遇等長 圓幫忙*
——以中考試題中“隱圓”問題為例

劉 輝

? 南京外國語學校 邵傳經

每年的中考試題都對后續的教學具有引導性和指向性,作為一線數學教師,分析中考試題是很有必要的.縱觀南京市近幾年中考數學試題,有很多值得我們去細細研究.挖掘試題要表現的內涵,可以提升課堂教學的有效性,也能夠提高學生學習的積極性和效率,促進學生邏輯思維、發散思維和高階思維的發展.解題時,學生如果能讀懂條件,揭示其本質,挖掘出隱含信息就能從根本上解決問題.本文中以南京的中考題和部分區的模擬題為例,尋找出“隱圓”,突出圓的獨特性質來彰顯其魅力,現將筆者的思考與大家分享.

1 試題呈現

(2021年南京中考第15題)如圖1,在四邊形ABCD中,AB=BC=BD.設∠ABC=α,則∠ADC=______(用含α的代數式表示).

圖1

2 試題解讀

本試題以等腰三角形為背景,把兩個共腰的等腰三角形放在一起,考查已知等腰三角形的頂角求底角問題.利用等腰三角形的性質“等邊對等角”和三角形內角和定理來解答此題時,需要進行整體分析,學生可能不易想到.本題的取材是簡單熟悉的圖形,題干簡練,學生并不陌生,體現了考查的公平性,沒在圖形上給學生造成障礙,但求解的過程并不容易.由于∠ABC=α是兩個等腰三角形的頂角的和,因此實質上是變相提醒學生要從整體上思考,滲透了對模型觀念以及抽象能力、運算能力、推理能力的考查.本試題看上去像是考查等腰三角形基礎知識與基本技能,其實質是考查學生運用知識來分析問題和解決問題的能力,體現了命題的導向性,對平時的教學提出了更高的要求,要求學生具有對平面圖形性質的領會和感知能力、推理和轉化能力.

3 試題解析

平面內到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上,題中條件AB=DB=CB,說明點A,D,C到點B的距離相等,即點A,D,C在以B為圓心的圓上.上述試題解答如下.

解：如圖2,以B為圓心,BA長為半徑畫圓,在優弧AC上取一點M,則∠ABC=2∠AMC.

圖2

又點A,M,C,D在以B為圓心的圓上,所以∠AMC+∠ADC=180°.

本解法的關鍵是發現了A,D,C三點共圓,巧妙借助圓來解答問題,解法非常簡單,學生容易掌握.解決問題時,如果能夠想到利用已知條件作出輔助圓,在所給的題目中尋找“隱圓”來轉換問題,便可快速求解.

4 鏈接中考

試題1(2018年南京中考第20題)如圖3,在四邊形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD.O是四邊形ABCD內一點,且OA=OB=OD.

圖3

求證:(1)∠BOD=∠C;

(2)四邊形OBCD是菱形.

分析：這里只分析第(1)問.由題目條件中OA=OB=OD,可得點A,B,D到點O的距離相等,即A,B,D三點在以O為圓心,OA長為半徑的圓上,從而將問題轉化為圓心角∠BOD與圓周角∠BAD的關系,再利用條件中的∠C=2∠BAD,第(1)問就很簡單地解決了.

試題2(2020年南京中考第15題)如圖4,線段AB,BC的垂直平分線l1,l2相交于點O,若∠1=39°,則∠AOC=______.

圖4

分析：連接BO,根據垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等,可知AO=BO=CO,于是可得點A,B,C到點O的距離相等,即A,B,C三點在以O為圓心,OA長為半徑的圓上,從而將問題轉化為圓心角∠AOC與圓周角∠ABC的關系,再利用四邊形有關知識求得∠1=∠ABC,進而得到∠AOC的度數.

上面兩道中考題雖然也可以用等腰三角形的相關知識解答,但仔細觀察發現有點O以及一些相等的線段,能夠找到“隱圓”,再利用圓中相關性質求解,非常簡便,大大降低了題目的難度.抓住命題者的意圖,明確考查的知識要點,避免一些復雜的計算,為解題贏得了時間.

其實在平時各區模擬試題中也出現過類似的試題,善于思考的學生能夠很快找到所解問題的實質.

5 拓展訓練

試題3(2021年南師附中集團二模第6題)如圖5,OA=OB=OC=OD,∠BOC+∠AOD=180°.若BC=4,AD=6,則OA的長為______.

圖5

分析：由OA=OB=OC=OD,可得點A,B,C,D到點O的距離相等,即A,B,C,D四點在以O為圓心,OA長為半徑的圓上.要求OA的長,實際上求該圓的半徑(或直徑)即可.

試題4(2021年玄武二模第15題)如圖6,直線PQ經過正五邊形ABCDE的中心O,與AB,CD邊分別交于點P,Q,點C1是點C關于直線PQ的對稱點,連接CC1,AC1,則∠CC1A的度數為______°.

圖6

分析：本題中沒有直接給出線段相等,需要學生根據已有的條件進行分析.已知點O是正五邊形ABCDE的中心,則有OA=OB=OC=OD=OE.又由點C1是點C關于直線PQ(PQ經過正五邊形ABCDE的中心O)的對稱點,可以得到OC=OC1.所以OA=OB=OC=OD=OC1=OE,即A,B,C,C1四點在以O為圓心,OA長為半徑的圓上,進而求出∠CC1A的度數.

圖7

分析：連接OA.由O是DE上的一點,且DE是AC的垂直平分線,可得OA=OC.又因為OB=OC,所以OA=OC=OB,即A,B,C三點在以O為圓心,OA長為半徑的圓上,從而得圓心角∠BOC與圓周角∠BAC的關系.由∠BOC=90°,可知∠BAC=45°,再解三角形得到DE的長.

6 反思與啟發

教師的教學應以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎,引導學生獨立思考、主動探究、合作交流,促使學生理解和掌握基本的數學知識與技能,體會和運用數學思想與方法,獲得基本的數學活動經驗.

初中平面圖形中的等腰三角形、正多邊形、圓等都是軸對稱圖形,這些圖形聯系緊密.近幾年的中考試題中常常涉及圖形的轉化、知識點之間的滲透,靈活性較強.由于圓中半徑相等,會形成等腰三角形,垂徑定理就是以半徑為腰的等腰三角形的“三線合一”性質在圓中的運用.將求線段的長度、角度問題放在新的圖形中,解題的途徑多了起來,思維一下就活躍了,把原問題轉化為另一問題來考慮,知識點就能融為一體.對于一些相等線段的問題,引導學生充分體會題中的意境,找出“隱圓”并及時歸類總結,讓學生學會思考,提高他們的解題能力,促進其數學思維的發展.

上文是研究如何挖掘圓這一基本圖形,特別是挖掘條件背后隱含的基本圖形,在某些特定的條件下,變隱為顯,爭取做到“圖中無圓,心中有圓”,為圓的性質的巧妙運用創造條件,從而利用所學的基本圖形來解決問題,領會命題者的意圖.通過問題解決,提升學生的解題能力和解題技巧,同時也大大提高了專題教學的效率.

波利亞曾說過:一個專心、認真備課的教師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目,去幫助學生挖掘問題的各個方面,使得通過這道題,就好像通過一道門戶,把學生引入一個完整的理論領域.在與學生共同學習的過程中,發現并總結此類問題,提高了教師的內在素養,也拓展了學生的解題思路.Z