2023年中考圓與銳角三角函數綜合試題的分析與啟示

唐亞軍, 范明志

(1.南通市海門港新區實驗初級中學,江蘇 南通 226100;2.阜陽實驗中學南校區,安徽 阜陽 236113)

初中學業水平考試(中考)為評價區域和學校教學質量、改進教學提供重要的參考.《義務教育數學課程標準(2022年版)》要求試題命制要“堅持素養立意,凸顯育人導向”,既要關注數學的本質,又要關注通性通法[1].圓自古以來就是平面幾何的主角,是曲線型圖形的代表,無論是與其他幾何圖形的關系,還是其研究的內容、結構、過程與方法等,都可以給學生更多的自主探究的機會[2],可以更好地培養學生的創新思維、理性思維與科學精神,提升學生的素養.圓是各省市數學中考的必考內容,其中圓與銳角三角函數結合的題目難度大,綜合性高,學生總是難以把握這類題型的本質.因此,總結題型,關注此類題的通性通法,是打破該桎梏的重要方法之一.

總結2023年中考圓與銳角三角函數綜合試題可以發現,都是進行求值,總體分為3類:“求”三角函數值、“給”三角函數值、“用”三角函數值.

1 “求”三角函數值

該類題型是求某一個角的三角函數值.在初中階段,三角函數值的計算是放在直角三角形中的,因此,該類題型的本質是作所求角的直角三角形或將所求角轉化,找出含有其等角或同角的直角三角形進行解題.

1.1 構造直角三角形法

圖1 圖2

1)求⊙O的半徑;

2)求∠BAC的正切值.

(2023年上海市數學中考試題第21題)

分析如圖2,作OE⊥AB于點E,CF⊥AB于點F,在第1)小題求出⊙O的半徑OB=5之后,相應地求出OE=3,BE=AE=4,OC=2.5.此時要想求出∠BAC的正切值,必須找到含有∠BAC或與∠BAC有等角的直角三角形.觀察圖2可知圖中沒有此類型的直角三角形,因此考慮作出含有所求∠BAC的直角三角形.

2)解如圖2,過點O作OE⊥AB于點E,過點C作CF⊥AB于點F.因為△BOE∽△BCF,所以

又BO=5,BC=7.5,BE=4,OE=3,則

BF=6,CF=4.5,

從而

AF=2,

故

1.2 等角或同角轉化法

圖3 圖4

1)求證:AD∥HC;

3)略.

(2023年浙江省麗水市數學中考試題第24題)

分析要求tan∠FAG,需找出含有∠FAG的直角三角形,即Rt△AFG,但AF,FG不易求出.由題意可知

∠FAG=∠CAG,

從而

tan∠FAG=tan∠CAG,

利用垂徑定理即可求出各邊之間的關系.

GC=k,OC=OA=3k.

由勾股定理可得

從而

即

2 “給”三角函數值

此類題型是給出某個角的正弦、余弦或正切值,求相關線段的值.這類題往往涉及線段之間的比值關系,進一步結合勾股定理可以表示出這個角或其等角所在直角三角形的三邊關系.因此,此類問題的解決方式是:設未知數表示出所求線段和含有已知邊長的直角三角形的邊長,再利用勾股定理、相似或其他等量關系求解未知數,進而解題.

2.1 構造直角三角形法

例3如圖5,AB與⊙O相切于點A,半徑OC∥AB,BC與⊙O相交于點D,聯結AD.

圖5 圖6

1)求證:∠OCA=∠ADC;

(2023年四川省南充市數學中考試題第22題)

OC=AF=k,BF=3k,

所以

BA=2k.

在Rt△BAE中,

則

在Rt△AED中,

∠ADE=45°,

從而

又因為AD=2,所以

則

即

2.2 參數表示法

例4如圖7,AB是⊙O的直徑,點C,F是⊙O上的點,且∠CBF=∠BAC,聯結AF,過點C作AF的垂線,交AF的延長線于點D,交AB的延長線于點E,過點F作FG⊥AB于點G,交AC于點H.

圖7 圖8

1)求證:CE是⊙O的切線;

(2023年新疆維吾爾自治區數學中考試題第22題)

分析由已知條件可以發現圖中有與∠E相等的角,即

∠E=∠ABF=∠AFG.

由于所求FH沒有在直角三角形中,因此轉化為求FG,HG.若求HG,則可嘗試求tan∠HAG的值,從而轉化為求tan∠CAD,需要求出DF,CD.

CE=4m,OE=3m+4.

由勾股定理得

m=2,

即

OC=6,CE=8,OE=10,AE=16.

在Rt△EAD中,

設AD=3n,DE=4n,同理可得

則

從而

于是

在Rt△AFG和Rt△BGF中,

設AG=3k,則

從而

得

于是

故

3 “用”三角函數值

“用”三角函數值的實質是在題目中沒有給出三角函數條件或讓求三角函數值的情況下,給出某個直角三角形的邊長或邊的關系,使用同角或等角的三角函數快速解題,簡化其中較為煩瑣的證明步驟.

例5如圖9,在△ABC中,以AB為直徑的⊙O交BC于點D,DE是⊙O的切線,且DE⊥AC,垂足為點E,延長CA交⊙O于點F.

圖9 圖10

1)求證:AB=AC;

2)若AE=3,DE=6,求AF的長.

(2023年湖北省黃岡市數學中考試題第20題)

分析如圖10,由已知條件可知

還可以發現∠DFE=∠ADE,因此只要求出EF的長即可求出AF的長.

2)解如圖10,聯結AD,BF,FD.在Rt△BCF中,因為D是BC的中點,所以DF=DC,故

∠ADE=∠C=∠DFE.

由

DE=6,

得

EF=12,

從而

AF=9.

結合以上例題,無論是“求”“給”還是“用”銳角三角函數值,其解題過程都涉及線段的長度.究其本質,初中平面幾何中的銳角三角函數揭示了直角三角形三邊的關系,表達的是三邊之間的比例關系.同樣表示直角三角形三邊關系的勾股定理,其勾股數之間的比例關系即是銳角三角函數,二者之間存在著等價關系.因此,直角三角形就像是“土壤”,而銳角三角函數像是“植物”,銳角三角函數不可脫離直角三角形使用.于是,對于含有任意銳角θ的直角三角形,求出任意兩邊的值或比例,就可以求出θ的任意三角函數值,繼而含銳角θ的任意直角三角形的三邊之間的比例關系都可以通過未知數表示出來;已知tanθ,sinθ,cosθ其中一個值,都可以通過設未知數結合勾股數和已知關系表示出其他線段及所求線段.因此,無論題型如何變化,構造“關鍵直角三角形”,是解決圓與三角函數綜合試題最本質的保障.

圓中構造直角三角形的主要方式有作切線、直徑所對的圓周角以及利用垂徑定理,為銳角三角函數的存在提供基礎;同時這3種方式的結合可構造出射影定理(如例4),使得直角三角形中的邊角關系聯系更加緊密,構造出等角;再者它們都涉及半徑,能衍生出很多等角或同角,為角的轉化提供了可能性.因此,圓中這3種方式構造的直角三角形往往是“關鍵直角三角形”,解決問題時要牢牢把握住這些構造方式.