數(shù)學綜合實踐類試題的命制策略

張娟萍

(杭州市青云初級中學,浙江 杭州 311399)

“綜合與實踐”是初中數(shù)學4個課程領域之一.重在解決生活實際問題和跨學科問題,常采用項目式學習[1].“綜合與實踐”活動包含“任務”“綜合”“實踐”這3個要素.其中設計“任務”是關鍵,挑戰(zhàn)性的任務能啟發(fā)學生進行思考和開展數(shù)學活動.“綜合性”體現(xiàn)在解決實際生活問題或者跨學科的問題,發(fā)揮數(shù)學的學科價值,提高四能,發(fā)展應用意識、創(chuàng)新意識和實踐能力.“實踐”主要包含“數(shù)學探究”和“數(shù)學建?；驍?shù)學實際應用”,是指綜合運用所學的數(shù)學思想、方法、知識、技能解決數(shù)學、生活和社會的問題[2].“綜合與實踐”活動能夠落實核心素養(yǎng),發(fā)展學生的高階思維能力.

在數(shù)學教學中,能夠較好地落實綜合實踐的關鍵在于綜合實踐在評價中的體現(xiàn).當前,國內(nèi)紙筆測試作為課程達標以及高一級學校選拔的依據(jù),在教育中的地位和導向不言而喻.2023年7月26日,浙江省教育廳發(fā)布《浙江省教育廳關于實施初中學業(yè)水平考試全省統(tǒng)一命題的通知(征求意見稿)》,引導教師積極探索基于情境、問題導向、深度思維、高度參與的教學模式;注重命題考查思維過程、創(chuàng)新意識和分析問題、解決問題的能力;強調(diào)提高探究性、開放性、綜合性試題的比例,積極探索跨學科命題.

紙筆測試與學科內(nèi)容、學生的關聯(lián)在于提供考查任務的材料,相比于“成品”的學習,學生高階思維和核心素養(yǎng)是在“創(chuàng)生”的過程中發(fā)展起來的,“復雜情境”的問題解決是引發(fā)學生“創(chuàng)生”的載體.引發(fā)學生復雜思考、產(chǎn)生高階思維的前提就是要有挑戰(zhàn)性任務.《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標》)對學業(yè)水平測試的試題命制,要求創(chuàng)設合理情境,結合學生認知水平和生活經(jīng)驗,設計合理的生活情境、數(shù)學情境、科學情境[3].下面筆者以近3年7～9年級的期末測試命題為例,談談如何采用生活實際問題和跨學科問題的情境作為命題材料來突破對“綜合與實踐”的考查.

1 由生活情境設置命題材料

調(diào)查發(fā)現(xiàn),學生在面對真實情境的數(shù)學問題時解題表現(xiàn)較差．例如,2020年和2021年區(qū)域九年級期末命題中都考查了黃金分割的知識,試卷難度系數(shù)同為0.75.

例1圖1是一個包裝盒的俯視圖,線段AB是這個俯視圖的中軸線．某公司想在中軸線AB上找到靠近點A的一個黃金分割點E做裝飾．已知AB=2.8分米,求點E到點A的距離.

圖1

(2020年浙江省杭州市上城區(qū)初三數(shù)學一模試題第21題)

例2蘇堤南起南屏山麓,北到棲霞嶺下,全長2.8公里.蘇堤上有名的六吊橋由南到北分別是映波橋、鎖瀾橋、望山橋、壓堤橋、東浦橋、跨虹橋.壓堤橋約居蘇堤南北的黃金分割位,舊時又是湖船東來西去的水道通行.從地圖上看,壓堤橋位于蘇堤北部,請你結合上述描述,估計壓堤橋到棲霞嶺下的大致距離.

(2021年浙江省杭州市上城區(qū)初三數(shù)學期末試題第8題)

2020年和2021年該題的得分率分別是0.89和0.64,可以發(fā)現(xiàn):用實際生活背景引入,相較于純知識應用的考查,學生的得分率下降28%.這說明許多學生缺少在真實背景中提煉出數(shù)學問題的能力.

1.1 設計貼合學生的實際生活情境

實際生活情境讓學生有機會結合現(xiàn)實經(jīng)驗理解題目隱含的信息.

例3小華的U盤容量為8 GB(1 GB=1 024 MB),U盤中已經(jīng)存儲了1個視頻文件,其余空間都用來存儲照片.若每張照片占用的內(nèi)存容量均相同,照片數(shù)量x(張)和剩余可用空間y(MB)的部分關系如表1所示:

表1 照片數(shù)量與剩余可用空間之間的關系

1)求出y與x之間的關系式;

2)若U盤中已經(jīng)存入1 000張照片,那最多還能存入多少張照片?

(2019年浙江省杭州市上城區(qū)初三數(shù)學一模試題第20題)

分析對于第1)小題,學生根據(jù)生活經(jīng)驗,得到數(shù)量關系為:剩余可用空間y(MB)=總?cè)萘?存照片要用的空間-已經(jīng)存儲視頻占用的空間.設視頻文件占用的內(nèi)存容量為b(MB),每張照片占用內(nèi)存容量為k(MB),可得

y=8×1 024-kx-b,

用待定系數(shù)法可以得到解析式.

第2)小題其實是實際問題中求函數(shù)值的知識.

此題也可以用擬合函數(shù)的方法,通過描點,說明數(shù)據(jù)分布在一條直線的附近,近似表示為一次函數(shù)y=kx+b,利用數(shù)據(jù)中的信息,求得k,b的值,得到x和y的關系．然后把其他的數(shù)據(jù)代入去驗證是否都符合這個一次函數(shù).

1.2 用數(shù)學建模解決實際問題

國際上常把中小學數(shù)學課程中的數(shù)學建模看作一種特殊的數(shù)學應用活動,學生通過構建新的數(shù)學模型去解決實際問題.這些都可以培養(yǎng)學生的應用意識和模型觀念,是《課標》強調(diào)的數(shù)學核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)形式.

一次函數(shù)可以表示2個變量之間的各種線性關系,其中包括勻速直線運動的數(shù)學模型、彈簧拉伸長度的數(shù)學模型等.反比例函數(shù)是反映2個乘積為定值的變量的變化規(guī)律,常常會涉及面積的數(shù)學模型.解決實際背景問題是學生將某種現(xiàn)實情境“數(shù)學化”的過程.

例4已知視力表上視力值V和字母E的寬度a(mm)之間的關系是我們已經(jīng)學過的一類函數(shù)模型,字母E的寬度a如圖2所示．經(jīng)整理,視力表上部分視力值V和字母E的寬度a(mm)的對應數(shù)據(jù)如表2所示:

表2 部分視力值V和字母E的寬度a的對應關系

圖2

請你根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)判斷并求出視力值V與字母E寬度a(mm)之間的函數(shù)表達式．經(jīng)過測量,第4行和第7行首個字母E的寬度a(mm)的值分別是35 mm和17.5 mm,求第4行、第7行的視力值．

(2023年浙江省杭州市臨安區(qū)初二數(shù)學期末試題第20題)

1.3 在生活實際背景中體驗概率統(tǒng)計

統(tǒng)計與概率的廣泛應用性為聯(lián)系生活實際提供了可行性,學生只有通過參與實踐活動才能體會統(tǒng)計與概率知識的真實性和必要性,感悟概率統(tǒng)計與生活的密切聯(lián)系,進一步體會“數(shù)學來源于生活,服務于生活”.

例52023年1月17日國家統(tǒng)計局發(fā)布了近5年我國人口、出生人口數(shù)量,數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表3所示:

表3 近5年我國人口、出生人口數(shù)量統(tǒng)計表

某同學認為,從統(tǒng)計數(shù)據(jù)來看,人口數(shù)量都是逐年增加的．你認為他說的對嗎?新生嬰兒出生的男女比例約為2∶1.6,預計2025年出生人口為819萬人,請估計2025年出生人口中男孩的人數(shù)．

(2023年浙江省杭州市臨安區(qū)初三數(shù)學一模試題第18題)

評注此題根據(jù)數(shù)據(jù)做一些簡單運算,就可以推導得到結論,通過數(shù)學問題情境讓學生了解和關注社會狀況.數(shù)學與實際生活問題的關聯(lián)體現(xiàn)在:將生活原型抽象成數(shù)學模型;將數(shù)學模型解讀成生活原型;由生活原型到數(shù)學模型再回到生活原型.

2 用跨學科的材料命制數(shù)學考題

《課標》中所涉及的跨學科主題學習是育人方式變革的有效載體,也是未來教育發(fā)展的意義所在.跨學科的真實情境,通常也是復雜陌生的、具有一定挑戰(zhàn)性的情境,學生幾乎不可能僅運用數(shù)學知識解決問題,還需要調(diào)用多學科的知識技能、收集新信息、開拓學習新方法．

2.1 建立數(shù)學知識與其他學科知識之間的聯(lián)系

1)力的分解.

例6一個長方體木箱沿斜面下滑,當木箱滑到如圖3所示位置時,AB=2,木箱高BD=1,斜面坡角為30°.求木箱頂點D距AC的高度.

圖3

(2019年浙江省杭州市上城區(qū)數(shù)學初三期末試題第19題)

評注力的分解基本如圖4所示,力的分解中最關鍵的是將重力分解成垂直斜面的力與斜面的支撐力形成一對平衡力.重力分解成平行斜面的力與摩擦力形成一對平衡力,從而木箱沿斜面勻速下滑.這里△DBE,△AEF,△ACH構成相似三角形.

圖4

2)光的反射.

例7光線反射是一種常見的物理現(xiàn)象,在生活中有著廣泛的應用．例如,提詞器可以幫助演講者在看演講詞的同時也能面對攝像機,自行車尾部的反光鏡就是應用了光的反射原理．

提詞器的原理如圖5所示,AB表示平面鏡,CP表示入射光線,PD表示反射光線,∠CPD=90°,求∠APC的度數(shù).自行車尾部的反光鏡在車燈照射下,能把光線按原來的方向返回(如圖6),a表示入射光線,b表示反射光線,a∥b．平面鏡AB與BC的夾角∠ABC=α,求α;如圖7,若α=108°,設平面鏡CD與BC的夾角∠BCD=β(其中90°<β<180°),入射光線a與平面鏡AB的夾角為γ(其中0°<γ<90°),已知入射光線a從平面鏡AB開始反射,經(jīng)過2～3次反射,當反射光線b與入射光線a平行時,請直接寫出β的度數(shù)(可用含γ的代數(shù)式表示)．

圖5 圖6 圖7

(2021年浙江省杭州市上城區(qū)數(shù)學初一期末試題第23題)

評注光的反射原理用到數(shù)學的軸對稱、平行線知識.此題進一步促進學生理解數(shù)學中軸對稱與平行之間的轉(zhuǎn)化.其本質(zhì)是位置關系的變換,涉及變換、分類討論等數(shù)學思想.

2.2 構建學科背景的數(shù)學模型

運動學中的剎車問題反映了直線運動的函數(shù)模型.

2.2.1 構建一次函數(shù)的勻速直線運動模型

1)求5秒加速期的平均速度;

2)設勻加速直線運動的路程為s,求s關于t的函數(shù)表達式．

(2021年浙江省杭州市上城區(qū)數(shù)學初三期末試題第20題)

2.2.2 構建二次函數(shù)勻變速直線運動模型

例9已知汽車剎車后行駛的距離s關于行駛的時間t的函數(shù)解析式是s=15t-6t2,汽車剎車后到停下來滑行了多少米?

(2023年浙江省杭州市八縣區(qū)(包含臨安區(qū))數(shù)學初三開學檢測試題第15題)

評注學生對二次函數(shù)拋物線圖象的形象理解通常是自由落體運動、拋球運動,因此理解水平直線上剎車運動距離的最大值是剎車后移動距離,有許多困難.因此,在例9的測試(得分率為0.36)并講評后,過2個月的時間,再檢測學生“剎車后移動距離”的問題(得分率0.38),學生問題解決的能力沒有明顯增加.這說明:1)物理背景的介入對學生的理解有很大影響;2)學生沒有厘清二次函數(shù)的本質(zhì)是反映勻變速直線運動的函數(shù)模型;3)學生沒有理解“為什么用最大值來解釋剎車距離”.

解決跨學科的實際問題,包含5個步驟:審題—翻譯—關聯(lián)—建模解模—回譯.

將數(shù)學模型運用于跨學科情境時要經(jīng)過形式化等抽象過程,感悟數(shù)學的廣泛應用性及數(shù)學模型的簡潔性.事實上,大多數(shù)數(shù)學模型都依賴于所描述問題的學科背景.例如,生物學中的種群增長模型、氣象學中的大氣環(huán)流模型、經(jīng)濟學中的組合投資模型、社會學中的人口發(fā)展模型等.因此,通過跨學科的建?；顒?可以使學生體會到數(shù)學模型作為一種普適性的語言在其他學科中的實際作用.

3 用項目學習的材料命制試題

項目學習活動流程如下:根據(jù)任務提出問題、并聚焦問題—規(guī)劃方案—開展數(shù)學活動—探究過程—成果分析分享—表現(xiàn)性評估跟進.

例如,“地球有多大”的探索活動.浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》(七年級下冊)第20頁閱讀材料“地球有多大”,學生一般以項目式學習探究相關內(nèi)容,因此在某區(qū)命題如下:地球有多大?2 000多年前,古希臘數(shù)學家埃拉托斯特尼利用太陽光線測量出了地球子午線的周長.下面讓我們一起開啟“探求地球周長”的數(shù)學項目化學習之旅.

項目任務1如圖8,某日正午,小紅在B地(與太陽直射點A在同一子午線上)測得太陽光與木棍的夾角為ɑ,則∠AOB=______.若測得AB之間弧長為l,則地球子午線周長為______(用含ɑ,l的代數(shù)式表示).

圖8 圖9

項目任務2如圖9,某日正午,小紅和小明在同一子午線的B地、C地測得太陽光與木棍的夾角分別為ɑ,β,則∠BOC=______.若測得BC之間弧長為l,則地球子午線周長為______(用含ɑ,l的代數(shù)式表示).

項目任務3如圖10,日落時,身高為h的小亮趴在地上平視遠方,在太陽完全從地平線上消失的一瞬間,按下秒表開始計時.同時馬上站起來,當太陽再次完全消失在地平線的瞬間,停止計時.小亮利用這個時間差和地球自轉(zhuǎn)的速度計算出了∠PQH=θ,請據(jù)此計算出地球的半徑與周長(用含h,θ的代數(shù)式表示).

圖10

(2023年浙江省嘉興市嘉善縣初中教育質(zhì)量調(diào)研試題第22題)

當情境對學生有強烈的吸引力時,能激發(fā)學生對于問題解決的內(nèi)在需要,有效地推進思維過程.相反地,過于理想化、模式化的“偽情境”會由于信息的確定性過高致使學習者無法產(chǎn)生認知沖突.《課標》非常重視在真實情境,尤其是綜合與實踐、項目式學習,以及跨學科的情境,讓學生從數(shù)學角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活以及科學技術中遇到的現(xiàn)實問題,感受數(shù)學與科學、技術、經(jīng)濟、金融、地理、藝術等學科領域的融合,刺激學生產(chǎn)生多樣化的思考,發(fā)展學生綜合核心素養(yǎng)．學生在面對日常生活和其他學科時,能夠從數(shù)學的角度來考查,觀察其中蘊含的數(shù)學概念、性質(zhì)與關系,并運用數(shù)學思想方法,將實際問題表征為數(shù)學問題,再運用數(shù)學方法加以解決.用數(shù)學的知識、探究方法、思維方式解決問題,實現(xiàn)跨場域、跨時段、跨學科聯(lián)通.