凸顯數學核心素養 呈現上游命題系統

成鳴娟

(西安電子科技大學附屬中學太白校區,陜西 西安 710065)

1 試題呈現

例1如圖1,已知直線l1∥l2,直線l3分別與l1,l2交于點A,B.請用尺規作圖法,在線段AB上求作一點P,使點P到l1,l2的距離相等(保留作圖痕跡,不寫作圖方法).

圖1

(2021年陜西省數學中考試題第17題)

2 特色解讀

2.1 基于課標凸顯數學核心素養

《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《課標》)要求學生掌握基本尺規作圖和利用基本尺規作圖完成綜合作圖.此題落實了《課標》要求,可用基本尺規作圖,也可利用基本作圖構造三角形或特殊四邊形.學生根據“點P到l1,l2的距離相等”畫出草圖,發現PA=PB,“執果索因”打開思路,想象并建構相應的幾何圖形,初步找到作圖方法,根據作圖過程進行演繹推理.“分析法”和“綜合法”指向數學核心素養中的邏輯推理,同時蘊含直觀想象素養.

2.2 解法多元呈現上游命題系統

為了得到命題B,尋找命題A,即由命題A可推得命題B,則命題A叫做命題B的上游命題.如果命題A1,A2,A3……都可推得命題B,這就得到了命題B的上游命題系統.

在初中“圖形與幾何”領域中,什么條件可得到點P為線段AB的中點?關注線段本身,應用線段中垂線的性質;聚焦三角形的相關知識,聯想等腰三角形三線合一、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等三角形和相似三角形的性質均可獲得點P;聚焦四邊形內容,平行四邊形對角線互相平分亦可獲得點P.

在閱卷中,該題的作圖方法精彩紛呈.因為PA=PB這一豐富的上游命題系統讓不同能力的學生有不同的切入點,所以在特定的考場環境中,學生會選擇自己認知結構中最熟悉、最準確的作圖方法.

2.3 編制巧妙貫通初中幾何內容

3 解法賞析

筆者參與了中考閱卷,批改此題.學生用尺規確定線段AB的中點的方法豐富多樣,以下是答卷中的典型方法.

3.1 線段中垂線的性質

方法1如圖2～4所示,作線段AB的垂直平分線.

圖2 圖3 圖4

3.2 三角形相關知識

視角1等腰三角形三線合一.

先作以線段AB為底邊的等腰三角形.

方法2如圖5,作∠ACB的平分線交AB于點P.

圖5 圖6

方法3如圖6,過點C作直線AB的垂線交AB于點P.

視角2直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

方法4如圖7,作一組同旁內角的角平分線交于點C,再作∠ACP=∠1交l3于點P.

選擇焦慮、抑郁及護理滿意度作為評價干預效果的情況。焦慮和抑郁分別采用焦慮自評量表(SAS)和抑郁自評量表(SDS)作為調研工具,SAS和SDS均包括20個條目,每個條目采用1至4分4級評分,得分越高表示焦慮或抑郁狀況越嚴重。護理滿意度采用本小組自我編譯的量表進行評價,該量表包括20個條目,4個維度,每個維度包含5個條目,每個條目采用1至4級評分,得分越高表示護理滿意程度越高。經驗證,這三個量表在本人群中的信效度都較好。

圖7 圖8

方法5如圖8,過點A作l2的垂線交l2于點C,作∠PCB=∠1交l3于點P.

視角3全等三角形對應邊相等.

方法6如圖9,分別以點A,B為圓心、相同的半徑畫弧,分別交l1,l2于點C,D,聯結CD交l3于點P.

圖9 圖10

視角4相似三角形的性質.

方法7如圖10,過點A作l2的垂線交l2于點C,作線段AC的中垂線交l3于點P.

方法8如圖11,過點A作l2的垂線交l2于點C,作線段BC的中垂線交l3于點P.

圖11 圖12

方法9如圖12,在l2上依次截取線段BC=CD,聯結AD,作∠PCB=∠ADC交l3于點P.

3.3 特殊四邊形的性質

視角5矩形的對角線互相平分.

方法10如圖13,過點A向l2作垂線交l2于點C,過點B向l1作垂線交l1于點D,聯結CD交l3于點P.

圖13 圖14

方法11如圖14,過點A作l2的垂線交l2于點C,以點A為圓心、BC長為半徑畫弧交l1于點D,聯結CD交l3于點P.

方法12如圖15,分別作兩組同旁內角的角平分線相交于點C,D,聯結CD交l3于點P.

視角6菱形的對角線互相平分.

方法13如圖16,作∠BAD=∠CAB交l2于點D,作∠ABC=∠ABD交l1于點C,聯結CD交l3于點P.

視角7平行四邊形的對角線互相平分.

方法14如圖17,分別以點A,B為圓心、相同的長為半徑在l3的異側畫弧,再分別以點A,B為圓心、相同的長為半徑在l3的異側畫弧,相交產生點C,D,聯結CD交l3于點P.

圖17

方法15如圖18,在直線l1上取一點C,聯結BC,作∠BAD=∠CBA交l2于點D,聯結CD交l3于點P.

圖18

在以上方法中,方法1使用率最高,尺規作線段中垂線的理論依據是等腰三角形的性質,即在l3的異側或同側作以AB為底邊的兩個等腰三角形,產生兩個頂角的頂點.若只有一個等腰三角形,能否得到點P?聯想等腰三角形的性質產生方法2和方法3.方法6是較為簡潔的方法,也可看成ACBD的對角線互相平分.從這個視角來看,關鍵是構造以AB為對角線的平行四邊形,如此獲得方法10～15.總之,各方法間有著內在的關聯.

4 教學啟示

4.1 建立上游命題系統,完善數學認知結構

上游命題系統,一方面,可以幫助學生有效地聯想已知和未知之間的關系,從而獲得解題思路.例如,該題要求學生儲存“獲得中點的上游命題”,若擁有相關的上游命題系統,則會獲得更優的作圖方法.另一方面,建立和使用上游命題系統的過程就是在培養發散思維能力.例如,學習了平行四邊形對角線互相平分,可提問“回顧舊知,還有哪些條件可以得到線段中點”,讓學生打開已有的數學認知結構搜尋到線段中垂線性質、等腰三角形三線合一性質等來建立上游命題系統.這個過程有利于形成發散性思維,提高有效聯想能力,培養思維直覺來克服做題時“想不到”的困難.數學的積累就是將重要的分散的幾何知識及時有邏輯地、有序化地納入自己的認知結構.

4.2 加強尺規作圖的過程教學,落實數學核心素養

教師在引導學生掌握基本尺規作圖的同時,也要讓學生清楚背后的依據,作圖方法的靈活性就會提高,如該題可以呈現3種中垂線的作圖方法.此外,當面對綜合作圖時,如何找到作圖方法呢?1)畫出具備條件和求作圖形的示意圖;2)用“分析法”和“綜合法”剖析示意圖中各元素之間的關系,結合圖形的性質、判定等,想象出對應的幾何圖形,最終判斷使用哪種基礎圖形,從而落實直觀想象素養,同時“分析法”和“綜合法”可提高邏輯思維能力和問題解決能力;3)尺規作出圖形;4)對作圖方法進行證明:將尺規操作的每一步轉化為符號語言和文字語言,來論證合理性,讓學生“知其然,知其所以然,何由以知其所以然”.總之,尺規作圖加深了學生對定理和命題的理解,提高了“動手動腦”的操作能力,是落實數學核心素養中邏輯推理和直觀想象的良好載體,深化了學生對平面幾何的認識.