建知識網絡 構生長路徑*
——以蘇科版數學“11.1生活中的不等式”教學為例

王競進 徐明悅

? 江蘇省建湖縣教育局教研室 ? 江蘇省鹽城市教育科學研究院

《義務教育數學課程標準(2022版)》(以下簡稱“《課標》”)教學建議中指出:“改變過于注重以課時為單位的教學設計,推進單元整體教學設計,體現數學知識之間的內在邏輯關系,以及學習內容與核心素養表現的關聯.”[1]初中數學單元整體教學是根據初中數學學科特點,從整體角度把握單元課程內容,突出內容和過程的聯系性和整體性.把握好所教內容單元的整體性,對內容的系統結構能夠了如指掌,心中有一張“思維導圖”和“知識結構圖”,把握學習的方向,形成知識生長的一般觀念,從而使教學有的放矢,使學生掌握結構化的、聯系緊密的、遷移性強的知識,幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題,形成科學的思維習慣,發展核心素養.本文中以蘇科版數學“11.1生活中的不等式”教學為例,以饗讀者.

1 教材分析

在小學階段已經要求“理解符號<,=,>的含義,能用符號和詞語描述基本數的大小”,《課標》的課程內容實例2中指出:相等和不等是數的兩個基本關系.在數量一樣多、較多和較少的具體情境中,引導學生感悟數的相等和不等關系,知道可用符號=,>,<分別表示數與數之間的相等、大于和小于關系.“11.1生活中的不等式”是蘇科版《數學》七年級下冊第11章“一元一次不等式”的起始內容,是在學習了一元一次方程和二元一次方程組的解法及其應用的基礎上展開的.結合身邊的具體實際問題,抽象歸納出不等式的概念,滲透符號意識、數學建模觀念,并為后續不等式知識的學習探究活動奠定基石;應用類比思想,充分發揮正向遷移的積極作用,整體感知不等式解集的意義、不等式組的概念以及不等式的基本性質;初步嘗試不等式的解法.從單元整體的視角引導學生整體感受本章的知識網絡,構建知識發生、生長的一般路徑.

2 教學目標

(1)了解一元一次不等式及其相關概念,體會不等式是刻畫實際生活中不等關系的一種有效的數學模型;

(2)體驗不等式知識框架結構的形成過程,培養類比的學習方法;

(3)經歷初步探索不等式性質的過程,獲得學習一元一次不等式的方法和經驗,體會猜想、驗證、類比是數學學習的一般方法.

3 教學過程

環節1：情境創設,導入新課.

同學們,請你用數學的眼光看大屏幕中的圖片,對于這些生活中的同類量,你能用數量之間的關系描述它們嗎?

教學說明：本環節,創設學生非常熟悉的生活情境,引導學生用數學的眼光進行觀察、比較、分析、歸納,通過小組合作、交流、概括,發現日常生活中的同類量之間,不僅僅存在著相等關系,還存在著大量的不等關系,從而引入課題.課堂上,學生興趣盎然地參與學習活動,學習積極性高.

環節2：再現網絡,初步感知.

同學們,當講臺上的天平平衡時,在天平的左盤中放有兩個相同的小球和一個1 g的砝碼,右盤中放有一個5 g的砝碼.你能根據天平現在的狀態(如圖1)設計一個問題嗎?在解決這個問題的過程中,運用了哪些數學知識?

圖1

教學說明：本環節,從學生原有的認知水平出發,以學生非常熟悉的天平平衡問題為載體,重新經歷用一元一次方程講解問題的過程,并引導學生再現“等式—方程—方程的解—等式的性質—解方程—應用”的知識網絡,為進一步學習新知鋪墊類比點.

環節3：活動探究,類比生長路徑.

活動探究1如果老師將天平中的兩個相同小球換成另外兩個相同的小球(與原來兩個小球質量不相同),此時,天平還平衡嗎?意味著天平左邊物體的質量與右邊的質量具有怎樣的數量關系?你能用數學符號表示出來嗎?

活動探究2你能舉出生活中其他具有類似數量關系的實例嗎?你還能用數學式子表示出來嗎?

教學說明：數學知識的教學,要注重知識的生長點和延伸點.該探究活動中,引導學生觀察天平從平衡到不平衡的生活實例現象,在師生互動的過程中歸納、抽象出不等式的概念,同時也拉近了師生間的距離,營造出輕松、愉悅的學習氛圍,體現了生活中處處有數學,感受到學習“生活中的不等式”的必要性.

活動探究3用數學式子表示下列數量之間的關系:

(1)一個邊長為am的正方形的周長大于10 m;

(2)一輛48座的客車載有游客x人,中途上來5人后,車內仍有空座位;

(3)小麗種了一棵高70 cm的小樹,假設小樹平均每周長高0.5 cm,x周后這棵小樹的高度不低于100 cm;

(4)m的相反數不大于5.

教學說明：類比是一種從已知到未知,探求和發現新知識的富有成效的思維方法.該探究活動環節,設計的幾個問題涉及了四個常用不等號,且只含有一個未知數,并且未知數的次數都是1,由此引導學生類比一元一次方程的概念,建立一元一次不等式的概念,幫助學生建立符號意識和建模思想.

活動探究4剛剛學習了不等式和一元一次不等式的概念,你認為還將學習一元一次不等式的哪些知識?

教學說明：該活動從學生已有認知水平出發,在認識一元一次不等式概念的基礎上,設置了對將要學習內容的猜想,引導學生在師生、生生互動的交流氛圍中應用類比方法,大膽猜想將要學習的內容,逐步完善并形成知識網絡,即不等式—一元一次不等式—不等式的解—不等式的性質—解不等式—應用,培養學生運用數學的一般觀念探求、驗證新知的能力.

活動探究5(1)x=2是方程2x+1=5的解嗎?還記得方程解的概念嗎?

(2)對于剛剛由天平的狀態獲得的不等式2x+1>5,哪些數能使這個不等式成立呢?

教學說明：創設以問題為導向的互動式、啟發式、探究式、體驗式等課堂教學,能夠激發學生有深度地思考問題.本活動環節,先讓學生解答問題(1),引發學生對一元一次方程的解的復習與回顧,再結合天平不平衡時所蘊含的不等式,確定使該不等式成立時的數,進而類比探究,思考并形成一元一次不等式的解、解集等概念,分析一元一次不等式的解與一元一次方程的解的不同點,揭示其各自的特殊性.

活動探究6(1)解2x+1=5的依據是等式的性質,你還記得嗎?

(2)你能嘗試解2x+1>5?它的依據是什么?

教學說明：從數學學科整體的內在結構、核心內容和思想方法上整體把握和認識教學內容,使數學教學成為一個融數學知識、技能、方法、思想、觀念于一體的整體,發展學生的核心素養.本活動環節,以一元一次方程的求解依據為載體,激發學生對一元一次不等式2x+1>5的解進行猜想、嘗試、驗證,再引導學生確定一元一次不等式2x+1>5的解滿足的一般特征,并用符號加以表示,進而引導學生結合不等式的解集,嘗試、探究發現解一元一次不等式的依據及其與等式性質的不同點、特殊之處,即不等式的基本性質1和性質2,從而形成一個整體的認識.

環節4：生活應用,感受價值.

同學們,請觀察圖2,你知道飲用天然水特征性指標嗎?請用適當的不等式加以表示.

圖2

教學說明：閱讀身邊生活用品說明書中的相關數據,并靈活用數學符號進行表達,不僅可以增強分析問題、解決問題的能力,還能夠體會到數學的應用價值.本環節,利用生活中極其常見的飲用天然水,首先讓學生閱讀該表中的相關數據,然后分析這些數據的實際意義,再用適當的不等式加以表示.同時引導學生觀察身邊其他物品說明書中的數據信息,也用適當的不等式加以表示.這樣對現實實例的分析,能夠引導學生用數學的眼光觀察現實世界,用數學的思維思考現實世界,用數學的語言表達現實世界.

環節5：課內檢測,及時矯正.

檢測1完成課本第119頁“練一練”中的第2題.

檢測2完成課本第126頁中的“習題”的第2題.

教學說明：課內對學生所學知識進行檢測,是課堂教學優化的重要手段,是提高課堂效益行之有效的方法.本環節,通過學生自主、獨立完成課本中對應的兩道習題,小組內同學互相批閱、矯正,既能夠鞏固和檢測本節課所學的基礎知識,也能夠讓學生感受如何根據實際問題分析并正確列出不等式,幫助學生體會列不等式的步驟,為后面學習用一元一次不等式解決問題做好鋪墊.

環節6：歸納小結,反思提升.

(1)本節課,你學到了哪些知識?

(2)本節課,讓你感受最深的是什么?

(3)課后你準備對哪方面繼續進行研究?

(4)還有哪些困惑?此外你還知道了什么?

教學說明：新穎的小結方式,可以激發學生主動參與的意識.讓學生結合切身體會進行歸納小結,這樣能充分體現個體差異,能夠為每一個學生創設在師生互動中分享經驗的機會.同時,讓學生在課堂中自主歸納、反思提升,有助于學生梳理知識,明白前后知識間的內在聯系,更深刻地掌握所學知識,避免了學習過程中“只見樹木,不見森林”的現象,這樣既能培養學生的學習能力,也可提高學生的思維品質.

環節7：拓展思維,布置作業.

(1)我們類比一元一次方程學習的一般路徑,整體感知了一元一次不等式學習的一般路徑,請探索一元一次不等式組學習的一般路徑.老師希望同學們在多彩的數學世界中享受快樂,收獲滿滿!

(2)課后完成課本第119頁習題第2,3題.

4 教學反思

4.1 以整體觀的視角建立知識網絡

《課標》中教學建議明確指出:“強化對數學本質的理解,關注數學概念的現實實際背景,引導學生以數學概念、原理及法則之間的關聯處為切入點,建立起有意義的知識結構.”[1]因此,對課程內容進行結構化整合時,需要重視知識網絡結構的形成.如,在本節課教學中,先以問題導學,引導學生回顧一元一次方程的知識,再現“等式—方程—方程的解—等式的性質—解方程—應用”的知識網絡,進而應用類比的方法,不斷完善、形成“不等式—一元一次不等式—不等式的解—不等式的性質—解不等式—應用”的知識網絡.這樣能夠讓學生對一個章節或一個單元的知識有一個系統的理解,知道本章節或本單元在初中數學中的地位以及與前面學過的章節和后續章節的聯系,讓學生從整體上感受到“為什么學”“怎么學”“學什么”,進而促使知識、能力、素養等方面都得到充分發展[2].

4.2 以整體觀的視角構建知識的生長路徑

實施單元整體教學不是某一單元或章節內容的傳輸,而是對相關核心知識進行統籌重組和優化,引領學生逐步有序地經歷知識的發生、發展及加工過程,感悟知識或結構中蘊含的數學思想方法和一般觀念下的知識生長路徑,進而凸現某一單元或章節內容的整體概貌,而不是所有內容都深入剖析.如,在本節課教學中,類比一元一次方程的知識點,從不等式的概念出發,逐步生長出一元一次不等式、不等式的解及其解集、不等式的性質、解不等式及其應用等知識點,從而讓學生在構建知識的生長路徑的過程中,理清知識點之間的關系,形成完整的知識體系和更加堅固的知識結構.

4.3 基于“三個理解”進行整體設計

在“理解數學”“理解教材”“理解學生”的基礎上對教材進行整體設計,以數學內部的邏輯關系為切入點,設置具有生長性、連貫性的數學活動,如本節課中,以天平的平衡與不平衡現象為載體,引入生活中存在著相等與不相等的數量關系的現象,引導學生自主發現問題、提出問題、分析問題和解決問題,從而在經歷和體驗不等式相關知識的生長、發展過程中,領會數學知識的研究內容、研究路徑和研究方法,凸現了“為什么學”“怎么學”“學什么”的價值,并培養學生的“三會”“四能”,提升學科素養的育人目標.