巧解含參不等式(組)整數解問題

邱 雯

? 廣東省惠州市第八中學

對于只有一個不等式含參數的不等式組,求參數值(或范圍)問題是中考的一個重要考點,大多數學生通過多次訓練或許能夠掌握.而對于不等式組中每個不等式都含有參數的問題,命題涉及較少.這類問題又該如何解答呢?下面結合例題進行剖析.

1 整數解個數(或數值)明確

圖1

解得3

又a,b均為整數,當a=6,b=6時,2a2+b取得最大值為2×62+6=78.

點評：此題用用含a,b的式子表示不等式組的解集;再根據解集中“整數解僅為2”,建立與a,b有關的新的不等式組,從而確定參數a,b的范圍(或取值).

圖2

解得0≤a<6,15

所以15

圖3

所以整數a的最小值是2.

點評：根據條件“解集中至少有5個整數解”,建立與a有關的不等式是解題的關鍵所在,通過數軸將“數”轉化為“形”,再將“形”轉化為“數”.

2 整數解的值不明確

例4(2021江漢)已知關于x的不等式x-a<0的最大整數解為3a+6,則a的值為______.

解：由x-a<0,得x

又不等式的解集中最大整數解為3a+6,則與a最接近的兩整數為3a+6與3a+7.

將解集及表示數3a+b與3a+7的點在數軸上表示出來,如圖4所示.

圖4

點評：用含a的式子表示解集范圍,再根據“3a+6為最大整數解”,建立與a有關的不等式組,求得a的取值范圍,再通過增設變量表示3a+6的值,進而求得a的值.

因為不等式組的整數解之和是-5,所以不等式組的解整數解為-3,-2或-3,-2,-1,0,1.

當不等式組的整數解為-3,-2時,解集在數軸上的表示如圖5所示.

圖5

當不等式組的整數解為-3,-2,-1,0,1時,解集在數軸上的表示如圖6所示.

圖6

綜上,m的取值范圍是-4

點評：由已知條件“所有整數解的和為-5”得出兩組不同的整數解,再分類討論建立與m有關的不等式組,問題迎刃而解.

又不等式組有解,則m

設四個相鄰的整數分別為n-1,n,n+1,n+2.

令不等式組的兩個整數解為n和n+1,將不等式的解集在數軸上表示出來,如圖7所示.

圖7

所以n-1≤m

又因為n為整數,所以n=2.

點評：首先解原不等式組得x的解集,再根據“x僅有2個整數解”建立關于整數n的不等式組,并求出整數n,進而求出m的范圍.

解決含參不等式組的整數解問題,一般先把參數看成已知數求出不等式組的解集,再借助整數解的條件確定整數解的個數(或具體數值),將解集在數軸表示出來,關注解集的上下限所表示的點在數軸上的位置,建立與參數有關的不等式(組),解新的不等式組即求出所要的結果.Z