高考真題引領教學，提升數學關鍵能力

盧偉山

新高考注重考查學生關鍵能力和學科核心素養等多重功能，筆者研讀近年真題時，發現對函數最值的考查頻率非常之高，函數最值問題需要學生較好掌握三角函數、二次函數，導函數，基本不等式等知識，而且需要一定的數學思維，能夠全面考查學生關鍵能力。

一、指向數學關鍵能力提升的函數最值高考真題賞析

1.利用導函數求函數最值問題

利用導數求最值的問題在這近年高考試題中開始慢慢的滲透到其他知識考點的考查中。

例1.已知函數f（x）=2sinx+ sin2x，則f（x）的最小值是????????? ．

例2.某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為p（0

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p0.

例1和例2分別是2018年全國卷I的填空題第16題和第20題概率題，這是兩道極具創新的試題，學生熟悉又陌生。學生會主觀上會認為這是考查三角函數，從而選擇利用三角函數的方法來求最值（輔助角公式化成單一三角函數），其實不然，注意例1的函數解析式并非同角的兩個三角函數的形式。因此，學生在嘗試后會發現思路受阻，無法解答。例2則是將二項分布的概率和函數最值相結合，意料之外，情理之中，概率解析式是學生比較熟悉的，但這類“函數”的最值求法卻是“新穎”的。

若解析式中的三角函數不是同角的兩個三角函數的形式時，考慮到函數的連續性，就可以嘗試利用利用導數求最值的方法。例2中的函數f（p）=p2（1-p）18，將P視為自變量，函數的解析式可以看作是自變量P的高階函數，然后利用求導來求最值，在高中階段，對自變量的高階函數最值問題，最有效的方法就是通過求導求最值。2017年全國卷I填空題第16題也以屬于此類題型，此類題型屬于對連續型函數的通過求導求最值。此外，非連續型的函數（如數列）也可以通過導函數求最值。

2.利用基本函數的有界性求最值問題

高考試題中常見利用三角函數和二次函數的有界性來求函數最值。

（1）求E的方程；（2）設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程.

例7考查三角形周長最大值的問題，在余弦定理構造的等式中，應用基本不等式構造不等關系求得最值，例8是高考解題幾何中?？歼@類求最值的題型，基本思路是通過計算，最后轉成基本不等式求最值。選擇填空題也常見到利用基本不等式求最值。

基本不等式的本質是揭示常量與變量之間的關系，利用基本不等求最值的第一個類型就是求幾個正數和的最小值，關鍵在于構造條件，通過添加常數、拆項等方式使其積為常量；當積是常量時，就可以求變量的和的最值；第二個類型求幾個正數積的最大值，一般通過乘以或除以常數、拆因式（常常是拆高次的因式）、平方等方式構造條件使其和為常數，當其和是常量時，就可以求變量的積的最值。利用基本不等式求最值時需要特別注意：一正、二定、三相等的原則，考題常從這三個角度設置考點。

二、基于函數最值問題的數學關鍵能力提升的教學建議

教學中，像本文所探討的函數最值問題的幾種解法都需要在平時教學中著重講解的求解方法，我們教學要幫學生夯實幾種最值解法的解題思路，解題步驟，應用場景等。另外，我們還需要重視教會學生牢牢掌握、理解好數學知識的本質、模型的本質。

從近五年的函數最值問題的高考真題來看，并不考查的單一知識點，往往都多個知識點的交匯，綜合性較強。我們教學中需要重視知識的整體性和關聯性，厘清各個知識點的要素，以及要素之間的關聯性。只有這樣，學生才能夠在復雜的題目中尋找到解決方法。

此外，高考題逐漸淡化特殊解題技巧，越來越重視通性通法的考查。在教學中我們也應該更多注重解決相關問題的通性通法，盡量探索問題解決最本質、最基本的方法。當學生掌握好通性通法后，就有可以進一步提升、拓展的空間，提升數學的關鍵能力。

【注：本文系廣州市天河區教育科學“十四五”規劃2021年度小課題（2021X011）的研究成果】

責任編輯 韋英哲