探三步糾錯 促深度反思
——由兩道二元最值試題的錯解反思問題設計

吳景峰

(1.北京師范大學未來教育學院, 廣東 珠海 519087;2.廣州市藝術中學,廣東 廣州 510060)

0 引言

在一次教師線上研討中,一位教師發布了一道試題(含正確結果),征求大家的解法.群內的一位教師給出了自己的解法,試題和解法分別如下.

(1)

(2)

(3)

(4)

此解法發布后引起了群內議論,雖答案正確,但過程并不正確.在研討中,時常有教師奔著答案去寫過程,就出現答案正確而過程有誤的錯解.回顧多年來“不等式”單元的教學,無論哪一屆學生,無論是使用舊教材還是新教材,類似錯解一直廣為流傳.在學生的作業中,經典的錯解還有以下一例.

針對上述錯解,教師要及時調整教學,引導學生進行錯后反思,并反思自身教學中存在的問題,同時開展持續性評價,引導學生用發展的眼光看待錯誤[1].筆者針對糾錯教學,總結了3步糾錯,即師生共同完成“為何有錯、如何糾錯、如何改進”的深度反思.

1 為何有錯

通過上述2道試題的錯解,可知在“不等式”單元學習中,求最值問題時有3個常見誤區:1)誤認為二元最值問題,就一定用到基本不等式;2)誤認為運用基本不等式,就一定能求最值;3)誤認為運用基本不等式得到定值,就一定是最值.教師應指出誤區中的表現形式,及時引導學生去深挖背后的原因.

2 如何糾錯

2.1 例1的分析

關于錯解,式(1)～(3)都屬于正確步驟,難點在于式(3)的后續處理.首先,分析式(3)的結構,用配湊法處理,進一步觀察,從代數角度尋求突破;其次,可分析問題結構,聯想其幾何意義,從幾何角度求解;最后,分析條件結構,采用三角換元,從函數角度求解.通過一題多解,多角度訓練和提高學生的基本技能.

正解1(代數角度)

聯想條件可得

即

正解2(幾何角度)

圖1

正解3(函數角度)

后面步驟與正解1類似,可得

(5sinα-3)(4-5cosα)≥0,

2.2 例2的分析

例2的錯解2使用了配湊法,利用基本不等式得出定值,但由于取等條件無解,可嘗試引入參數λ進行配湊,即“+λ(a2+b2)-λ”,在取等條件處解出λ.還可以嘗試換元法,轉化為函數求最值問題.

正解1(代數角度)

當且僅當

正解2(函數角度)

評注正解1是引入參數的配湊法,屬于基本技能的提升;正解2是三角換元,利用導數工具處理三角函數最值.這2種方法均是最值問題中的通性通法.

例1和例2還可嘗試利用a表示b代入目標式,直接構造函數求最值,但函數結構復雜,運算量較大.

3 有何改進

在糾錯教學中,除了讓學生糾正,更需要讓學生深刻理解錯因,在理解的基礎上提升能力.教師可先從學生普遍出現的錯解中反思自身的教學問題.

3.1 問題串的改進

在教學時,對基本不等式的“一正、二定、三相等”雖朗朗上口,但若缺乏引導學生對其背后原理的理解,則會淪為形式,是不可取的.教師通過合理的問題串設計,引發學生的認知沖突,引發學生的深度反思,讓學生認清錯誤表現形式背后的根源,從而更好地領悟正解的妙處.

問題1基本不等式成立的條件是什么?

追問1-2f(x)≥0的含義是什么?

追問1-3f(x)≥0是否包含了最值的含義?

追問1-4f(x)≥0還要補充什么條件才包含最值的含義?

設計意圖總結出任意兩個正數均可使用基本不等式,并強調“≥常數”的含義是“不小于該常數”,在此基礎上必須存在x使等號成立才包含最值含義.

問題2使用基本不等式求最值的條件是什么?

追問2-1回顧“一正、二定、三相等”的含義,如何理解這里的“定、等”?

設計意圖把問題1與問題2區分開,是有必要的,在于引導學生歸納出“正”是基本不等式成立的條件,結合追問1-4可得“定、等”是最值的要求.

追問2-2“定、等”會出現在哪些步驟?而例1的錯解、例2的錯解1中的“定”出現了嗎?例2的錯解2中的“等”出現了嗎?

設計意圖啟發學生發現,例1的錯解和例2的錯解1中的“定”沒有出現,而通過“等”得到的解代入求得的不是“定”;例2的錯解2中沒有出現“等”,而“等”所求結果與已知矛盾,于是最值不可取.

追問2-3同學們能自編一個問題,說清楚“定、等”應如何體現嗎?

追問2-4若正實數a,b,滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍.“定、等”體現在哪?

(人教A版《普通高中教科書·數學》(必修第一冊)第58頁第5題)

?ab≥9(定值),

當且僅當

即a=3,b=3時,等號成立.足以說明9為最小值.

問題3利用基本不等式證明不等式時,有必要說明取等條件嗎?

設計意圖證明不等式,并不是求最值,不能與問題2混淆,因此不需要說明取等條件,只需要說明“正”即可使基本不等式成立.

問題4從邏輯上分析,利用基本不等式時,為何會出現回代取等條件的錯誤?如何認識這種表現形式的錯誤?

追問4-2如何認識例1錯解中的錯?例2錯解1中的錯呢?

設計意圖回歸錯解進行反思,深刻認識錯因.當3a=4b時,

當3a≠4b時,

這兩點在邏輯上不足以說明最值,也不符合最值的條件.例2的錯解1是同樣的道理.不同的是,例1的錯解碰巧得到了正確答案,而例2的錯解1沒有得到正確答案.

追問4-3能舉出函數的相關例子,利用函數圖象,多角度解釋類似的表現形式?

追問4-4通過例2錯解2的錯,同學們有什么啟發?

設計意圖讓學生認識到,無論單次還是多次使用基本不等式,除了要有“定”,還要注意“等”.

上述問題串的4個核心問題,既可在高一學生初學基本不等式時復習引入,也可以在高三的一輪復習中引入,讓學生更好地理解基本不等式求最值的條件.

3.2 變式訓練的改進

為了讓學生更好地掌握求最值的一些基本技能,教師可以在例1和例2的基礎上進行變式訓練,通過變式訓練的一題多解,全方位拓寬思路,提升能力.

上述5道變式題解法很多,留給讀者自行探究,教師可根據學情進行選擇,由淺入深,在理解的基礎上逐步提升學生解決問題的能力.

4 結束語

唯有引導學生區分最值與不等式的含義,真正領會利用基本不等式求最值的條件,“一正、二定、三相等”的口訣才能體現數學的自然與簡潔.一方面,教師通過尋找錯因、分析錯因和糾正錯解,滲透通性通法思想,提升學生的技能和素養;另一方面,教師通過改進問題設計和變式訓練,發展自身的專業素養,師生共同完成“為何有錯、如何糾錯、如何改進”的深度反思.