特殊與一般思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

徐 巖

? 哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院

特殊與一般思想具體到一個數(shù)學(xué)問題就是如果直接解決有困難,可以考慮用特殊情況來獲得結(jié)果,然后把解決特殊情況的方法或結(jié)論應(yīng)用或者推廣到一般問題上,從而獲得一般性問題的解答.特殊化是以一種稱為“倒退”的方法,從“一般”到“特殊”,而反過來稱為“前進(jìn)”的方法[1].做題時把問題轉(zhuǎn)化為較容易解決的特殊情況,會有事半功倍的效果,尤其是做填空題、選擇題時,采用特殊與一般思想,可以避免“小題大做”,節(jié)約時間.

1 用字母表示數(shù)

用字母表示數(shù)是初中數(shù)學(xué)從有形的數(shù)字到抽象符號的質(zhì)的飛躍,是發(fā)展符號意識的基礎(chǔ),從“代表數(shù)字的信息”轉(zhuǎn)變?yōu)橛米帜复砦粗亍⒋ㄏ禂?shù)、根和系數(shù)之間關(guān)系等,體現(xiàn)了使用字母表達(dá)任意數(shù)的想法.當(dāng)使用字母表示一定數(shù)量的實(shí)際問題時,應(yīng)確定一組字母的值.在同一個問題上,不同的字母會表示不同的數(shù)字[2].

2 特殊值的應(yīng)用

“特殊”可以在一定程度內(nèi)反映或表示“一般”,在解決數(shù)學(xué)問題時,通常先分析特殊情況,然后總結(jié)一般情況,即根據(jù)具體的條件,選擇符合條件的特殊值,然后使用條件或特殊圖形進(jìn)行計(jì)算和推斷.

這類問題通常有一個共同點(diǎn):題目包含一般條件,可以利用這些條件得出具體的結(jié)論或值.而特殊情況的答案通常與一般情況的答案相同.特殊值的選取必須符合特定條件.特殊值的選擇應(yīng)盡可能簡單,以便計(jì)算和比較.當(dāng)其中有不止一個未知量時,每個未知量之間應(yīng)盡可能具有特殊數(shù)量關(guān)系,以幫助解決問題.

A.abc>0 B.a+b=0

C.2b+c>0 D.4a+c<2b

解析：應(yīng)用由特殊到一般的思路,先取符合題意的特殊二次函數(shù)y=x2+x-3,則a=b=1,c=-3,可得出D選項(xiàng)正確.但對于學(xué)生來說,特殊值的選取要求較高,學(xué)生可能因?yàn)槿≈挡缓线m而得不出正確答案.

3 特殊圖形的應(yīng)用

在解決平面圖形問題的過程中,在一般的位置關(guān)系下,通常很難找到元素之間的關(guān)系,這可能會阻礙思路的探索.此時使用特殊情況下的圖形結(jié)構(gòu)會簡化計(jì)算,但應(yīng)注意所選擇的特殊圖形須符合題目條件,且答案必須明確,否則就是不可取的.

例3在△ABC中,AB=AC=m,P為BC上任意一點(diǎn),則PA2+PB·PC的值等于( ).

A.m2B.m2+1 C.2m2D.(m+1)2

解析：選擇題可用特殊圖形解決.若點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,如圖1所示,原式為m2,則A選項(xiàng)正確;當(dāng)點(diǎn)P位于BC中點(diǎn)時,如圖2所示,可得PA⊥PB,PB=PC,則原式=PA2+PB2=AB2=m2;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時,也能得出相同的結(jié)論.但此方法只適用于選擇題,嚴(yán)謹(jǐn)證明還應(yīng)讓點(diǎn)P保持任意性.

圖1

圖2

如圖3,根據(jù)相交弦定理,得

圖3

PB·PC=PD·PE
=(AD-PA)(AE+PA)
=(m-PA)(m+PA)
=m2-PA2.

故PA2+PB·PC=m2.

4 用特殊化方法探求定值

一些數(shù)學(xué)問題由于高度抽象,很難直接找到或證明某些一般特征.在這種情況下,可以探索特殊特征和某些條件,找到規(guī)律和解決方案.在某些幾何圖形中,某些點(diǎn)或線段的位置會不斷變化,但總有一些關(guān)系始終保持不變,這屬于定值問題.

例4已知同心圓中,AB是大圓的直徑,點(diǎn)P在小圓上,求證:PA2+PB2為定值.

證明：設(shè)大圓、小圓半徑分別為R,r.

若P,A,B三點(diǎn)共線,如圖4所示,則有

圖4

PA2+PB2=(R-r)2+(R+r)2=2R2+2r2.

若P為直徑AB中垂線上一點(diǎn),如圖5,則PA2=PB2=R2+r2,所以PA2+PB2=2R2+2r2.

圖5

而要想嚴(yán)格證明還需保持點(diǎn)P的任意性,如圖6,作PF⊥AB于點(diǎn)F,則有

圖6

PA2=PF2+AF2
=(r2-OF2)+(R-OF)2,

PB2=PF2+BF2
=(r2-OF2)+(R+OF)2,

所以PA2+PB2=2r2-2OF2+2R2+2OF2=2r2+2R2.

由此可知,在任意情況下PA2+PB2均為定值,結(jié)論得證.

5 用特殊化方法尋找結(jié)論

當(dāng)問題解決方案不明確時,可以先分析一些特殊情況并總結(jié),通常可以找到結(jié)果或解決問題的方法,然后分析特殊情況與一般情況之間的關(guān)系,以便在一般情況下解決問題.

通常有如下兩種方法:

(1)在一些具有一定數(shù)量結(jié)構(gòu)的代數(shù)問題中,通常可賦予字母特殊值或利用字母表示的量之間的關(guān)系.

(2)在平面圖形中,通常可選取一個特殊的點(diǎn)(例如,一條線段的中點(diǎn))、特殊的關(guān)系位置(例如,兩條平行線或垂直的直線)或者是幾何形狀(例如,直角三角形、等邊三角形等)來幫助解決問題[3].

解析：由1≤x≤2,得0≤x-1≤1,所以

=2.

6 結(jié)語

特殊與一般思想是初中數(shù)學(xué)的重要解題思想.掌握了這種思想,學(xué)生在面對比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時能將其轉(zhuǎn)換成特殊或一般情況,以此簡化計(jì)算或證明過程.這對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維都有幫助.