基于幾何直觀,聚焦圖形結(jié)構(gòu)的“代數(shù)表達(dá)”
——2023年杭州市數(shù)學(xué)中考第23題的解析與思考

蔣玲玲

(杭州市富陽區(qū)永興學(xué)校初中部,浙江 杭州 311400)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)與習(xí)慣,根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形,分析其性質(zhì),建立數(shù)與形的聯(lián)系,明晰問題解決的思維路徑[1].“代數(shù)表達(dá)”是對(duì)平面幾何的直觀圖形和圖形變化的定量刻畫,通過對(duì)角度、長度的度量以及位置關(guān)系的定量分析[2],以特定的代數(shù)形式進(jìn)行表達(dá).在初中平面幾何問題中,“圖形結(jié)構(gòu)”如何進(jìn)行“代數(shù)表達(dá)”,“代數(shù)表達(dá)”又在刻畫什么樣的“圖形結(jié)構(gòu)”,這是學(xué)生的難點(diǎn),使其無法理解問題的本質(zhì).幾何直觀能為學(xué)生建立“圖形結(jié)構(gòu)”和“代數(shù)表達(dá)”的橋梁,分析圖形結(jié)構(gòu)的元素與性質(zhì),為其代數(shù)表達(dá)指明方向,啟發(fā)問題解決的思路.筆者以2023年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考第23題為例進(jìn)行剖析與思考.

1 試題呈現(xiàn)

例1如圖1,在⊙O中,直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)AC,AD,BC,作CF⊥AD于點(diǎn)F,交線段OB于點(diǎn)G(不與點(diǎn)O,B重合),聯(lián)結(jié)OF.

圖1

1)若BE=1,求GE的長;

2)求證:BC2=BG·BO;

3)若FO=FG,猜想∠CAD的度數(shù),并證明你的結(jié)論.

(2023年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題第23題)

分析作為2023年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試卷的最后一題,整個(gè)圖形結(jié)構(gòu)可以說“中規(guī)中矩”,簡潔明了,對(duì)其進(jìn)行定性分析,可得以下基本結(jié)論:

1)整個(gè)圖形由弦CD的位置決定,可由弦CD的長度或∠CAD的大小刻畫;

2)整個(gè)圖形結(jié)構(gòu)是軸對(duì)稱的,局部圖形結(jié)構(gòu)有等腰△ACD,Rt△ACF,以及“雙垂形”“八字形”下的直角三角形相似,有Rt△CDF∽R(shí)t△CGE∽R(shí)t△AGF∽R(shí)t△ABC∽R(shí)t△ACE∽R(shí)t△CBE;

3)點(diǎn)G是△ACD的垂心.

2 解法探究

2.1 觀察元素關(guān)系,識(shí)別“代數(shù)表達(dá)”下的本質(zhì)結(jié)構(gòu)

第1)小題的“代數(shù)表達(dá)”是“BE=1”,刻畫的是線段BE的長度.觀察線段BE和GE,容易猜想GE=BE=1,形成解題思路,主要有以下兩種解法.

1)解法1由題意可得∠CEG=∠CEB=90°,∠BCD=∠BAD.因?yàn)镃F⊥AD,AB⊥CD,所以

∠DAE=∠DCG, ∠BCE=∠ECG,

從而

△CEG≌△CEB,

于是

GE=BE=1.

解法2由題意可得∠ADC=∠ABC,∠AGF=∠CGE.因?yàn)镃F⊥AD,AB⊥CD,所以

∠AGF=∠ADC, ∠CGE=∠CBA,

從而△CBG為等腰三角形,于是

CG=CB,CE⊥BG,

故

GE=BE=1.

評(píng)注解法1通過證明△CEG≌△CEB,得GE=BE=1;解法2通過證明△CBG為等腰三角形,得GE=BE=1.前者只觀察到兩條線段本身的數(shù)量關(guān)系,得到的圖形結(jié)構(gòu)是△CEG≌△CEB;后者還觀察到了它們與線段CD的位置關(guān)系,從而識(shí)別出更為一般的軸對(duì)稱的等腰三角形結(jié)構(gòu).解法2不僅建立了局部圖形結(jié)構(gòu)和整體圖形結(jié)構(gòu)的聯(lián)系,還可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)“三角形的垂心關(guān)于邊的對(duì)稱點(diǎn)在其外接圓上”的結(jié)論.重點(diǎn)觀察元素與元素之間的數(shù)量與位置關(guān)系,能讓“代數(shù)表達(dá)”更有方向性,揭示圖形的本質(zhì)結(jié)構(gòu).

2.2 結(jié)合圖形性質(zhì),聯(lián)想“代數(shù)表達(dá)”下的相關(guān)結(jié)構(gòu)

第2)小題的“代數(shù)表達(dá)”是“BC2=BG·BO”,刻畫的是線段長度乘積的數(shù)量關(guān)系.分析圖形的性質(zhì),形成解題思路,主要有以下3種證法.

2)證法1如圖2,聯(lián)結(jié)OC,則∠OCB=∠GBC.由第1)小題得∠CGB=∠OBC,則

圖2

△CBG∽△OBC,

從而

即

BC2=BG·BO.

證法2由AB是直徑,AB⊥CD,可得

∠ACB=∠CEB=∠CEA=90°,

從而

∠BCE+∠CBA=90°,

∠CBA+∠CAB=90°,

即

∠BCE=∠CAB,

于是

△BCE∽△BAC,

進(jìn)而

即

BC2=BE·AB.

因?yàn)?/p>

AB=2OB,BG=2BE,

所以

證法3如圖2,聯(lián)結(jié)OC,可得

BC2=CE2+BE2=OC2-OE2+BE2

=(2OB-BE)·BE+BE2

評(píng)注證法1是由線段長度的乘積,結(jié)合“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”的性質(zhì),聯(lián)想到證明△CBG∽△OBC來解題;證法2是由比例中項(xiàng)BC,結(jié)合射影定理,聯(lián)想到證明“雙垂型”的相似三角形來解題;證法3則是由線段“平方”,結(jié)合勾股定理,聯(lián)想到直角三角形邊長關(guān)系來解題.3種證法的出發(fā)點(diǎn)不同,所結(jié)合的圖形性質(zhì)不同,從而聯(lián)想到的圖形結(jié)構(gòu)也不同.大多數(shù)學(xué)生選擇證法1或證法2進(jìn)行解題,建立了“線段成比例”與“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”的直接聯(lián)系,而證法3則需要對(duì)兩個(gè)直角三角形的邊長關(guān)系有清晰的認(rèn)識(shí).充分理解圖形性質(zhì)的“代數(shù)表達(dá)”并能聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的圖形結(jié)構(gòu),使同一個(gè)“代數(shù)表達(dá)”能刻畫出多種相關(guān)的圖形結(jié)構(gòu),從而更好地了解多個(gè)局部圖形結(jié)構(gòu)的相互關(guān)系.

2.3 構(gòu)造直觀圖形,刻畫“代數(shù)表達(dá)”下的同一結(jié)構(gòu)

第3)小題的“代數(shù)表達(dá)”是“FO=FG”,刻畫的是兩條線段長度的等量關(guān)系.觀察圖形,由于CF⊥AD,通過合情推理,猜測∠CAD為特殊角,容易猜想∠CAD=45°,形成解題思路,即證明△ACF為等腰直角三角形.

方法1構(gòu)造全等圖形,證明AF=CF.

3)解法1猜想∠CAD=45°,如圖2,聯(lián)結(jié)OC.設(shè)∠DAB=α,則

∠AGF=90°-α,

由FO=FG,得

∠GOF=∠OGF=90°-α,

故

∠AOF=90°+α.

又

∠COB=2∠CAB=2α,

知

∠COF=90°-α+2α=90°+α=∠AOF.

因?yàn)?/p>

AO=CO,OF=OF,

所以

△AOF≌△COF,

從而

AF=CF,

且

CF⊥AD,

故

∠CAD=45°.

解法2猜想∠CAD=45°,如圖3,延長FO交AC于點(diǎn)H.由FO=FG,可得

圖3

∠GOF=∠OGF=∠CGB

=∠CBG,

從而

OF∥CB.

由CB⊥AC,知

FH⊥AC.

因?yàn)镕H過圓心O,所以

AH=CH,

故FH垂直平分AC,可得

AF=FC.

又由

CF⊥AD,

可得

∠CAD=45°.

分析解法1是通過構(gòu)造△AOF≌△COF來證明,解法2是通過構(gòu)造垂直平分線,實(shí)質(zhì)是構(gòu)造了△AHF≌△CHF來證明.二者都將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為證明AF=CF,用“邊”的“代數(shù)表達(dá)”來刻畫等腰Rt△ACF的“圖形結(jié)構(gòu)”.

方法2構(gòu)造等腰直角三角形,證得∠CAD=45°.

解法3猜想∠CAD=45°,如圖4,延長CF交⊙O于點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)AH,OH.由∠AGH=∠CGB,∠CBG=∠AHG,可得

圖4 圖5

△AGH∽△CBG.

由題意可證

△AGF≌△AHF,

故

GF=OF=FH,

從而

OH⊥AB,

于是

由于

CF⊥AD,

故

∠CAD=45°.

解法4猜想∠CAD=45°,如圖5,延長CF交⊙O于點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)AH,OH,作點(diǎn)F關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)GM并延長交⊙O于點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)AN,NO.由對(duì)稱性可知△AGH≌△AGN,與解法3相同,證得OH⊥AB,由對(duì)稱性易證NO⊥AB,故點(diǎn)N,O,H共線,可得∠NAH=90°.設(shè)∠DAB=α,得

∠CAB=∠DAB=∠HAD=∠CAN=α,

因此

∠CAD=2α=45°.

解法5猜想∠CAD=45°,如圖6,聯(lián)結(jié)CO.設(shè)∠DAB=α,由題意得∠COB=2α,且

圖6

∠GOF=∠OGF=∠ADC=90°-α,

從而 ∠COF+∠FDC

=2α+90°-α+90°-α=180°,

因此點(diǎn)C,O,F,D共圓.由CF⊥FD,可得CD為直徑,E為圓心.因?yàn)镺E⊥CD,OE=CE,所以

∠COE=45°,

故

∠CAD=∠COE=45°.

評(píng)注解法3根據(jù)“三角形的垂心關(guān)于邊的對(duì)稱點(diǎn)在其外接圓上”,構(gòu)造等腰△AGF,結(jié)合條件構(gòu)造出等腰Rt△AOH來證明;解法4則是在解法3的基礎(chǔ)上,通過整體對(duì)稱,先構(gòu)造軸對(duì)稱圖形,進(jìn)而構(gòu)造Rt△ANH來證明;解法5是將“角”的條件聚焦到四邊形COFD中,通過“導(dǎo)角”證得點(diǎn)C,O,F,D共圓,從而構(gòu)造出等腰Rt△AOE來證明.3種解法都是通過構(gòu)造新的等腰直角三角形,用“角”的“代數(shù)表達(dá)”來刻畫等腰Rt△ACF的“圖形結(jié)構(gòu)”.

這兩種思路都是基于幾何直觀,觀察和猜想得到直觀圖形結(jié)構(gòu),分析線段、角之間的關(guān)系,結(jié)合特殊三角形的性質(zhì)、圓的軸對(duì)稱性,構(gòu)造直觀圖形,用多種“代數(shù)表達(dá)”來刻畫同一個(gè)“圖形結(jié)構(gòu)”,拓寬了問題解決的思路,加深了對(duì)圖形結(jié)構(gòu)本身的代數(shù)理解.

3 拓展應(yīng)用

作為2023年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試卷的最后一題,從問題解決來看,第1)小題和第2)小題都在研究一般情況下整個(gè)圖形的“代數(shù)表達(dá)”下的局部“圖形結(jié)構(gòu)”;第3)小題刻畫的則是特殊情況下的特殊圖形結(jié)構(gòu).整個(gè)“圖形結(jié)構(gòu)”的位置用角的大小或者線段之間的關(guān)系進(jìn)行“代數(shù)表達(dá)”,為設(shè)計(jì)變式提供了思路.

圖7

分析變式1對(duì)例1第3)小題的條件進(jìn)行了修改.例1中用OF和EF的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行代數(shù)刻畫.通過對(duì)軸對(duì)稱后的整個(gè)圖形結(jié)構(gòu)研究,可以得到特殊位置下所有線段的數(shù)量關(guān)系,聚焦到圓的結(jié)構(gòu)和等腰△ACD的元素,用半徑AO和線段AG的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行代數(shù)刻畫,如圖8所示.變式1的解決可參考例1第3)小題的解法3和解法4.

圖8 圖9

變式2如圖9,在⊙O中,直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)AC,AD,BC,聯(lián)結(jié)CO并延長交AD于點(diǎn)F,取AO中點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)GF,得到GF=OF且GF∥BC.猜想CF與AD的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

分析變式2對(duì)例1的特殊結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改變.例1的第3)小題在特殊位置下,得到△ACD是頂角為45°的等腰三角形.改變頂角的度數(shù),使其更加特殊化.當(dāng)∠CAD=60°時(shí),△ACD為等邊三角形.變式2通過線段的數(shù)量和位置關(guān)系來刻畫等邊三角形的圖形結(jié)構(gòu).

△GOF∽△BOC,

又

GF=OF,

知

CO=CB.

由于

AB⊥CD,

故

∠BCD=∠OCE.

因?yàn)椤螧CD=∠BAD,所以

∠OCE=∠BAD,

從而

∠OFA=∠OEC=90°,

于是

CF⊥AD.

因?yàn)镚為AO的中點(diǎn),AO為Rt△AFO的斜邊,所以

OG=GF,

故

GF=OF=OG,

4 思考

4.1 培養(yǎng)作圖能力,重視定性分析

作圖能力的培養(yǎng)有助于學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的發(fā)展[3].教師要培養(yǎng)學(xué)生在審題時(shí)根據(jù)條件進(jìn)行簡單作圖的能力.學(xué)生能在作圖中感受圖形形成的過程,形成較為準(zhǔn)確的“幾何直覺”,不會(huì)局限于題目的“死圖”,不知其所以然.并且,教師要重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行定性分析,對(duì)圖形元素之間的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)想與合情推理,分析出圖形中的“定圖”和“動(dòng)圖”,了解“定圖”的元素關(guān)系、“動(dòng)圖”的變化過程以及引起變化的元素,從而對(duì)整個(gè)圖形結(jié)構(gòu)有宏觀的理解.

4.2 積累圖形模型,重視定量刻畫

積累常見的核心圖形模型有助于學(xué)生在解決幾何問題時(shí)能在復(fù)雜圖形背景下快速洞察關(guān)鍵的圖形結(jié)構(gòu).在日常平面幾何教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)常見的核心圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行整理與積累,不只是圖形的結(jié)構(gòu),更重要的是邊、角關(guān)系和性質(zhì)的定量刻畫以及一般化的代數(shù)結(jié)論.為了讓學(xué)生能體會(huì)圖形結(jié)構(gòu)與定量刻畫之間緊密的聯(lián)系,建議教師在平面幾何的新課教學(xué)中重視引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度用符號(hào)語言去定量刻畫同一個(gè)圖形結(jié)構(gòu),使學(xué)生學(xué)會(huì)圖形語言與符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化.

4.3 聚焦代數(shù)表達(dá),重視建立聯(lián)系

平面幾何的圖形結(jié)構(gòu)是對(duì)其直觀的表達(dá),代數(shù)刻畫則是對(duì)其抽象的表達(dá).構(gòu)建“圖形結(jié)構(gòu)”與“代數(shù)表達(dá)”的相互關(guān)聯(lián),有助于獲得問題解決的突破口.在平面幾何綜合問題中,具有挑戰(zhàn)的最后一小題,往往是抽象的代數(shù)表達(dá).教師要引導(dǎo)學(xué)生聚焦其刻畫的元素和關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生從抽象到具象,聯(lián)想合適的圖形結(jié)構(gòu),添加輔助線進(jìn)行構(gòu)造或是還原圖形,然后借助幾何直觀,結(jié)合圖形性質(zhì),再次從具象到抽象,用合適的代數(shù)表達(dá),進(jìn)行推理、證明、運(yùn)算,從而解決問題.