凸顯數形結合思想的教學設計*
——以二次函數復習課為例

朱 平 仲偉東

? 江蘇省南京市江寧高新區中學

1 教學目標分析

(1)利用預設的二次函數問題,建構二次函數圖象與性質的相關知識體系;

(2)學生經歷“一題多變,一題多解”教學過程,從“數”和“形”兩個角度進一步理解二次函數;

(3)借助具體問題的提出與解決,幫助學生理解函數、方程、不等式之間的聯系;

(4)學生經歷解決問題的過程,進一步體會“數形結合”是研究函數的基本方法與路徑.

2 教學環節設計

2.1 環節一:利用函數問題引導學生由“形”想“數”

問題如圖1,二次函數y=a(x+1)2+4(a≠0)的圖象與x軸交于點A(-3,0),你能得到哪些結論?

圖1

教學功能分析：由一道不完整的題干出發,提出開放型問題,引發多方位思考.從學生回答的內容出發,引導學生回顧二次函數的圖象和性質,使所學知識系統化、立體化.教師“以學定教,順學而教”,引導學生由“形”想“數”,讓不同層次的學生都有所收獲,自主建構二次函數的知識體系.

教學示范:學生獨立思考并書寫.教師巡視,找尋學生從不同角度得出的結論,從學生所寫內容出發,層層深入.如圖2,引導學生得到以下幾個方面的結論.

圖2

(1)由圖象開口向下可以得到a<0.

(2)將A(-3,0)代入二次函數y=a(x+1)2+4(a≠0),得到a=-1,進一步得到二次函數關系式為y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.

(3)該函數的頂點坐標為(-1,4),對稱軸為過點(-1,4)且平行于y軸的直線.

(4)由于二次函數圖象具有對稱性,對稱軸為直線x=-1,且已知圖象與x軸的一個交點A(-3,0),因此可得圖象與x軸的另一個交點坐標為B(1,0).另一種方法為先求出函數關系式y=-x2-2x+3后再求得另一個交點.

(5)結合函數關系式y=-x2-2x+3,可知圖象與y軸的交點的坐標為(0,3).

(6)圖象的增減性:當x<-1時,y隨x的增大而增大;當x>-1時,y隨x的增大而減小.

(7)函數值分別大于0、等于0、小于0時對應的x的取值范圍.當-30;當x=-3或x=1時,y=0;當x<-3,或x>1時,y<0.

根據以上結論,引導學生建構二次函數圖象與性質的知識體系,如表1所示.

表1 二次函數的圖象與性質

2.2 環節二:利用問題變式引導學生由“數”想“形”

變式用表格方式對環節一的問題進行變式.

例1已知二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,且a≠0)中,函數y與自變量x的部分對應值如表2:

表2

(1)m=______;

(2)設計一種平移(上下平移或左右平移)方案,使原點在平移后的函數圖象上.

解：(1)法1.利用待定系數法先求出該函數關系式y=-x2-2x+3,再把x=-4代入,求得m=-5.

法2:根據二次函數的對稱性,縱坐標相等的兩個點為對稱點,可得m=-5.

(2)法1.由表3可知,函數圖象與y軸的交點坐標為(0,3),該點與原點的橫坐標相等,因此,只需將函數圖象向下平移3個單位長度就可經過原點.還可以由表3知,函數圖象與x軸的交點(-3,0)和(1,0)的縱坐標與原點的縱坐標相等,因此,只需將函數圖象向右平移3個單位長度或向左平移1個單位長度就可經過原點.

表3

法2:畫出函數y=-x2-2x+3圖象,并找出平移的方法.

教學功能分析：第(1)問可以測評學生運用不同方法解題的差別.一種是先求函數關系式(三種方法,不同方法求出函數關系式的速度也會不同),再將x=-4代入求得m的值;另一種是利用二次函數圖象的對稱性及對稱點縱坐標相等的性質直接得到結果.很顯然,利用圖象的對稱性解決起來更加簡單.問題(2)考查學生靈活運用平移知識解決問題的能力.而第(1)問的解決會給第(2)問的解決奠定基礎,最終讓學生理解圖象平移的關鍵在于抓住圖象所經過的點的坐標.

教學示范:處理第(1)問時,讓學生先獨立思考并書寫,教師巡視,針對學生所使用的不同方法進行點評.處理第(2)問時,當學生發現函數圖象向下平移3個單位長度后能經過原點時,教師應及時追問,你是怎么想的?還有其他想法嗎?

弱化條件:將第(1)問中的函數圖象向下平移n個單位長度后,得到的新的二次函數關系式為y=-x2-2x+3-n.

例2已知二次函數y=-x2-2x+3-n(其中n為常數,n>0).

(1)若該函數的圖象與x軸只有一個交點,求n的值;

(2)已知該函數圖象上的兩點P(m,y1),M(3,y2),且y1

解：(1)法1.由函數的圖象與x軸只有一個交點,可知該交點為二次函數圖象的頂點,即頂點在x軸上,故b2-4ac=0.由(-2)2-4×(-1)×(3-n)=0,解得n=4.

解得n=4.

法3:由對稱軸為直線x=-1,可得頂點坐標為(-1,0),代入y=-x2-2x+3-n,可得n=4.

法4:因為二次函數y=-x2-2x+3圖象的頂點坐標為(-1,4),所以將函數圖象向下平移4個單位長度后,圖象與x軸只有一個公共點,因此n=4.

(2)函數y=-x2-2x+3-n的圖象如圖3所示,在圖象上標出坐標為(3,y2)的點M,當y13.

圖3

教學功能分析：第(1)(2)問的設計,是為了引導學生從數與形兩個角度來思考并解決問題,將函數、方程、不等式三者之間的關系進行相互轉化.在解決問題后,進一步引導學生進行反思和方法優化.

教學示范:對于第(1)問,教師可以通過提問“如何理解函數的圖象與x軸只有一個交點?能從方程的角度考慮嗎?嘗試畫一個草圖”,引導學生運用數形結合思想進行思考,鼓勵學生從多個角度運用多種方法解決問題.

對于第(2)問,可以從“數”的角度分析.由y10.這個不等式可以用如下兩種方法解決:

方法2:從“形”的角度解決.畫出函數y=x2+2x-15的圖象,利用數形結合的方法加以解決.

教學過程中,教師要注意引導學生從數與形兩個角度進行思考與分析.從數的角度,關鍵是與方程、不等式建立聯系;從形的角度,關鍵是抓住重要的“點”(頂點、對稱點、與坐標軸的交點),鼓勵學生多角度思考問題,運用多種方法解決問題.

3 教學反思

我國著名數學家華羅庚說過:“數缺形時少直觀,形缺數時難入微.”受此啟發,筆者利用一個二次函數y=-x2-2x+3串起了整節課,通過圖象、表格、表達式三種形式之間的轉換,運用數形結合的思想方法來研究函數,實現由具體的數字到抽象的字母這樣一種“從特殊到一般”的研究過程,層層遞進,讓學生的知識體系不斷生長,知識網絡不斷完善,進而提高復習課的課堂效能.

進行教學設計時,選取的問題要具備生長性,嘗試一題多變、一題多解,激發學生的數學思維,從而加深學生對數學知識全面且系統的理解.這里的問題生長是指對某一類教學資源的有機整合,要注重優化問題設計.備課時,要注重知識點之間的聯系,所設計的問題要有主線,能由淺入深,層層深入,使學生所學知識系統化、結構化.Z