初中數學教學中數學思想的滲透

朱靜軍

?河北省唐山市第四十九中學

《義務教育數學課程標準》中明確提出把數學思想和方法作為基礎知識的重要組成部分,可見其重要性非同一般.數學思想和方法是解決數學問題的重要工具[1],掌握數學思想和方法,既有助于教師的教學,又能夠幫助學生形成良好的認識結構,促使其將書本知識轉化為解決問題的能力,因此,在初中數學的教學過程中,教師要注重數學思想的滲透.

1 分類思想

分類思想主要體現在一些概念、定理、性質的應用中.在教學過程中,通過適當的說明和滲透,使學生對分類思想有一個較清晰的認識和掌握,更重要的是隨著分類思想在學生頭腦中的萌芽、生根、發展,使學生的思維能力逐步得到提高.

例1如圖1,ABCDE是正五邊形,問:以圖中標明的字母為頂點、以已有線段為邊的不同三角形有多少個?

圖1

解法1：按三角形的頂點所在的位置來分類.

當三角形的三個頂點都在A,B,C,D,E中時,與△ABC全等的有5個,與△ACD全等的有5個,共10個;

當有兩個頂點在A,B,C,D,E中,一個頂點在A′,B′,C′,D′,E′中時,與△A′CD全等的有5個,與△E′CD全等的有10個,與△D′CE全等的有5個,共20個;

當有一個頂點在A,B,C,D,E中,有兩個頂點在A′,B′,C′,D′,E′中時均與△AC′D′全等,共5個.

所以,共有三角形10+20+5=35(個).

解法2：按三角形的邊的位置分類.

當三角形有兩邊與正五邊形的邊重合時,均與△ABC全等,共5個;

當三角形只有一邊與正五邊形的邊重合時,與△A′CD全等的有5個,與△E′CD全等的有10個,與△ACD全等的有5個,共20個;

當三角形沒有邊與正五邊形的邊重合時,與△AC′D′全等的有5個,與△A′BE全等的有5個,共10個.

所以,共有三角形5+20+10=35(個).

點評：這個圖形并不復雜,但包含的三角形的個數卻不少.如果硬數,常常會出現重復和遺漏.為了避免以上弊端,宜采取分類的方法,并且充分利用圖形的對稱性.從本題的解題過程中我們也能看到,同一個問題可以按不同的標準分類,當然,不能同時按照兩種標準分類.

2 數形結合思想

數形結合思想貫穿于整個數學內容之中,運用數形結合法,借助“數”的精確性來闡明“形”的某種屬性,能夠把抽象的“數”的問題轉化為直觀的“形”的問題來解決;借助“形”的幾何直觀性來闡明“數”之間的某種關系,又能把復雜的“形”的問題轉化為具體的“數”的問題來解決.

試求xy+2yz+3xz的值.

解析：將原方程組改寫為

① ② ③

圖2

點評：本題已知條件是由三個二元二次方程組成的方程組,如果想嘗試用解方程組再求值的方法來解題,在初中階段顯然很困難.因此可聯想到利用勾股定理,通過對原方程組中的三個式子進行變形,構建以3,4,5為邊長的直角三角形,即可化“數”為“形”,得到一種簡捷解法.

3 方程思想

方程思想就是把研究的數學問題中已知量和未知量之間的數量關系,轉化為方程等數學模型,讓未知數參與運算,從而使問題得到解決的思維方法.方程思想貫穿于整個初中代數部分,通過方程的教學,使學生逐步形成方程意識,不僅能夠簡化和加速思維的進程,還能夠解決一些較復雜的數學問題和實際問題.

例3如圖3,已知AC切⊙O于點C,CP為⊙O的直徑,AB切⊙O于點D與CP的延長線交于點B,若AC=PC.

圖3

求證:(1)BD=2BP;

(2)PC=3BP.

證明：(1)如圖4,連接DO,設PO=OC=DO=x.

圖4

∵AC,AB切⊙O于點C,D,AC=PC,

∴AC=PC=AD=2x,∠ACO=∠ADO=90°.

∴△BOD∽△BAC.

∴BO∶AB=OD∶AC.

即(BP+x)∶(2x+BD)=x∶2x,化簡得BD=2BP.

(2)在Rt△BOD中,由勾股定理,得

OB2=OD2+BD2.

即(BP+x)2=x2+(2BP)2,化簡得2x=3BP.

點評：本題的證明中充分利用了方程思想,通過尋找相等關系,以運算代替論證.例如,題中的PO=OC=DO=x,AC=PC=AD=2x,BP,BD這些未知數都參與了運算.

4 轉化思想

數學問題的解決過程就是一系列的轉化過程,轉化是化繁為簡、化難為易、化未知為已知、化陌生為熟悉的有力手段,是解決問題的一種最基本的思想.前蘇聯著名數學家C·A婭諾夫斯卡婭曾一語道破解題的本質:“解題,就是意味著把所要解的問題轉化為已經解過的問題.”問題轉化得好,就能得心應手,游刃有余.而具體轉化的方法也有很多,例如添加輔助線、構造方程或不等式、圖形的分割拼合、畫圖象、代數式的變形等.

2x+2|x-2|=(x-1)2.

④

若x-2≥0,則④式可化為4x-4=(x-1)2,解得x=5,或x=1(與x≥2矛盾,舍去).

若x-2<0,則④式可化為(x-1)2=4,解得x=3,或x=-1.由于x=3與x-2<0矛盾,x=-1與x-1>0矛盾,故都舍去.

綜上所述,方程的解為x=5.

《暫行辦法》規定，在一個納稅年度內，與基本醫保相關的醫藥費用，扣除醫保報銷后個人負擔累計超過15000元的部分，由納稅人在辦理年度匯算清繳時，在80000元限額內據實扣除。此前的征求意見稿中，限額為60000元。

化簡得

⑤

綜上所述,方程的解為x=5.

點評：本題的兩種解法,都是通過以下轉化途徑,即由二重根式的無理方程—一重根式的無理方程—絕對值方程—整式方程,將復雜的問題轉化為簡單的問題,將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題.

5 整體思想

初中數學教材中應用整體思想的知識也很多,在解決某一問題時,不能獨立、孤立地看待,而是要通過觀察,把著眼點和注意力放在問題的整體結構上,才能觸及到問題的本質,從而達到求解的目的,這就是整體思想.整體思想是解決數學問題的一個重要策略,也是提高解題速度的有效途徑[2].

5.1 整體代換,化難為易

故所求六位數是285 713.

點評：本題中的a,b,c,d,e是五個未知數,按照通常的思路需要列五個方程才能獲解,但是這樣做很困難,關鍵是根本就找不到五個方程.如果換個思路看,觀察出這五個字母結合的順序沒有變動,不妨把這五個字母看成是一個數,也就是把它當作一個整體,這樣就化難為易了.

5.2 整體代入,化繁為簡

例6已知x2+3x+5=7,求3x2+9x-2的值.

解析：3x2+9x-2=3(x2+3x+5)-17
=3×7-17
=40.

點評：本題如果按照我們平時的解題習慣,通常是先解方程x2+3x+5=7,得出x的值,再代入代數式3x2+9x-2中求值,這樣顯然很繁瑣.稍加觀察我們發現,兩個代數式中的二次項和一次項的系數成比例,因此可以考慮用整體代入法.當然,本題還可將x2+3x作為整體(=2)代入求解.

5.3 整體思考,打破常規

例7試證明:兩個一元二次方程x2+ax+a=0,x2-x-2a-1=0中至少有一個方程有實數根.

證明：由題意得,Δ1=a2-4a,Δ2=1-4(-2a-1),則Δ1+Δ2=(a2-4a)+[1-4(-2a-1)]
=a2+4a+5
=(a+2)2+1.

因為(a+2)2≥0,所以(a+2)2+1>0.

故Δ1,Δ2中至少有一個大于0,即兩個方程中至少有一個方程有實數根.

點評：本題如果按照常規思路,逐一考慮兩個方程,由于a值的不確定性很難證明.但如果換個思路,將兩個方程的判別式的和作為一個整體考慮就容易多了.

除了上述數學思想,還有其他如類比、歸納、辯證、函數、構造、換元等數學思想可以運用.在數學教學中,應結合實際,重視這些數學思想的滲透,這樣有助于發展學生的思維,培養數學能力,提高綜合素質.