精神[2].而這些無疑是隱藏在解析幾何與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容背后的深度文化聯(lián)結(jié).教師要引領(lǐng)學(xué)生感悟,以沖破具體知識(shí)的束縛在更廣、更高的文化維度上俯瞰知識(shí),體驗(yàn)數(shù)學(xué)哲思,感悟數(shù)學(xué)與世界、自我的聯(lián)系.

2 聯(lián)系觀點(diǎn)下解析幾何教學(xué)的案例展示

2.1 整體規(guī)劃,構(gòu)建聯(lián)系方法主線

問題1通過章導(dǎo)言的學(xué)習(xí),請(qǐng)簡(jiǎn)單評(píng)價(jià)一下綜合法與坐標(biāo)法.

問題2坐標(biāo)法在以前用過嗎?最早一次在哪里?

問題2-1三角函數(shù)如何定義?

問題2-2類比三角函數(shù)、向量、復(fù)數(shù)、立體幾何等內(nèi)容,如何對(duì)直線開展研究?

問題3用坐標(biāo)法研究直線時(shí),若把一條直線“放到”坐標(biāo)系里面去,則可以有幾類放法?

問題3-1直線的傾斜程度是有差異的,如何刻畫這種差異?

2.2 設(shè)核心問題,鑄聯(lián)系之錨

問題4依據(jù)直線的4類傾斜情況,若在直線l1上任取一點(diǎn)P(x,y),根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)猜測(cè),橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的關(guān)系如何?

問題4-1傾斜角0°,90°對(duì)應(yīng)的直線,其橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)有何特征?

問題4-2對(duì)傾斜角更為一般的情況,你能找到x與y的關(guān)系式嗎?

評(píng)注問題4是核心問題,它既聯(lián)系了初中舊知,又挖掘了函數(shù)與方程的內(nèi)在關(guān)系,同時(shí)滲透了坐標(biāo)法求解曲線方程的關(guān)鍵思路,為本節(jié)課及后續(xù)直線方程、圓錐曲線等研究指明了方向,是立足本課放眼全章的聯(lián)系之錨.

2.3 于多對(duì)聯(lián)系中,形成猜想

問題5如何確定y=kx+b中k,b的值?

問題5-1確定一條直線的幾何要素是什么?

問題6求解問題,并嘗試推測(cè)k值與直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)、直線方向向量的可能關(guān)系:

問題6-1兩個(gè)問題有沒有關(guān)系?

問題6-2你有什么猜想嗎?可以證明嗎?

2.4 在數(shù)形轉(zhuǎn)化中,強(qiáng)化知識(shí)本質(zhì),構(gòu)建整體聯(lián)系

問題7-4你能說說斜率k與一次函數(shù)y=kx+b中常數(shù)k的聯(lián)系嗎?對(duì)于初中一次函數(shù)圖象“當(dāng)k>0時(shí),直線從左向右上升;當(dāng)k<0時(shí),直線從左向右下降”,你能用今天的知識(shí)解釋嗎?

2.5 一題多解,多法聯(lián)結(jié)

問題8若直線l1經(jīng)過點(diǎn)P1(x1,y1)和P2(x2,y2),其中x1≠x2,則斜率如何求?

評(píng)注鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)角度分析問題,獲得多種解法,以實(shí)現(xiàn)對(duì)斜率更全面地理解.

2.6 比較、延展,縱橫聯(lián)系

評(píng)注問題9與問題9-1在延展中強(qiáng)化了斜率與向量特別是方向向量的縱向聯(lián)系;問題9-2在同一對(duì)象不同表述的比較中,加強(qiáng)斜率多個(gè)表達(dá)形式的橫向聯(lián)系.

2.7 首尾呼應(yīng),由本節(jié)輻射全章

問題10本節(jié)課伊始,已經(jīng)簡(jiǎn)單評(píng)價(jià)過綜合法與坐標(biāo)法,那么通過傾斜角與斜率的學(xué)習(xí),大家對(duì)此有新的認(rèn)識(shí)嗎?

問題11我們已經(jīng)通過坐標(biāo)法把直線的傾斜程度這個(gè)“形”的東西轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的形式.那么,如何把直線由“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”呢?

評(píng)注問題10引導(dǎo)學(xué)生由對(duì)具體知識(shí)的關(guān)注回歸到獲得知識(shí)的數(shù)學(xué)思想方法——坐標(biāo)法與數(shù)形結(jié)合上來;問題11繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生反思斜率的獲得過程.由于問題4的鋪墊以及對(duì)初中一次函數(shù)知識(shí)等的回顧,學(xué)生已經(jīng)初步探明直線上任意一點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系,為后面直線方程的學(xué)習(xí)埋下伏筆.

2.8 多樣作業(yè),文化引領(lǐng)

作業(yè)1習(xí)題2.1復(fù)習(xí)鞏固1～4,教材第55頁練習(xí)4和練習(xí)5.

作業(yè)2了解笛卡兒的生平與其生活的17世紀(jì)的文化背景,評(píng)論數(shù)學(xué)的研究方法對(duì)17世紀(jì)文化、科學(xué)、藝術(shù)等多領(lǐng)域的影響.

3 聯(lián)系觀點(diǎn)下解析幾何章節(jié)起始課教學(xué)的思考

由于在聯(lián)系中下足了功夫,整節(jié)課兼顧了知識(shí)的整體性、邏輯的連貫性、方法的普適性、思想的一致性,在學(xué)生中收到了良好的反饋.總結(jié)起來,聯(lián)系觀點(diǎn)下解析幾何章節(jié)起始課的教學(xué)需要在以下幾個(gè)方面做出切實(shí)努力.

3.1 需要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)

3.2 必須有本質(zhì)的核心問題的提出

斜率的本質(zhì)是直線傾斜程度的代數(shù)表示,而實(shí)現(xiàn)數(shù)與形轉(zhuǎn)化的方法就是坐標(biāo)法.如何讓學(xué)生自然地想到坐標(biāo)法并且深入領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想?核心問題的設(shè)置顯得特別重要.本節(jié)課通過設(shè)置問題2,4,5,7,11等,特別是通過問題4與問題11,使得從坐標(biāo)法的引入到對(duì)直線上任意一點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)關(guān)系的探討,再到數(shù)學(xué)思想方法的回歸,整節(jié)課首尾呼應(yīng)、渾然一體,不僅將一次函數(shù)、傾斜角、方向向量、三角函數(shù)、斜率等一眾概念內(nèi)置于問題4的探索過程中,創(chuàng)新了傾斜角與斜率的引入方式,還凸顯了解析幾何處理問題的一般方法以及背后的數(shù)學(xué)思想.又比如斜率公式的探究是一個(gè)綜合運(yùn)用知識(shí)的過程,有的方法對(duì)部分學(xué)生而言有難度,如何鋪墊使其自然生成?問題2-1讓鋪墊順其自然,問題8則為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)綜合運(yùn)用知識(shí)、多角度理解斜率概念的機(jī)會(huì).

3.3 必須要有一般觀念的指導(dǎo)與文化精神上的引領(lǐng)

圓、橢圓、雙曲線、拋物線的研究都是從圖形的幾何要素(定義)開始,再通過它們的代數(shù)方程探究,如幾何性質(zhì)、位置關(guān)系等問題.而直線卻是從斜率、位置關(guān)系再到方程,與解析幾何總體的研究路徑不一致.本節(jié)課通過“整體規(guī)劃,構(gòu)建聯(lián)系方法主線”與“設(shè)核心問題,鑄聯(lián)系之錨”兩個(gè)部分,將探求曲線方程的關(guān)鍵方法——尋得曲線上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系滲透進(jìn)教學(xué).這樣做,一來使得整個(gè)解析幾何的研究路徑更為連貫一致;二來為后續(xù)直線方程的學(xué)習(xí)埋下伏筆;三來使得本節(jié)課在坐標(biāo)法與數(shù)形結(jié)合等重要解析思想的運(yùn)用上有了兩條線——一條線是傾斜程度與斜率的數(shù)形轉(zhuǎn)化;另一條線是直線與直線方程的數(shù)形轉(zhuǎn)化.此外,本節(jié)課通過設(shè)置作業(yè)2,給學(xué)生創(chuàng)造了沖破具體知識(shí)的束縛在更廣、更高的文化維度上俯瞰知識(shí)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化哲思、感悟數(shù)學(xué)理性精神的機(jī)會(huì).