軸承非線性特性對擺線針輪減速器傳動效率的影響分析與參數確定*

宿月文 郭彩霞 張博棟 李旭波 王參軍

(陜西省機器人關鍵零部件先進制造與評估省市共建重點實驗室，寶雞文理學院 陜西寶雞 721016)

擺線針輪傳動具有高減速比、高精度、高負載能力、高傳動效率、結構緊湊等特點，被廣泛用于如機器人手臂、精密電機等領域[1-2]。目前擺線針輪傳動性能的研究已在齒廓修形、傳動精度、傳動效率等領域取得了優秀成果[3-5]。陳兵奎等[6]基于微分幾何和齒輪嚙合機制，構建了擺線針輪傳動的嚙合理論及齒廓通用方程。何衛東等[7]以RV減速器為對象，建立了整機有限元模型，并考慮擺線輪綜合修形的前提下分析了整機扭轉剛度和變形。楊玉虎等[8]根據作用線增量原理，應用傳遞矩陣法研究了RV減速器中各構件的原始誤差對傳動精度的影響規律，并建立較完善的精度分析模型。宿月文和郭彩霞[9]提出了一種可實現擺線針輪多齒嚙合點精確定位、接觸載荷分布確定和傳動效率計算的理論分析方法，但未考慮軸承因素。隨著研究深入，軸承等非線性環節被納入傳動性能分析模型[10]。魏波等人[11]認為RV減速器主支撐角接觸球軸承的潤滑情況對機構的效率、精度等性能具有很大的影響。于東等人[12]基于達朗貝爾原理的擬靜力學模型，推導了RV減速器主軸承接觸橢圓內純滾動線位置與摩擦力矩的求解方程，給出更準確的摩擦力矩計算公式。HUANG和TSAI[13]認為軸承柔性導致擺線輪增加3個自由度，使得嚙合齒對提前進入接觸，并增大了各齒載荷分配的不均勻性。楊玉虎等[14]建立了考慮軸承剛度、輪齒嚙合剛度及各構件彈性的有限元接觸模型，分析了軸承剛度對擺線減速器整機扭轉剛度的影響。XU等[15]根據多體力學和接觸理論構建了對擺線輪與針齒，以及轉臂軸承的多點接觸分析方法，研究了考慮配合間隙的擺線針輪傳動載荷傳遞規律和動態接觸響應。上述研究較少涉及軸承對傳動效率的影響。ZHU等[16]通過試驗研究表明，擺線針輪減速器的軸承環節摩擦功耗損失可達4%，但是并未形成分析理論。PHAM和AHN[17]粗略分析了擺線減速器軸承功耗，也未在其理論中詳細考慮軸承模型。

綜上，針對現有擺線針輪傳動效率分析方法中存在忽略軸承因素或未能合理嵌入軸承非線性參數的問題。因此，本文作者提出一種新的傳動效率分析方法，將偏心軸承表示為指數型非線性模型，進而通過牛頓力學建立以軸承變形為變量的擺線輪動力學微分方程，并得到由結構與軸承參數表達的傳動效率理論模型，最終通過試驗與理論融合的方法確定軸承參數，構建了簡明且精確的傳動效率評估方法。

1 理想約束情況下擺線輪動力學方程

擺線針輪減速器結構如圖1所示，其核心部件主要有輸入軸、擺線輪、針齒和輸出軸。其運行原理如圖2所示，點O為輸入軸旋轉中心，點O1為擺線輪中心，OO1為偏心距，其值為ec。輸入軸為定軸轉動，帶動曲柄旋轉并驅動擺線輪運動，擺線輪既繞點O1自轉，又繞點O公轉。因此，可定義XOY為固定坐標系，X1O1Y1為擺線輪坐標系。FNpx和FNpy分別是擺線輪和針齒嚙合力的合力FNp在X、Y軸的分量；FNsx和FNsy分別是擺線輪和輸出柱銷的接觸力的合力FNs在X、Y軸的分量；Fex和Fey(1-μe)是輸入軸與擺線輪之間的作用力，μe為摩擦因數；TNp是擺線輪和針齒銷作用力對點O1的合力矩；TNs是擺線輪和輸出銷軸的接觸力對點O1的合力矩；Izz是擺線輪轉動慣量，φ是輸入軸角位移，Np為針齒數，擺線輪齒數Nc=Np-1。

圖1 擺線針輪減速器主要部件

根據擺線針輪減速器原理，擺線輪與針齒以及輸出機構均有作用力。如圖3所示，擺線輪與針齒的作用力可表述為

圖3 擺線輪與針齒接觸力學簡圖

(1)

式中：r1為針齒分布圓半徑；T1為單個擺線輪的輸出力矩；βi為第i個針齒的位置角，且有，

(2)

假定輸出力矩不變時，擺線輪和針齒之間的作用力還受到輸入力矩的影響，因此引入系數Acy，即輸入力矩的增加，Acy也增大。因此，考慮輸入力矩的影響后，所有處于接觸的針齒對擺線輪的合力FNp可表示為

(3)

擺線輪所受針齒接觸力的合力矩可表示為

(4)

同理，擺線輪與單個輸出柱銷的作用力表示為

(5)

式中：r2為輸出柱銷分布圓半徑；Ns為輸出柱銷個數；βj為第j個輸出機構柱銷中心點與點O連線與Y軸的夾角。

同理引入系數Aos來體現輸入力矩對擺線輪和輸出柱銷作用力的影響。那么，所有接觸柱銷對擺線輪的合力可表示為

(6)

所有接觸柱銷對擺線輪的合力矩可表示為

(7)

根據圖2以及力平衡原理，得到擺線輪的受力平衡方程組為

(8)

式中：GXi、GYi分別為式(3)中Gi在X、Y軸上的投影；SXj、SYj分別為式(6)中Sj在X、Y軸上的投影；TL為負載力矩。

根據輸出機構受力平衡原理可得輸出力矩為

(9)

根據式(8)并數學推導得到輸入力矩為

Tin=Fey(1-μe)·ec=

(10)

則減速器傳動效率可表示為

(11)

基于上述方法，以表1參數對某擺線針輪傳動系統的傳動效率進行分析，得到不同摩擦因數下傳動效率隨負載的變化情況，如圖4所示。可見，傳動效率受摩擦因數影響很大，與負載大小無關，這顯然不合理，因此下文將嘗試引入軸承因素構建更為準確的傳動效率分析模型。

表1 擺線傳動系統主要幾何機構參數

圖4 不同摩擦因數時負載與傳動效率的關系

2 考慮軸承時擺線輪動力學方程

假定所有構件均為剛體，將輸入軸與擺線輪之間的偏心軸承視為彈性環節，則認為軸承沿Y1變形，如圖5所示，將其彈性位移用y1表示，那么軸承力Fbearing[18]可表示為

圖5 擺線輪與軸承作用力方向及參考坐標系

(12)

其軸承作用力矩為

(13)

其中，kcy是軸承剛度系數；p是軸承非線性剛度指數。當p=1，可得到胡克定律；如果p≠1，則力與變形之間的關系是非線性的。

此外，考慮偏心軸承后，擺線輪中心點O1的速度為

vO1=vO+vO1/O，dr+vO1/O，rel

(14)

其中，vO為點O速度，由于輸入軸是定軸轉動，因此vO=0；vO1/O，dr為動坐標系X1O1Y1的牽連速度；vO1/O，rel為動坐標系X1O1Y1的相對速度。那么

(15)

由于坐標系X1O1Y1和坐標系XOY存在如下關系：

(16)

那么擺線輪中心點O1的加速度為

(17)

設定擺線輪質量為mcy，則擺線輪的慣性力為

(18)

根據圖6所示擺線輪的受力情況，考慮擺線輪所受慣性力以及針齒、輸出柱銷對其的作用力，建立動力學平衡方程如下：

圖6 考慮輸入軸的軸承時擺線輪受力

(19)

進一步對式(19)進行數學處理得到：

(20)

式(20)屬于初值問題，其系數隨時間變化，為變系數微分方程，可由Runge-Kutta法來求解[19]。可知，只要得到任一時刻擺線輪與針齒及輸出銷軸的接觸載荷分布，即可得到|y1|。

擺線輪的輸入力矩Tin則可表示為

Tin=ec·kcy|y1|p

(21)

那么減速器的瞬時效率可表示為

(22)

由式(22)可知，擺線傳動效率η受軸承剛度系數kcy和p的影響。

隨著偏心軸的旋轉，首先判斷哪些針齒和輸出柱銷處于接觸狀態，進而得到每一時刻的擺線輪與針齒以及輸出柱銷的接觸力，然后代入微分方程(20)，求解得到軸承的彈性變形，最后根據式(22)計算得到減速器的傳動效率。具體計算流程如圖7所示。

圖7 考慮輸入軸的軸承時擺線針輪機構效率計算流程

3 軸承非線性對傳動效率的影響分析

3.1 軸承力學參數

為了降低建模的復雜性，文中僅考慮輸入軸和擺線輪之間的軸承接觸因素對傳動效率的影響。接觸理論表明，軸承徑向變形與法向接觸力具有非線性函數關系[20]。實際上，經典接觸條件下，軸承剛度系數kcy取決于接觸體的幾何形狀、材料特性和某些尺寸；而p僅取決于接觸體的幾何形狀，如對于球軸承，p=3/2；對圓柱滾子軸承，p=10/9[21]。

應該強調，文中從理論上考慮擺線輪與輸入軸的連接軸承的非線性效應，并引入軸承力學模型，但并非針對某一具體型號的軸承。因此，為了分析2個軸承力學參數kcy和p對擺線針輪傳動效率的影響，設定其參數取值范圍為kcy∈[1×107，1×1011]N/m，p∈[1，2.5]。

3.2 軸承參數對傳動效率的影響

3.2.1p=1時軸承參數的影響

為了對比分析軸承非線性效應，首先考慮軸承力與位移屬線性情況，即p=1時，觀察不同系數kcy情況下，傳動效率與運行工況的關系。圖8顯示了不同kcy時，減速器傳動效率與轉速、負載的關系。可以看到傳動效率基本不隨著轉速以及負載的變化而變化。這一點與常識不符，說明了將軸承表達為線性剛度無法反映工程實際。

圖8 不同剛度系數時，傳動效率與轉速、負載的關系

3.2.2p>1時軸承參數的影響

針對p>1的情況，分別以2種情況，即p為1.1和2.5，以及kcy為1×107、1×1011N/m，考察傳動效率與運行工況的關系。圖9和10所示為p=1.1時傳動效率與負載、轉速的關系。運行速度和負載幾乎對傳動效率沒有影響，這一點與p=1時情況類似。此外，在p=1.1，kcy=1×1011N/m時，傳動效率相對較好，表明系統具有更高剛性。圖11與12顯示了p=2.5時傳動效率與負載、轉速的關系。與p=1.1不同，軸承的傳動效率出現明顯變化。隨著負載的增加，傳動效率顯著提高。但是運行速度對傳動效率的影響不大，即隨著轉速增大，效率略有下降。其中高負載時傳動效率隨轉速上升基本不變，而在低負載時效率小幅下降。kcy較高時，系統剛性更強，傳動效率相應提高。圖13所示為p=2.5，kcy=1×1011N/m時，2種轉速(1 000和1 500 r/min)，2種負載(200和300 N·m)時的軸承變形y1值。2種轉速下，軸承變形基本相同；但是高載荷時，軸承變形也相應增大。式(13)表明傳動效率與負載正相關，與軸承變形負相關。顯然，此時負載增加對傳動效率的影響更為重要。

圖9 不同載荷和轉速時的傳動效率(p=1.1，kcy=1×107 N/m)

圖10 不同載荷和轉速的傳動效率(p=1.1，kcy=1×1011 N/m)

圖11 不同載荷和轉速的傳動效率(p=2.5，kcy=1×107 N/m)

圖13 不同運行條件下的軸承變形

綜合圖8—11，軸承力學參數對傳動效率計算結果有顯著影響，故有必要通過試驗來對軸承參數進行量化研究。

4 軸承力學參數的擬定

4.1 軸承參數擬定方法

文中通過試驗測試的方法獲得某單級擺線減速器的傳動效率ηs，并將其與同一運行狀態下的理論值η進行對比，依據|η-ηs|值來修正理論模型中的2個參數p、kcy，再進行理論計算，反復迭代，直到傳動效率的測試值與理論值接近。其中，迭代計算以漸進的、小步長的方式進行，即p的步長為0.01；kcy的步長為103。具體流程如圖14所示。

圖14 軸承非線性參數擬定的計算流程

4.2 測試方法

擺線針輪減速器試驗基于一體化設計的專業測試裝置(見圖15)進行，該裝置滿足輸出功率≤1.8 kW、輸出轉矩≤1 000 N·m、額定轉速1 500 r/min、最高轉速≤3 000 r/min的減速機效率測試。測試裝置主要由動力部分、電力測功機加載閉環控制部分、測試臺架以及控制測量部分構成。其中，為滿足不同類型減速器效率試驗，減速器安裝采用固定底座+安裝盤方式，更換方便；測試臺架加載采用伺服加載電機作為負載，負載可以任意調節，測試方便。

在被測減速器的輸出軸上加載恒定扭矩進行測試，輸入轉速從0增加到既定速度并保持恒定20 s，然后再次降低到0，并提取20 s內傳動效率數據。

4.3 實驗測試結果與理論值對比

通過軸承力學參數擬定方法，得到p=2.29，kcy=1.6×1010N/m。圖16、17分別顯示了不同轉速時，由理論分析和試驗測試得到的傳動效率與負載的關系。可見，測試所得傳動效率數據存在2個區域，即負載較小時(<150 N·m)，傳動效率變化幅度相當大；而在負載較大時，隨負載的增加，傳動效率變化較為緩慢，此時效率值已逼近飽和值。相同工況下，對應理論值也存在類似趨勢，但是理論值稍高于試驗值，其原因在于試驗系統存在理論模型中未能考慮的其他功耗環節，如針齒軸套和輸出柱銷軸套的摩擦。可以通過高效潤滑脂且避免過熱來減小該部分的摩擦功耗。

圖16 試驗與仿真所得傳動效率的對比(ωin=1 000 r/min，kcy=1.6×1010 N/m，p=2.29)

圖17 試驗與仿真所得傳動效率的對比(ωin=2 000 r/min，kcy=1.6×1010 N/m，p=2.29)

根據文獻[22]得到，材料為鋼的圓柱滾子軸承，寬度為12 mm時，其軸承剛度為kn=3.29×108N/m，p=10/9。可見與文中擬定的參數值，特別是指數p，存在很大差異。這是因為文中所引入的軸承模型，融合了減速器其他接觸部位的彈性環節，相對于具體軸承具有更高的彈性，具有更高的p值。正因為該軸承模型為具有復合效應的純理論模型，從而使得傳動效率理論評估模型更為簡化。

5 結論

(1)考慮輸入軸與擺線輪的連接軸承彈性，利用牛頓法建立擺線輪動力學方程，形成以軸承非線性力學參數描述的傳動效率分析模型，并將理論傳動效率與測試值進行對比，揭示軸承非線性參數對傳動效率的影響。

(2)軸承線性剛度(p=1)情況下的理論結果表明傳動效率與運行速度和負載無關，與測試值不符；考慮軸承非線性剛度時(p>1)，在p值較大時，即軸承剛性較低，其理論傳動效率與運行速度無關，但隨著負載增大而提高，與測試值基本相符。

(3)通過理論與試驗對比法擬定的軸承參數與具體型號的軸承參數差異顯著，表明該軸承模型為純理論模型。理論模型得到傳動效率預測結果接近測試值，證明輸入軸和擺線輪之間的軸承是影響傳動效率曲線的重要環節。

(4)為了降低軸承參數擬定的難度，研究中忽略了軸承阻尼參數，后續工作應考慮這些因素，以建立更為準確的傳動效率評估方法。