逆向思維、出其不意:反證法在初中數學解題中的應用

翟悅涵

? 哈爾濱師范大學教師教育學院

數學學習是認識、理解、掌握和運用知識的過程,旨在為實際生活提供服務.然而,解決問題的創造性活動要求學生的數學思維更加發散和深刻.但是,在教學實踐中,許多學生常常由于思維不夠靈活而在分析、思考和解決問題時遇到困難,例如:不懂得如何分析數學問題,無法建立明確的數量關系,無法形成清晰的解題思路,等等.因此,在初中數學教學中,教師應該基于學生在解題過程中遇到的思維障礙,通過必要的思維訓練,幫助學生疏通解題思路,循序漸進地提高他們的數學解題能力.

1 初中生數學解題思維障礙分析

相比其他學科,數學具有更強的邏輯性和抽象性,這對學生的綜合能力和思維能力提出了更高的要求.然而,在傳統的機械化和重復性訓練中,學生的解題思維往往難以拓展,導致他們在解題時頻繁遇到困難.第一,逆向思維能力薄弱.學生習慣于正向思維,很少運用逆向思維來分析和解決問題.一旦遇到困難,就無從下手.第二,存在思維盲點.由于數學學科的特點,數學問題對學生的思維廣度和深度提出了較高要求.然而,初中生在實際解題中存在很多思維盲點,導致他們在思考和分析問題時會遇到許多障礙.第三,存在思維惰性障礙.數學解題實際上是一種思維活動.但在實際解題中,一些學生常常受到惰性思維的影響,遇到一點困難就停滯不前.在這種思維障礙下,即使遇到關鍵信息,他們也無法深入思考,難以形成明確的解題思路.第四,存在定勢思維障礙.數學學科對學生的思維靈活性和廣度提出了更高要求.然而,在實際解題訓練中,受到“只解此題”教學模式的限制,學生常常表現出定勢思維,難以找到解題的新視角和突破口.同時,在這種定勢思維的影響下,學生還經常陷入解題的誤區,導致出現各種錯誤[1].

2 初中數學解題的基本思維模式

對于數學學科而言,解題思維具有一定的規律.常見的初中數學解題思維主要包括轉化思維、聯想思維、整體思維和逆向思維.其中,轉化思維是指通過改變問題的方向,將未知問題轉化成為熟悉的數學知識或具體、形象的問題.這種思維在數學解題中經常出現,學生需要掌握這種思維才能靈活解決問題.聯想思維是從已知條件、圖形或所求題目等方面聯想到相關的定義、定理或法則,并由此形成解題思路.在解決難題時,聯想思維可以引發靈感,使問題更加清晰.整體思維是指從整體入手,將彼此孤立的問題視為一個整體,通過設元、變形和代入等方式解題.整體思維可以擺脫“單一未知量”的限制,簡化復雜的數學問題,提高解題效率.逆向思維是指改變思考角度,以所求結論作為起點,通過逆向考慮的模式回到已知條件中.這種“倒著干、反向考慮”的模式,即為逆向解題思維.

針對此題,根據增根的定義可知,只有當分式方程的最簡公分母不等于零的時候,分式方程才不會產生增根.但在該分式方程中,最簡公分母(x+2)·(x-2)≠0的x值有很多,無法逐個代入進行求解.針對這一現象,在優化解題時,可引領學生改變思維的角度,從結論出發,以題目所求結論的對立面為出發點,圍繞“會產生增根”展開反向思考,逐漸找出產生增根的k值,即可得到不會產生增根的k值.

將方程兩邊同時乘最簡公分母(x+2)(x-2),得(x-2)2-k=(x+2)2.

只有當(x+2)(x-2)=0時,方程會產生增根.

此時x=2或x=-2.

將x=2,x=-2分別代入(x-2)2-k=(x+2)2中,得k=±16.

即當k=±16時,方程會產生增根.

所以,當k≠±16時,原分式方程不會產生增根.

可見,在解決例1時,轉變了傳統從條件到結論的順序,堅持逆向思維,從結論的反面出發進行思考,最終實現了化繁為簡、化難為易,真正提升了學生的數學解題能力[2].

3 初中數學解題中思維品質培養路徑研究

3.1 合理滲透數學思想

數學概念、公式和定理的產生過程中都蘊含著數學思維和數學思想方法.這些思維和方法通常零散地分布在教材的各個章節中.因此,教師在課堂教學中不能只講授知識點,還要深入挖掘其背后蘊含的數學思想和方法.通過精講和細講,借助數學概念和定理的形成過程以及一些例題,將這些思維和方法傳授給學生.例如,在“有理數加法法則”教學中,可以利用問題串,有意識地滲透分類討論思想、數形結合思想;在“相似三角形性質”教學中,可利用“相似多邊形面積比和相似比的關系”,滲透轉化思想[3].如此,在教師有目的、有意識的引導下,學生在日常學習中就能逐漸掌握常見的數學思想.

3.2 小組合作研討,強化數學思維

為促進學生數學思維的發展,幫助其克服解題思維障礙,在日常解題訓練中,還應給學生提供思考的時間和空間,引領學生以小組合作的方式,圍繞數學問題進行研討.通過小組的思維碰撞,在多個角度思考和探究問題的過程中,不僅加深了學生對數學問題的深度理解,也促進了數學思維的發展.

再如,已知等腰三角形的底和腰長分別是方程x2-6x+8=0的兩個根,求等腰三角形的周長.這一數學問題學生在日常解題中常常出現漏解的現象.鑒于此,以此題為契機,引領學生開展研討,使其在研討的過程中明確“當底邊為2、當底邊為4”兩種解題思路[4].如此,不僅避免了漏解的現象,也在研討的過程中促進了思維的深刻性、廣泛性和靈敏性.

3.3 一題多解,拓展解題思維

在初中數學解題中,為了促進數學思維的發展,積極開展一題多解訓練十分必要.具體來說,一題多解就是聚焦同一題目,引領學生結合不同的數學知識,從不同的角度、不同的層次進行思考、分析,最終從不同的角度完成數學題目的解答.在這一過程中,學生在多角度、多層次的分析中,深刻發現數學的本質,并在多角度的探究中,提升數學思維的深刻性、敏捷性,真正拓展數學解題思維.

例如,如圖1所示,已知正方形ABCD,E是BC邊上的一點,且∠AEF=90°,EF與正方形外角平分線CF相交于點F,求證:AE=EF.

圖1

針對這一幾何問題,教師在培養學生數學思維時,就可采用“一題多解”訓練,引領學生從不同的角度進行思考、分析,尋找多種解題方法.

方法一,構造全等三角形.如圖2所示,在AB邊上取一點G,使得AG=CE,連接EG.如此,構造出全等三角形,并結合題目已知條件,即可證明△AGE≌△ECF,進而得出AE=EF.

圖2

方法二,構造等腰三角形.如圖3所示,連接AC延長至點G,使得CG=CF,連接EG.如此,通過題中已知條件,先證明△ECF≌△ECG,得出∠F=∠G,∠FEC=∠GEC,EG=EF,并借助外角平分線性質,證明△EAG是等腰三角形,再由△ECF≌△ECG,得出AE=EF.

圖3

方法三,構造平行四邊形.如圖4所示,延長AB至點G,使得BG=BE,連接EG,CG.容易證明△ABE≌△CBG,并得出EGCF為平行四邊形,再通過AE=GC,EF=GC,證得AE=EF.

圖4

如此,經過一題多解訓練,學生在多角度的分析和探究中不僅理解了數學的本質問題,也在深度探究中促進了數學思維發展,極大地提升了數學解題能力.

3.4 變式訓練,強化解題思維品質

為了強化初中生的數學解題思維,在日常解題教學中,還應結合相應的題目,積極開展變式訓練,使得學生在“一題多變”的過程中,強化對數學知識的理解,并拓展數學解題思維,提升數學思維的廣泛性和靈活性.例如,求不等式-5a>6的解.針對這一問題,為了強化學生的數學思維訓練,可通過變換條件、問題、結論等方式,展開一系列的變式訓練.

變式1如果x”“<”或“=”).

變式2如果axb,x應該滿足______.

變式3求關于a的不等式(n+3)a>6.

變式4若關于a的不等式3na-2<3n-a的解集為a<2,求n的取值范圍;

若關于a的不等式3na-2<3n-a的解集為a>2,求n的取值范圍.

如此,學生在一系列的變式中,不僅完成了對題目的深度理解,也逐漸拓展了自身的數學思維[5].

4 結束語

綜上所述,鑒于數學學科的特點,解決數學問題,對學生的數學思維水平提出了很高的要求.可以說,學生的思維水平和解題能力息息相關.鑒于此,教師在日常解題教學中,不僅要重視數學解題教學,還應立足學生在解題中面臨的思維障礙,借助必要的解題思維訓練,不斷提升學生的數學思維品質,進而提升其數學解題能力.