特殊與一般思想在初中數學解題中的應用

徐 巖

? 哈爾濱師范大學教師教育學院

特殊與一般思想具體到一個數學問題就是如果直接解決有困難,可以考慮用特殊情況來獲得結果,然后把解決特殊情況的方法或結論應用或者推廣到一般問題上,從而獲得一般性問題的解答.特殊化是以一種稱為“倒退”的方法,從“一般”到“特殊”,而反過來稱為“前進”的方法[1].做題時把問題轉化為較容易解決的特殊情況,會有事半功倍的效果,尤其是做填空題、選擇題時,采用特殊與一般思想,可以避免“小題大做”,節約時間.

1 用字母表示數

用字母表示數是初中數學從有形的數字到抽象符號的質的飛躍,是發展符號意識的基礎,從“代表數字的信息”轉變為用字母代表未知元素、待定系數、根和系數之間關系等,體現了使用字母表達任意數的想法.當使用字母表示一定數量的實際問題時,應確定一組字母的值.在同一個問題上,不同的字母會表示不同的數字[2].

2 特殊值的應用

“特殊”可以在一定程度內反映或表示“一般”,在解決數學問題時,通常先分析特殊情況,然后總結一般情況,即根據具體的條件,選擇符合條件的特殊值,然后使用條件或特殊圖形進行計算和推斷.

這類問題通常有一個共同點:題目包含一般條件,可以利用這些條件得出具體的結論或值.而特殊情況的答案通常與一般情況的答案相同.特殊值的選取必須符合特定條件.特殊值的選擇應盡可能簡單,以便計算和比較.當其中有不止一個未知量時,每個未知量之間應盡可能具有特殊數量關系,以幫助解決問題.

A.abc>0 B.a+b=0

C.2b+c>0 D.4a+c<2b

解析：應用由特殊到一般的思路,先取符合題意的特殊二次函數y=x2+x-3,則a=b=1,c=-3,可得出D選項正確.但對于學生來說,特殊值的選取要求較高,學生可能因為取值不合適而得不出正確答案.

3 特殊圖形的應用

在解決平面圖形問題的過程中,在一般的位置關系下,通常很難找到元素之間的關系,這可能會阻礙思路的探索.此時使用特殊情況下的圖形結構會簡化計算,但應注意所選擇的特殊圖形須符合題目條件,且答案必須明確,否則就是不可取的.

例3在△ABC中,AB=AC=m,P為BC上任意一點,則PA2+PB·PC的值等于( ).

A.m2B.m2+1 C.2m2D.(m+1)2

解析：選擇題可用特殊圖形解決.若點P與點B重合,如圖1所示,原式為m2,則A選項正確;當點P位于BC中點時,如圖2所示,可得PA⊥PB,PB=PC,則原式=PA2+PB2=AB2=m2;當點P與點C重合時,也能得出相同的結論.但此方法只適用于選擇題,嚴謹證明還應讓點P保持任意性.

圖1

圖2

如圖3,根據相交弦定理,得

圖3

PB·PC=PD·PE
=(AD-PA)(AE+PA)
=(m-PA)(m+PA)
=m2-PA2.

故PA2+PB·PC=m2.

4 用特殊化方法探求定值

一些數學問題由于高度抽象,很難直接找到或證明某些一般特征.在這種情況下,可以探索特殊特征和某些條件,找到規律和解決方案.在某些幾何圖形中,某些點或線段的位置會不斷變化,但總有一些關系始終保持不變,這屬于定值問題.

例4已知同心圓中,AB是大圓的直徑,點P在小圓上,求證:PA2+PB2為定值.

證明：設大圓、小圓半徑分別為R,r.

若P,A,B三點共線,如圖4所示,則有

圖4

PA2+PB2=(R-r)2+(R+r)2=2R2+2r2.

若P為直徑AB中垂線上一點,如圖5,則PA2=PB2=R2+r2,所以PA2+PB2=2R2+2r2.

圖5

而要想嚴格證明還需保持點P的任意性,如圖6,作PF⊥AB于點F,則有

圖6

PA2=PF2+AF2
=(r2-OF2)+(R-OF)2,

PB2=PF2+BF2
=(r2-OF2)+(R+OF)2,

所以PA2+PB2=2r2-2OF2+2R2+2OF2=2r2+2R2.

由此可知,在任意情況下PA2+PB2均為定值,結論得證.

5 用特殊化方法尋找結論

當問題解決方案不明確時,可以先分析一些特殊情況并總結,通常可以找到結果或解決問題的方法,然后分析特殊情況與一般情況之間的關系,以便在一般情況下解決問題.

通常有如下兩種方法:

(1)在一些具有一定數量結構的代數問題中,通常可賦予字母特殊值或利用字母表示的量之間的關系.

(2)在平面圖形中,通常可選取一個特殊的點(例如,一條線段的中點)、特殊的關系位置(例如,兩條平行線或垂直的直線)或者是幾何形狀(例如,直角三角形、等邊三角形等)來幫助解決問題[3].

解析：由1≤x≤2,得0≤x-1≤1,所以

=2.

6 結語

特殊與一般思想是初中數學的重要解題思想.掌握了這種思想,學生在面對比較復雜的數學問題時能將其轉換成特殊或一般情況,以此簡化計算或證明過程.這對培養學生的數學核心素養和數學思維都有幫助.