逐層深入,優化數學思維

牛怡怡

? 山東省濟南泉城中學

思維的形成與能力的發展需遵循由淺入深的原則,是一個長期積累的漫長過程.這就要求教師要注重教學的層次性,讓學生在逐層深入的教學中理論聯系實際,實現思維由量變到質變的突破,為核心素養的形成奠定基礎.

波利亞認為:“數學教學過程就是思維活動的過程.”[1]層次分明的教學過程,能激發學生主動參與的興致,產生探究意識,為思維的形成與發展提供幫助.為此,筆者在實踐中做了一些嘗試,特整理成文與大家分享.

1 概念教學

概念是編織數學這張大網的一個個結點,它呈現的是知識的脈絡.若脈絡不清,則無法深入學習這門學科,更談不上數學思維的發展與各項能力的提升.因此,概念教學是夯實數學基礎的關鍵,逐層深入進行概念教學,能讓學生更好地順應與內化概念的內涵,建構新的認知結構,為學習打牢地基[2].

案例1“一元二次方程”概念的教學

為了體現概念教學的層次性,讓學生的思維由淺入深地經歷知識建構過程,筆者設計了以下三個層次的教學活動.

1.1 直探主題,巧妙引導

問題1觀察下列方程,歸納它們的共同點:

①2x2+2x=1; ②3x2-4x2+2=0;

大型綜合性醫院門診科室眾多，如果門診科室布局不當，會大幅降低醫護人員的工作效率，進而增加求診者就醫的時間，甚至引發局部的沖突和混亂等不良后果。對于患者和患者家屬來講，他們的心理負擔可能原本就比較沉重，比較容易產生焦躁不安的情緒。復雜難懂的交通路徑，繁瑣冗長的就醫流程可能會為病人和家屬帶來極大的不便，從而引致患者和家屬更多的負面情緒，造成醫患關系更為緊張。所以，清晰的功能布局不但能夠提高醫院運作的效率，而且還能緩解緊張的醫患關系。

③3y2-y=0; ④4x2=0.

學生觀察后一致認為:這些方程都符合一元二次方程的概念,即等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(一元),并且未知數的最高次數是2(次).當學生對一元二次方程的概念有了初步認識后,筆者要求學生將每個式子都對照教材中一元二次方程的概念再一次進行辨別,以檢驗自己的判斷是否正確,以達到對此概念的初步認識.

1.2 變式訓練,啟發思維

問題2給學生指明了思考的方向,只要沿著這兩問進行探究,就能自主發現一元二次方程根與系數關系的內涵,從而對自己的猜想堅定信心.此過程,不僅能促進學生思維的發展,還能讓他們感悟到數學學習的趣味性,從而對數學學習產生信心.

問題2觀察下列方程,判斷它們是否為一元二次方程?為什么?

要學生作基本判斷,不存在問題.但要說明理由,部分學生有些懵懂.這就要求學生不僅能認識一元二次方程,還需對其特點了如指掌.此時,教師可適度引導,幫助學生從根本上理解一元二次方程與其他類似概念之間的異同點,只有深度掌握概念的本質,才能達到知其然而知其所以然,進而靈活運用的地步.

1.2.4 UPPSP沖動行為量表(UPPSP impulsive behavior scale) 共59道題目，采用Likert 4點評分，包括消極緊迫感、缺乏計劃性、缺乏耐性、感覺尋求和積極緊迫感5個維度，得分越高沖動性越高。本研究采用其中文修訂版［12］，5個維度的克隆巴赫α系數分別為 0.84、0.85、0.76、0.83、0.88，總量表 α系數為0.89。

1.3 深入探究,深刻理解

在學生的思維得到一定啟發的基礎上,教師可沿著變式訓練的思路,帶領學生繼續往下探究.為了讓學生對一元二次方程的概念產生更深刻的認識,達到創新性理解的程度,使得思維上升到更高層次,筆者進一步提出設問.

數學思想方法的指導在解題教學中尤為重要,盲目的生搬硬套只會禁錮學生的思維[3].因此,教師應注重學生的解題反思與總結的過程,讓學生不斷地將新知內化到新的認知結構中,以培養學生的數學思想,提高解題能力.

(2)求證:不論m取何值,關于x的方程(m2-8m+20)x2+20mx+5=0恒為一元二次方程.

于是，大腦又開始自動走神，這一次可能要比之前更久，因為大腦早已“證明”過自己“游刃有余”。而當再次歸來之時，大腦也許還會“印證”自己并未錯過什么。于是，走神的次數越來越多，時間越來越長。如此這般下去，終究會出現真正錯過重要信息的情況。

(3)已知方程ax2+ax=1是一個關于x的一元二次方程,則a的取值范圍是什么?

在問題串的引導下,學生思維由淺入深地獲得啟發.一環接一環的教學活動的開展,使得學生不僅對一元二次方程的概念有了一定的理解,更重要的是掌握了概念學習的方法.學生在教師所創設的問題情境中,通過觀察、分析、表征與思考,循序漸進地掌握了概念的本質,數學思維得到了良好的開發.

2 公式、定理、性質的教學

新課標引領下的初中數學教學不再以應試為主要教學目標,而要實現從知識型人才的培養向能力型人才的培養轉化.這就要求學生不僅要掌握基本的公式、定理與性質等知識,還要領悟其中所蘊含的一些重要的數學思想與方法.教師可引導學生逐漸提升思維品質,將原有的認知經驗逐漸轉化為各項數學能力.

案例2“一元二次方程根與系數的關系”的教學

為了讓學生能在此教學過程中感知數學思想方法的形成與發展過程,筆者設計了以下三個層次的教學活動,以培養學生的數學能力.

2.1 利用引例,激活思維

問題1解以下方程:①x2-4x+5=0,y2-4y+5=0;②3x2-4x-3=0,3y2-4y-3=0.以上兩組方程的解有沒有什么聯系?并說明理由.

經過觀察,學生發現這兩組方程的未知數雖不一樣,但未知數相對應的系數卻是一樣的.從解的結論來看,這兩組方程的根與系數的確存在一定的聯系.到底是怎樣的聯系呢?筆者在此基礎上呈現了具有階梯性的問題,以引發學生的探究,為學生思維的發展指明方向.

2.2 誘導探究,明確方向

為了誘導學生產生探究的欲望,可從二次項系數為1的方程開始討論,以發現其中存在的規律.

ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程的一般形式,它的根與系數究竟具有怎樣的聯系?請各位同學說說自己的看法,并證明自己的猜想.

問題2(1)猜想關于x的方程x2+ax+b=0的根與系數的關系.

訓練過程中，程序遇到被勿分類的點，會沿著梯度下降的方向重新修改超平面的權重w1，w2和閾值b以適應新的環境[19].訓練反復迭代，直到所有樣本都被分類正確.感知機模型訓練程序流程圖見圖4.

(2)若二次項系數不是1,以上猜想是否成立?

每個人受生活環境與認知背景的影響,都有自己獨特的思維習慣,有些思維習慣根植于學生的大腦中難以改變.為了讓學生的思維跟上時代的發展與教學手段的革新,在解題教學中教師可示范例題解析過程,讓解題思路完全暴露在學生面前,鼓勵學生自主進行觀察與分析,以激活思維,提升解題能力.

當學生對一元二次方程的概念有了初步的認識,筆者又從多個角度提出新的變式,供學生訓練、探究.

3.3 呈現原形,獲得能力

習近平總書記指出，標準決定質量，有什么樣的標準就有什么樣的質量，只有高標準才有高質量。皇窯景區能夠在短短幾年內快速的發展，并得到社會的廣泛認可，其標準化的實踐告訴我們，標準化已成為推進科學發展，構建生態文明，促進社會和諧的重要保障，是政府參與服務業管理的有效抓手。

此教學活動與上個教學活動有著異曲同工之處,均是基于學習者猜想的基礎上提出自己的看法,但此過程更為深入,強調對根與系數關系的總結與提煉.想讓學生在學習中獲得更多的能力,必然要鼓勵他們自主探索與發現一些問題的規律,并通過驗證來確定自己的猜想是否準確.因此,教師的精心設計與引導具有重要意義.

3 解題教學

在應用Slide軟件來研究邊坡的穩定性時，使用垂直條塊極限平衡分析邊坡穩定性，其為當前世界巖土領域內普遍認可的一種計算軟件，可以準確預測邊坡穩定情況，找出危險系數最高的滑面并計算滑面的安全性。應用Slide軟件，可采用不同的方法對邊坡的安全穩定性進行計算。

問題3(1)關于x的方程ax2+(3a-1)x+2a+3=0,當a為何值時,該方程是一元二次方程?當a為何值時,該方程是一元一次方程?

案例3“菱形”的教學

問題1如圖1,已知菱形ABCD的邊長是3 cm,∠DAB=120°,AC與BD分別為兩條對角線,交點為O,則菱形ABCD的面積是多少?

圖1

只要學生學過菱形面積的計算方法,解決此題就沒有什么困難.在學生獨立解決此問題時,筆者巡視并進行個別指導.當學生順利完成此問題后,筆者以計算菱形面積的方法為基礎,設計出幾個新的問題,以啟發學生的思維.

由于區塊鏈中節點眾多，節點地理分布較廣，且不同節點之間的通信存在延遲，因此需要一種算法決定新塊的記賬權以保證節點數據的一致性，這種算法被稱為共識機制[2]。共識機制以所有誠實節點數據保持一致為目標，同時要求在節點互相平等的情況下明確記賬權的歸屬。由于共識機制的存在，用戶無需信任交易，另一方同時也無需信任第三方機構即可完成交易。區塊鏈支持多種共識機制，這些共識機制在效率、安全性、資源消耗等方面各不相同，因此文章中我們著重探討了常見共識機制的發展歷史、效率以及安全性。

3.1 問題延伸,發展求異思維

問題2如圖2,以上求菱形面積的方法是否適用于矩形或平行四邊形?為什么?

“金沂蒙的產品之所以能夠取得這么好的口碑，是因為金沂蒙的產品有其獨特之處。”金沂蒙生態肥業副總經理劉仲濤表示，首先，原料不一樣。金沂蒙選用進口食品級木薯作為生物有機肥原料，無污染、無公害。其次，菌種不一樣。金沂蒙生物有機肥特別添加以高效廣譜芽孢桿菌為代表的生物菌群，菌種穩定，每克數量≥10億個。再次，工藝不一樣。17道流程工藝，7級腐熟，道道工序都有嚴格操作要領和技術要求。80℃以上高溫消滅有害物質，有機質含量最高可達70%。最后，原料、菌種、工藝不一樣，功效和品質自然也不一樣。

2013年，馬云卸任阿里巴巴集團CEO，從那時起，阿里已經經歷了多次內部的交接。2013年陸兆禧接任阿里巴巴集團CEO，2015年張勇接任CEO，標志著阿里“70后”合伙人全面掌權；2016年井賢棟出任螞蟻金服的CEO，并于2018年4月接任董事長。顯然，在阿里巴巴合伙人機制下，輪換交接是常態。不僅是阿里和螞蟻，阿里云、菜鳥等阿里體系的其他重要板塊也都完成了至少一次的管理團隊更替。外界能夠清晰地感受到，阿里巴巴的戰略從未因人事上的變動而發生變化，而阿里巴巴的增長勢頭也始終強勁。馬云的接班人張勇，彭蕾的接班人井賢棟，都在合伙人群體這個人才儲備庫中誕生的。

圖2

3.2 揭露本質,發展探究思維

問題3如圖3,已知AC與BD為四邊形ABCD的兩條對角線,相交于點O,且AC⊥BD,以上求面積的方法是否適用于本題?為什么?

圖3

3.3 歸納提煉,發展整體思維

問題4請根據問題1～3,歸納出你所獲得的結論,并說一說這幾個問題的本質是什么?涉及到哪些數學思想方法?

利用典型例題,引導學生逐層深入地進行探究,不僅能增強學生對基礎知識與技能的掌握程度,還能拓展解題思路,增強思維的廣度,為培養創新意識與核心素養提供幫助.

IBM開發的Fabric[6]看到了另外一個生存空間，那就是避開以太坊，構造聯盟鏈，在企業中運行。得益于IBM的代碼質量和一貫良好的形象，Fabric很快在聯盟鏈中占據了主導地位。Fabric的特點是不用密碼貨幣，轉而用節點背書，其中每個節點的身份可以識別，不誠實的節點需要付出代價。目前在大部分所謂落地的應用中，例如：銀行、供應鏈、積分、稅務等場景，無一例外地采用了聯盟鏈的模式。

總之,新課標引領下的數學教學以培養學生形成高階思維為主要目的.逐層深入的教學過程,使得學生在逐層遞進中感知、感悟并學會運用數學思想與方法,形成良好的探究習慣與思維方式,為數學核心素養的提升奠定基礎.