探尋本源 “點(diǎn)”到為止
——例談基于點(diǎn)坐標(biāo)運(yùn)算的解析幾何復(fù)習(xí)策略

蘇衛(wèi)軍

(義烏中學(xué),浙江 義烏 322000)

1 問題提出

解析幾何的本質(zhì)是通過建立坐標(biāo)系并利用代數(shù)運(yùn)算的方法來研究圓錐曲線的幾何要素與幾何性質(zhì)等,即通過建系、設(shè)點(diǎn)、列式、運(yùn)算等步驟和方法來研究直線和圓錐曲線(包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)的相關(guān)性質(zhì),簡而言之就是幾何(圖形)問題坐標(biāo)化.解析幾何的題型千變?nèi)f化,但萬變不離其宗.高三階段對于解析幾何內(nèi)容的復(fù)習(xí)仍然要著力培養(yǎng)并強(qiáng)化學(xué)生回歸本質(zhì)與探尋本源的意識,培養(yǎng)學(xué)生善于抓住圓錐曲線上的動點(diǎn)及其坐標(biāo)來分析問題的意識,培養(yǎng)學(xué)生靈活地利用動點(diǎn)坐標(biāo)的多種表達(dá)形式去解決相關(guān)問題的能力.學(xué)生能熟練地掌握圓錐曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的多種表達(dá)形式,同時(shí)善于代入問題情境進(jìn)行靈活的代數(shù)運(yùn)算,并最終順利地解決相關(guān)問題,這是在高三解析幾何復(fù)習(xí)中需要追求和達(dá)成的目標(biāo).

在解析幾何的復(fù)習(xí)課教學(xué)中,仍然要著眼于發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象兩大核心素養(yǎng).一方面,要夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本功,通過必要且必需的運(yùn)算使學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)得以發(fā)展;另一方面,也要引導(dǎo)學(xué)生從紛繁復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算中找到化繁為簡的路徑,并充分利用等價(jià)轉(zhuǎn)化、整體代換等思想和方法,使數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)得以夯實(shí)與提升.

2 真題分析

1)求W的方程;

(2023年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題)

分析學(xué)生在考場上面對此題,最大的困惑與障礙在于題目中涉及的動點(diǎn)個(gè)數(shù)太多(有4個(gè)動點(diǎn))以及動點(diǎn)坐標(biāo)的不確定性,以至于分析問題缺乏頭緒并最終導(dǎo)致思維受阻.對于此題的分析,應(yīng)透過現(xiàn)象看清本質(zhì),即首先要注意到矩形(4個(gè)頂點(diǎn))其實(shí)是表象,三角形(3個(gè)頂點(diǎn))才是本質(zhì),因?yàn)榫匦沃荛L可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等直角三角形直角邊之和.在此基礎(chǔ)上,再大膽地進(jìn)行設(shè)點(diǎn)求解(拋物線上的點(diǎn)坐標(biāo)是可以直接根據(jù)拋物線方程來表示和代換的),通過坐標(biāo)代換又能很快地得出相應(yīng)直線的斜率與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,最后通過代數(shù)運(yùn)算即可求解.

圖1

kABkBC=-1,a+b

kBC=b+c.

令kAB=m<0,kBC=n>0,則

mn=-1,

即

設(shè)矩形周長為L,由對稱性不妨設(shè)|m|≥|n|,則

從而L=2(|AB|+|BC|)

即

即

m2=n2,

評注對于拋物線上多個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)表示的代數(shù)式,往往需要先進(jìn)行整體代換(換元),然后再進(jìn)行必要的討論和運(yùn)算,這是解決與拋物線有關(guān)問題的常見策略,也是學(xué)生需要具備的基本功.在高三復(fù)習(xí)的過程中,教師要重視培養(yǎng)學(xué)生在這些方面的能力和基本功.事實(shí)上,對含根號的式子進(jìn)行換元的方法有很多種,教師要善于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維,結(jié)合多元視角,尋求多種方法解決相關(guān)問題.

同理可得

kBC=b+c,

又

(a+b)(b+c)=-1,

則 |AB|+|BC|

a=-cotθ-b,c=tanθ-b,

從而 |AB|+|BC|

又b≥0,故

于是 |AB|+|BC|

故

評注對于拋物線上的點(diǎn)A,B,C,我們還可以把它們看成在相應(yīng)的直線上,再引入直線的參數(shù)方程來求解相應(yīng)問題.

(a+b)(b+c)=-1.

由對稱性不妨設(shè)a<0≤b

又點(diǎn)C在W上,則

即

同理可得

又因?yàn)?/p>

t1>0,

所以

0≤2b

從而

評注從以上問題的分析和求解過程可以看出:對于解析幾何中與圓錐曲線的內(nèi)接三角形(四邊形)的周長和面積等有關(guān)的問題,在解題和教學(xué)中要善于探尋本源、抓住本質(zhì),緊緊圍繞曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的不同表達(dá)形式,采用合理、有效的方式進(jìn)行設(shè)點(diǎn).圓錐曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)方式是豐富多彩的,可以利用圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程來表示,還可以利用直線的參數(shù)方程來表示.在實(shí)際的問題情境中,往往需要具體問題具體分析,選擇合適的表達(dá)方式進(jìn)行求解.此外,對于圓錐曲線上的點(diǎn),還有一種非常重要的坐標(biāo)表示方法,即利用圓錐曲線的參數(shù)方程進(jìn)行代換.

分析此題若采用設(shè)直線方程(即設(shè)直線l的方程為y=kx+m)的形式,并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系來求解問題,則相應(yīng)表達(dá)式會比較復(fù)雜并且運(yùn)算量較大.通過分析比較,采用橢圓的參數(shù)方程來設(shè)點(diǎn)求解,運(yùn)算量會大大簡化.

解設(shè)A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),則

P(a(cosα+cosβ),b(sinα+sinβ)).

由于點(diǎn)P也在橢圓上,故把點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程并化簡可得

從而S=2S△OAB=ab|sinβcosα-cosβsinα|

解設(shè)A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),則

(等號成立條件略).

事實(shí)上,圓錐曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)不僅可以用圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)方程以及直線的參數(shù)方程等來表示,還可以利用向量的坐標(biāo)(有時(shí)也會采用復(fù)數(shù)的坐標(biāo))來表示點(diǎn)的坐標(biāo),以此達(dá)到化多為少、化繁為簡的目的,這在競賽、強(qiáng)基和三位一體等測試中會經(jīng)常用到.

例3在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B,C在雙曲線xy=1上,滿足△ABC為等腰直角三角形,求△ABC面積的最小值.

(2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第11題)

分析對于雙曲線上的動點(diǎn),如果用3個(gè)坐標(biāo)表達(dá)已知條件,代數(shù)式的整體變形(換元)會比較困難.為此,尋求用向量坐標(biāo)來表達(dá)點(diǎn)坐標(biāo)的形式,使條件的轉(zhuǎn)化更加直接,運(yùn)算更加流暢.

由點(diǎn)B,C在雙曲線xy=1上,可知

等價(jià)于

(1)

(2)

式(1)+式(2),得

式(1)×式(2),得

由基本不等式可得

(s2+t2)4=[-s2t2(s2-t2)]2

3 本源探尋——基于圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的動點(diǎn)坐標(biāo)代換問題

在高三解析幾何復(fù)習(xí)中,要充分關(guān)注涉及兩點(diǎn)連線的距離和斜率問題,比如探究等腰三角形是否存在、橢圓與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)等,以及圓錐曲線的割線和切線等問題,這些問題的求解往往需要回歸本源,牢牢抓住圓錐曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的整體表示來解決問題.

案例1橢圓中動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的距離和斜率等問題.

即

證明過程略.

圖2

(1992年全國數(shù)學(xué)高考理科試題第28題)

分析此題是一道非常經(jīng)典的好題,證明方法很多,但最能回歸本源、體現(xiàn)問題本質(zhì)的方法是利用距離公式化為二次函數(shù)來求解.

解(等價(jià)轉(zhuǎn)化)設(shè)M(x,y)為橢圓上的動點(diǎn),聯(lián)結(jié)MT,則

由題意知在|MT|的所有可能取值中必有兩個(gè)點(diǎn)A,B滿足|AT|=|BT|,又由于直線AB與x軸不垂直,故函數(shù)

圖3

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

解設(shè)P(x,y)為橢圓上的動點(diǎn),則

考慮函數(shù)z=(1-a2)y2-2y+a2+1(其中-1≤y≤1)的圖象與直線z=r2的公共點(diǎn),其中a>1,r為圓的半徑.當(dāng)公共點(diǎn)對應(yīng)的y=-1時(shí),1個(gè)公共點(diǎn)對應(yīng)圓與橢圓的1個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)公共點(diǎn)對應(yīng)的y∈(-1,1)時(shí),1個(gè)公共點(diǎn)對應(yīng)圓與橢圓的2個(gè)公共點(diǎn).根據(jù)題意知,函數(shù)z=(1-a2)y2-2y+a2+1(其中-1≤y<1)為單調(diào)函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為

所以

評注橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)的平方代換,能實(shí)現(xiàn)化雙變量函數(shù)為單變量二次函數(shù)的目的.對學(xué)生而言,當(dāng)把問題的本質(zhì)化為二次函數(shù)的時(shí)候,所有問題的求解都將變得輕車熟路了.在平時(shí)的復(fù)習(xí)中也要關(guān)注到,橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)的平方代換,還能將斜率的非對稱結(jié)構(gòu)化為對稱結(jié)構(gòu).

圖4

且

y1=kx1+m,y2=kx2+m,

得

從而

此式即為對稱結(jié)構(gòu),往后過程略.

案例2圓錐曲線中的割線與切線方程問題.

切線問題是解析幾何中一類非常經(jīng)典的問題,求解策略很多,比如方程組聯(lián)立判別式為0,先化為函數(shù)再求導(dǎo)得斜率等.但在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中,教師可以站得更高一些、看得更透一些,不妨回歸本源,將問題的本質(zhì)歸結(jié)到從圓錐曲線的割線過渡到切線的過程,并進(jìn)一步回歸到利用圓錐曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的整體表示以及相應(yīng)代數(shù)運(yùn)算上來.

結(jié)論3過拋物線y2=2px上兩點(diǎn)A(x1,y2),B(x2,y2)的直線方程的對稱式結(jié)構(gòu)為

2px-(y1+y2)y+y1y2=0.

去分母并移項(xiàng),整理得

2px-(y1+y2)y+y1y2=0.

特別地,當(dāng)點(diǎn)A,B與拋物線上的點(diǎn)P(x0,y0)均重合時(shí),割線AB變?yōu)檫^點(diǎn)P(x0,y0)的切線l.此時(shí)

x1=x2=x0,y1=y2=y0.

從而切線l的方程為

即

a2(y1+y2)y+b2(x1+x2)x-(a2y1y2+b2x1x2+a2b2)=0.

證明由點(diǎn)差法可得

則直線AB的方程為

去分母并移項(xiàng),整理得

a2(y1+y2)y+b2(x1+x2)x-(a2y1y2+b2x1x2+a2b2)=0.

特別地,當(dāng)點(diǎn)A,B與橢圓上的點(diǎn)P(x0,y0)均重合時(shí),割線AB變?yōu)檫^點(diǎn)P(x0,y0)的切線l.此時(shí)x1=x2=x0,y1=y2=y0,從而切線l的方程為

a2y0y+b2x0x-a2b2=0,

即

證明可用同構(gòu)法,過程略.

評注以上結(jié)論的本質(zhì)即為圓錐曲線中的極點(diǎn)和極線問題,是解析幾何中非常經(jīng)典的問題.

圖5

解設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),可知拋物線上過點(diǎn)A,B的直線方程為

(y1+y2)y=x+y1y2.

將點(diǎn)Q(4,1)代入上式,得

(y1+y2)=4+y1y2,

即

(y1-1)(y2-1)=-3.

同理可得

lAC:(y1+y3)y=x+y1y3.

將N(2,1)代入上式,得

(y1+y3)×1=2+y1y3,

即

(y1-1)(y3-1)=-1.

同理可得

(y2-1)(y4-1)=-1,

從而

=[(y1-1)(y2-1)]2=9.

圖6

同理可得,直線A′B的方程為

從而

于是

(3)

代入式(3),得

評注以上問題的本質(zhì)即為圓錐曲線中的極點(diǎn)與極線問題.

4 反思感悟

在高三解析幾何的復(fù)習(xí)過程中務(wù)必要講求實(shí)效、講究策略,要注重探尋本源、回歸本質(zhì),在復(fù)習(xí)中要利用好大單元和大概念的理念來統(tǒng)領(lǐng)整章的知識和方法線索.同時(shí),在課堂教學(xué)中要多給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間,培養(yǎng)他們主動去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題,還要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)和思維的全過程,著力提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)以及發(fā)散性思維等.高三的復(fù)習(xí)課教學(xué)尤其是解析幾何這部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)課教學(xué)絕不能大搞題海戰(zhàn)術(shù),題海戰(zhàn)術(shù)并不能從根本上提高學(xué)生的能力.高考試題靈活多變,教師在課堂教學(xué)中務(wù)必要在基本概念、基本思想和基本方法上下功夫,注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力,只有這樣,學(xué)生才能在最后的選拔中脫穎而出.