活用教材:回歸有價(jià)值的數(shù)學(xué)思維原點(diǎn)

王 濤

(松陽(yáng)縣第一中學(xué),浙江 松陽(yáng) 323400)

好的數(shù)學(xué)問(wèn)題由命題專家精心命制,具有科學(xué)性、示范性、經(jīng)典性、引導(dǎo)性[1].近年來(lái),高考真題以“無(wú)背景,不成題;無(wú)思維,不命題;無(wú)價(jià)值,不入題”為命題指導(dǎo)思想,突出選拔功能,其創(chuàng)新度、考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深度、考查學(xué)生數(shù)學(xué)解決問(wèn)題能力的高度陡增.因此,課堂教學(xué)要回歸價(jià)值思維的原點(diǎn),特別是在新授課上,要更好地揭開(kāi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的背景、更準(zhǔn)確地揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)、更深入地揭秘有價(jià)值的數(shù)學(xué)思維,引導(dǎo)學(xué)生提出有價(jià)值的問(wèn)題、分析有價(jià)值的問(wèn)題、解決有價(jià)值的問(wèn)題.

1 源于教材,高于教材,數(shù)學(xué)思維要有深度

數(shù)學(xué)命題源于教材,但高于教材.對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)知識(shí)的理解從具體到抽象,又從抽象到更具體,不斷地循序漸進(jìn).教師要在循序漸進(jìn)中促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維走向深刻.例如,對(duì)抽象函數(shù)的考查,其思維的原點(diǎn)在于理解問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象表達(dá)形式,深刻理解函數(shù)的概念和性質(zhì).因此,教師在課堂教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生回顧、深刻理解函數(shù)的概念和性質(zhì).

例1(多選題)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則

( )

A．f(0)=0

B．f(1)=0

C．f(x)是偶函數(shù)

D．x=0為f(x)的極小值點(diǎn)

(2023年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第11題)

分析對(duì)于選項(xiàng)A,令x=y=0,得

f(0)=0f(0)+0f(0)=0.

對(duì)于選項(xiàng)B,令x=y=1,得

f(1)=1f(1)+1f(1),

則

f(1)=0.

對(duì)于選項(xiàng)C,令x=y=-1,得

f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),

則

f(-1)=0.

令y=-1,得f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,故f(x)為偶函數(shù).

對(duì)于選項(xiàng)D,不妨令f(x)≡0,即f(x)恒等于0,顯然符合題設(shè)條件,此時(shí)f(x)無(wú)極值.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

因此,選A,B,C.

評(píng)注思維的原點(diǎn)在于從特殊到一般,如特殊點(diǎn)、特殊元素、特殊位置、特殊函數(shù)等,學(xué)生思維深刻性在于理解題意.

對(duì)于選項(xiàng)D,還可以進(jìn)行以下分析:

當(dāng)x2y2≠0時(shí),對(duì)f(xy)=y2f(x)+x2f(y)兩邊同時(shí)除以x2y2,得

當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2lnx,則

令f′(x)<0,得

令f′(x)>0,得

評(píng)注在上述分析中,思維的原點(diǎn)在于舉反例.在課堂教學(xué)中,舉反例說(shuō)明或概念辨析是重要的思想方法之一.

2 依據(jù)教材,理解教材,數(shù)學(xué)思維要有廣度

數(shù)學(xué)命題依據(jù)教材、課程標(biāo)準(zhǔn),教師在理解教材、理解標(biāo)準(zhǔn)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上,要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行比較,提高對(duì)數(shù)學(xué)的整體性認(rèn)識(shí),加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.教師在理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的基礎(chǔ)上,要拓展數(shù)學(xué)思維的廣度.

(2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第18題)

本文僅對(duì)第1)小題進(jìn)行分析.

得 sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)

=tanB,

又

故

3 基于教材,拓展教材,數(shù)學(xué)思維要有適切性

基于教材,充分挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,并進(jìn)行適度拓展推廣,總結(jié)形成數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想,形成解決問(wèn)題的有價(jià)值的思維邏輯起點(diǎn)[2].

(教材第108頁(yè)例3)

(教材第121頁(yè)探究)

例5已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(其中m≠0),求頂點(diǎn)C的軌跡.

(教材第146頁(yè)復(fù)習(xí)參考題第11題)

通過(guò)總結(jié)梳理例3～5,可證明以下結(jié)論.

還可以引申證明以下2個(gè)結(jié)論.

評(píng)注學(xué)生在解決類似的問(wèn)題之后,就有了更好的解題思路,作為通性通法的新原點(diǎn).

類比圓、橢圓的斜率之積,還可拓展、推廣得到雙曲線的類似性質(zhì)(此處略).

4 讀懂教材,講好教材,數(shù)學(xué)思維要有效度

讀懂教材,講好教材,對(duì)其中蘊(yùn)含的重要知識(shí)技能、思想方法進(jìn)行必要挖掘與總結(jié)提升[3],這些知識(shí)方法可能是命題專家的關(guān)注點(diǎn),是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的思維原點(diǎn).教材章節(jié)引言中提到“本章我們采用坐標(biāo)法研究幾何圖形的性質(zhì).坐標(biāo)法是解析幾何中最基本的研究方法”,通過(guò)教學(xué)總結(jié)解析幾何題解答的“四步曲”,即“構(gòu)圖→代數(shù)化→運(yùn)算→結(jié)論”,其中最關(guān)鍵的是“代數(shù)化”思想.

1)求l的斜率;

(2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第21題)

分析將核心條件代數(shù)化,令點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),得

kAP+kAQ=0,

即

將問(wèn)題目標(biāo)代數(shù)化,得

(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0,

因此

由Δ=16m2k2-4(2m2+2)(2k2-1)>0,得

又kAP+kAQ=0,得

即 (x1-2)(kx2+m-1)+(x2-2)(kx1+m-1)=0,

亦即 2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,

化簡(jiǎn)得

8k2+4k-4+4m(k+1)=0,

即

(k+1)(2k-1+m)=0,

得k=-1或m=1-2k.當(dāng)m=1-2k時(shí),直線l:y=kx+m=k(x-2)+1過(guò)點(diǎn)A(2,1),舍去.故k=-1.

解法2設(shè)直線l的方程為p(x-2)+q(y-1)=1．

(x-2+2)2-2(y-1+1)2=2,

從而

(x-2)2+4(x-2)-2(y-1)2-4(y-1)=0,

即 (x-2)2+4(x-2)[p(x-2)+q(y-1)]-2(y-1)2

-4(y-1)[p(x-2)+q(y-1)]=0,

亦即 (2+4q)(y-1)2+(4p-4q)(y-1)(x-2)

-(1+4p)(x-2)2=0,

從而

于是

p=q,

故

評(píng)注此題凸顯了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).遇到復(fù)雜問(wèn)題時(shí),首先通過(guò)可視化思維,借助圖形將信息變得有序直觀;然后借助流程思維,將問(wèn)題分為多個(gè)流程,再對(duì)每個(gè)流程進(jìn)行優(yōu)化,從而提升思維效度.

好的數(shù)學(xué)問(wèn)題能有效引導(dǎo)課堂教學(xué),嚴(yán)格依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》),確保“內(nèi)容不超范圍,深度不超要求”,在《課標(biāo)》范圍之內(nèi),遵循教育規(guī)律,進(jìn)一步深化基礎(chǔ)知識(shí);深刻領(lǐng)會(huì)“突出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),重視理性思維的能力,凸顯問(wèn)題解決的能力,堅(jiān)持核心素養(yǎng)的導(dǎo)向”,強(qiáng)化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)全面深刻的理解和融會(huì)貫通的運(yùn)用,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)有所思、思有所疑、疑有所問(wèn)、問(wèn)有所悟;在深刻理解的基礎(chǔ)上融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用,教師要把教學(xué)重點(diǎn)從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng).