運算素養與數學書寫對小學數學成績影響的模型化研究

梁 瑋，于文字，鄭 欣，胡典順

運算素養與數學書寫對小學數學成績影響的模型化研究

梁 瑋1，于文字2，鄭 欣3，胡典順4

（1．華東師范大學 教師教育學院，上海 200062；2．深圳市龍華區教科院附屬小學，廣東 深圳 518110；3．集美大學 師范學院，福建 廈門 361021；4．華中師范大學 數學與統計學學院，湖北 武漢 430079）

運算素養能夠深刻反映學生的數學操作能力和數學思維水平，是基礎教育階段尤為重要的數學素養之一；數學書寫作為數學學習和數學思維的表現形式，一直以來都是常規教學的重要關注點，對于數學學習具有重要意義．通過素養測評、書寫評分和統計分析，借助模型建構，研究3者之間的影響關系，并針對規范數學書寫提出以下建議：端正學生的書寫態度；重視教師的示范作用；強調書寫過程和反思．針對提升運算素養提出以下建議：加強概念教學；追求內涵理解；注重情境創設；重視書寫反思．

運算素養；數學書寫；數學成績；中介效應

1 研究背景

在高速發展的大數據時代，人類的生產和發展離不開數據和信息，對于數據的量和精確程度要求越來越高，從工具角度來看，人們不需要掌握復雜的計算技能，計算工具也發生了質的革新，計算器、計算機似乎已經取代了傳統的運算過程．那么在基礎教育階段，學生是否還要具備運算能力以及需要具備何種程度的運算能力水平？《義務教育數學課程標準（2022年版）》[1]中強調了“運算能力”是作為數學思維的主要表現之一，《普通高中數學課程標準（2017年版）》[2]中將“數學運算”納入學科核心素養，通過運算促進數學思維發展．在以“核心素養為本”的基礎教育新課程改革中，數學運算仍作為中國數學教學大綱中突出強調的三大能力之一，體現了數學學科的基本特質，與其它數學能力互相滲透、互相支持[3]，是解決數學問題的基本手段，是不可或缺的一種數學素養[4]．運算不僅包括程序性知識，還包含認知策略和非結構性知識，既是一種數學操作能力，更是一種數學思維能力[5]．運算素養是在數學學習和應用的過程中逐步形成、訓練和發展的，義務教育階段尤其是小學階段，數學教學的主要任務就是幫助學生較好地掌握最基本的數學知識和基本技能，特別是數的認識與加減乘除[6]．此時是學生對數學的認識由簡單具體到復雜抽象，發生重大認知轉折的時期，需要關注學生在學習過程中的數學交流與表達．數學家華羅庚曾言：“中學生在數學表達上要努力做到‘寫得清楚，說得明白，寫得干凈’．”因此，書寫規范可以作為體現“數學化”過程的重要指標之一，幫助評價學生的邏輯思維和運算能力．

關于運算素養的研究較多，主要關注以下3個方面：一是關注運算素養的概念構建和內涵理解[7–10]，二是聚焦于培養運算素養的教學策略[11–15]，三是針對運算素養的學習評價[16–18]．例如，呂世虎認為數學運算能力是指能夠根據法則和運算律準確地進行運算，并較好地理解運算的算理，尋求合理簡潔運算途徑的能力[8]；陳玉娟提出利用課堂教學提升運算素養發展學生思維[12]；章建躍強調數學運算的“技術成分”，即會算而且知道怎樣算更準更快，這是數學運算素養的基本要求[14]；杭毅、侯正永對初中學生數學運算發展狀況進行了調查研究，得出數學運算水平在六大數學核心素養發展中處于中等水平等結論[17]．總體來看，關于數學運算素養的研究通常融于六大數學核心素養體系之中，單獨的針對性研究并不多，同時對于培養數學運算素養的策略研究大多通過對內涵的解讀和理解，偏向理論層面，缺乏實證研究．

從國內外文獻來看，針對數學書寫的已有研究并不豐富，主要關注以下兩個方面：一是聚焦于數學書寫對于學生數學表達、思維能力等方面的促進作用[19–23]；二是從教學實踐角度培養學生書寫的規范性和強調教師板書的示范性[24–28]．例如，Powell對美國兩個地區中的155名四年級學生進行數學書寫和數學運算能力進行了測量，結果表明數學運算能力與數學書寫具有顯著的相關性[19]；Hwan等人通過學習筆記的寫作活動，發現有助于提高學生的數學學術成就和態度[20]；夏鵬翔等人提出書寫的過程就是對思維整理和歸納的過程[21]；尤良南、吳曉美認為通過數學書寫可以提高課堂實效[25]；張衛星認為有效的數學板書能將編者、教師的思維清晰地展示給學生，從而讓學生領悟知識的重點、難點和關鍵，厘清知識的內在規律及相互間的聯系與區別[29]．總體來看，國內關于數學書寫的研究大多立足于實踐經驗的總結或教學案例，相對較為零散，沒有形成完整系統的研究，少數實證研究關注學生數學書寫的水平，例如，嚴必友、寧連華等人對高中生的數學書寫狀況進行了調查，得出作業書寫規范與數學成績之間有較為復雜關系的結論[30]．

鑒于此，針對數學運算和數學書寫研究缺乏、零碎的研究現狀，研究者旨在通過構建系統的分析和測量框架，探究數學運算和數學書寫各變量之間的作用機制和與數學學業成績的相關分析，希望為運算素養和數學成績的教育實證研究提供新的思路．

2 研究設計

2.1 研究假設和內容

基于上述分析結果，做出如下研究假設，H1：運算素養水平對數學成績有顯著的正向影響；H2：數學書寫規范對數學成績有顯著的正向影響；H3：數學書寫規范在運算素養水平和數學成績之間存在中介效應．根據以上3個假設，提出一個整合的中介調節模型，具體假設模型如圖1．

圖1 數學書寫與運算素養對數學學業成績影響的假設模型

通過編制運算素養試題和建立書寫規范評價框架，對小學生的數學運算水平和書寫規范程度進行測量和分析，利用相關分析和結構方程模型等研究方法探尋學生在運算素養水平和數學書寫規范與數學學業成績之間的影響機制以及數學書寫規范對運算素養和數學學業成績是否存在調節作用，嘗試通過數據分析和模型研究分析數學教育研究中抽象對象之間的復雜關系與結構．

2.2 研究對象

研究對象選取華南地區某市A小學四年級學生，從四年級各班級中隨機抽取154名學生進行運算素養試卷測評、卷面書寫評分和數學學業成績的收集，試卷共發放154份，回收154份，其中有效試卷148份．

2.3 研究工具

2.3.1 運算素養的測量

（1）測評試卷的編制．

為評估學生數學運算素養，研究編制了運算測評試卷．試題設計從數學內容和運算水平兩個維度出發（如圖2），數學內容維度分為“數與代數、圖形與幾何、概率與統計”；運算水平的劃分參考喻平提出的三水平結構[31]．水平一為“知識理解”，主要考查學生對于運算概念、公式、過程的把握；水平二為“知識遷移”，注重考查學生在問題情境下能否邏輯清晰地通過運算解答問題；水平三為“知識創新”，通過設計復雜情境和開放性問題，關注學生的解題思路和選擇的解題方法，旨在探索學生的發散思維和創新能力．

圖2 數學運算素養試題設計框架

運算素養測評卷中的試題改編自《義務教育數學課程標準（2011年版）》的樣題以及PISA2012測評試題，并經過多名一線教師和專家的審讀和修改，初始版本由13道樣題組成．經過對初始版本試卷的試測和信效度檢驗，共剔除了3道試題（題目4、5、9），剩余10道試題，形成測評卷的第二版本，具體試題信息如表1所示．

表1 運算素養測評試卷試題信息

（2）測評試卷的信效度檢驗．

根據正式測試回收的148份數據，首先進行測試卷的內部一致性信度檢驗，結果顯示Cronbach’s系數為0.788，說明該測試卷具有良好的信度．

其次對測評卷進行檢驗和Bartlett球形檢驗，結果顯示運算素養測評卷的=0.788，對應的Bartlett球形檢驗的值小于0.001，表明各題項之間具有共同因素，可以對數據進行因子分析．

運用主成分分析以及最大方差旋轉法，提取特征值大于1的因子，探索性因素分析結果以及碎石圖顯示，共析出4個主成分，具體數據如表2所示．其中成分1包含3道題目，為概率與統計試題；成分2包含5道題目，為圖形與幾何試題；成分3包含4道題目，為數與代數試題，且均處于知識理解水平層面；成分4包含4道題目，為數與代數試題，均為運算水平較高的知識遷移和知識創新，各題項載荷值在0.454以上，表明這些題目與其所屬因子關系較為密切；從公因子方差來看，4個成分的累計貢獻率達到55.286%，各題項對測試卷的解釋均在0.3以上，表明這些因子能夠較好地反映原始變量的主要信息，測試卷效度良好．

表2 旋轉后的“成分矩陣”“貢獻率”和“公因子方差”

（3）測評試卷水平等級的劃分標準．

為了能夠更好地通過試卷得分判斷學生的運算素養水平，對回收的測評卷進行賦分并制定水平劃分標準．以獲得該水平對應題目的所有分值為該水平的最高標準．但是考慮到學生在考試時的種種不可控因素，若學生在答題過程中具有正確的運算步驟和運算思維，也能夠說明學生具有該水平的運算素養，因此根據該水平下得分均值作為最低限額分，具體劃分標準如表3所示．

表3 運算素養水平劃分

2.3.2 數學書寫規范的測量

根據回收的測評試卷，對學生的卷面作答過程進行數學書寫打分，按照如圖3所示的評價指標體系，從正確性、簡潔性、邏輯性和規范性4個方面進行考量和賦分[30]，得出學生數學書寫成績．針對數學書寫評價的巴特利球形檢驗（=0.558）結果顯示，4項指標獨立提供了書寫規范信息，評價結果可靠．

圖3 數學書寫評價體系

基于數學書寫評價體系對學生的試卷卷面情況和解答過程進行評分，為了后續研究中便于比較和分析，根據學生的書寫成績進行水平劃分，按照0～4分為低水平組、5～7分為中水平組、8～10分為高水平組進行書寫規范的分組．

3 研究結果分析

根據試卷測評所得的數據，利用SPSS26.0進行統計分析和模型建構，對測量數據進行描述性統計和中介調節，探究運算素養水平、數學書寫和數學學業成績之間的關系以及彼此之間的內部作用機制．

3.1 描述性統計結果

3.1.1 運算素養水平分布情況

對回收的試卷進行批改和賦分，按照運算素養水平劃分標準對學生進行評價，利用統計軟件進行基本情況的描述分析，得到學生運算素養水平的分布情況，具體結果如表4所示．

表4 運算素養水平分布

根據表4不難發現，有大約18%的學生并未達到運算素養的第一水平，其它3個水平的人數分布相差不大，位于第三水平的學生人數最多．總體來看，位于運算素養低水平的學生在被試學生中仍占較大比重，學生的運算素養層次具有較大差異．

3.1.2 數學書寫水平分布情況

依據數學書寫分組標準對學生的數學書寫進行水平劃分，得到學生數學書寫成績的統計結果和水平分布情況，具體結果如表5所示．

表5 數學書寫水平分布

從表5中可以發現，被試學生整體具有中等及以上的數學書寫水平，學生在卷面答題時均能夠注意到正確性、規范性、簡潔性和邏輯性，只有少部分學生的書寫還處于低水平等級，答題時書寫混亂、表征錯誤．

3.2 相關性分析

為了進一步探究運算素養水平和數學書寫對數學學業成績是否有影響，利用SPSS26.0統計分析軟件對數據進行雙變量相關性檢驗，結果如表6～7所示．

3.2.1 運算素養與數學學業成績之間的相關分析

表6 運算素養與數學學業成績的相關性

注：**在0.01級別（雙尾），相關性顯著（下同）．

3.2.2 數學書寫與數學學業成績之間的相關分析

表7 數學書寫與數學學業成績的相關性

根據表6和表7的分析結果，可以發現運算素養和數學書寫都與學業成績存在密切聯系，對學生的學業成績都具有顯著的正相關影響，即運算素養水平越高的學生和處于數學書寫較高水平組的學生，他/她們的數學學業成績越好．此外，運算素養對學生學業成績具有較高的影響因子．

3.2.3 數學書寫與運算素養之間的相關分析

除了分析運算素養和數學書寫對數學成績的影響，研究還旨在探究數學書寫與運算素養之間是否存在影響機制，因此對兩變量進行相關分析，結果如表8所示．

表8 數學書寫與運算素養的相關性

根據表8的分析結果不難發現，數學書寫與運算素養之間存在顯著正相關，可以利用后續中介模型進行深入挖掘．

3.3 差異性分析

根據上述數據分析可知，運算素養和書寫規范對數學成績具有一定影響，那么不同運算素養水平和不同書寫規范水平的學生是否數學成績也具有較大差異呢？因此，按照對運算素養和書寫規范的水平劃分，對不同水平學生之間的數學成績進行比較．

3.3.1 不同運算素養水平學生的數學學業成績差異性分析

對兩個變量首先進行方差齊性檢驗，再進行方差分析，結果顯示=23.947，顯著性小于0.001，不同運算素養水平組的學生數學成績具有顯著性差異，因此，選擇S-N-K的比較方法進行事后比較，進一步分析哪些組別之間存在差異，結果如表9所示．

表9 不同運算素養水平學生數學學業成績的事后比較

位于水平0、水平1和水平2、3的學生，其數學成績具有顯著差異，因此低水平運算素養學生和中高水平運算素養學生的學業成就存在較大分層．

3.3.2 不同數學書寫水平學生的數學學業成績差異性分析

對兩個變量首先進行方差齊性檢驗，再進行方差分析，結果顯示=19.288，顯著性小于0.001，由結果可得不同數學書寫水平組的學生數學成績也具有顯著性差異．在通過S-N-K比較方法進行事后比較，進一步分析哪些組別之間存在差異，結果如表10所示．

表10 不同數學書寫等級學生數學學業成績的事后比較

由表10可得，3個水平組的學生在數學成績上都具有顯著性差異，因此，可以做出初步推斷：數學書寫是造成成績不均衡的因素之一，通過提升低水平組學生的數學書寫表現，對他們的數學學習可能具有一定的促進作用．

3.4 以數學書寫為中介變量的運算素養對數學學業成績的作用模型

在上述數據分析中，可以判斷出運算素養和數學書寫對數學學業成績具有顯著的正向影響，即模型假設H1和H2已經得到證明．而數學書寫是否能夠作為運算素養和數學學業成績之間的中介變量，即模型假設H3還未得到完整的驗證．因此利用Bootstrap法對采集的數據進行中介效應檢驗，通過SPSS26.0中的Hayes編寫的PROCESS程序進行數據分析，采用PROCESS程序中的模型4進行中介效應檢驗，置信區間的置信度設為95%，模型中設定Bootstrap樣本量為5?000．用Bootstrap方法做中介效應的檢驗，并不是通過值來判斷的，而是根據（BootLLCI和BootULCI）這一區間是否包含0來判斷，不包含0則表示相應的中介效應顯著，包含0則表示相應的效應不顯著[32]，具體的數理模型如圖4所示．

以運算素養為自變量（），數學書寫為中間變量（），數學學業成績為因變量（），依次放入PROCESS模型4中進行中介效應檢驗，檢驗結果如表11所示．

圖4 設定的數理模型

表11 中介效應分析

注：表中系數均為非標準化值．

4 結論與建議

4.1 研究結論

根據上述試卷素養測評、書寫評分和統計軟件的分析結果，得到以下結論．

（1）運算素養對數學學業成績具有正向影響價值．根據研究，運算素養水平越高，學生的數學成績也越高，對于運算素養水平不同的學生，他們的數學成績也具有較大的差異性．此外，運算素養對數學學業成績的總效應值較高，因此教師想要提升學生的數學成績，可以在教學中注重提升學生的數學運算素養．從運算素養水平分布來看，被試學生中大部分都已達到基礎水平，即知識理解層面，但是當試題出現具體的問題情境或開放型問法時，學生的運算過程也會受到認知困難的影響，出現無法選擇合理的運算策略、運算推理偏差等問題．運算是數學的基石，與各個內容領域都密不可分，運算素養的提升應從基礎的算法、算理著手，延伸至在具體問題、不同情境中做出和做到正確的運算決策、運算推理、運算規范．

（2）數學書寫規范對數學學業成績具有正向影響價值．根據數據分析，不同數學書寫水平的學生，數學成績具有顯著的差異性．書寫非常規范的學生，數學成績普遍不低．同時針對抽選的卷面分析可以發現，答題中書寫較為規范的學生，解題時信心充足，會花一些時間組織思路再進行書寫呈現，即使發現錯誤，也可以清晰地順著規范步驟檢驗．而書寫雜亂反復涂改的學生，往往提筆就寫，發現錯誤立馬涂抹，面對復雜的問題會在書寫中逐漸迷失方向，這些學生的解題思路經常是混亂的，對于自己的答案也沒有把握．由此，對于小學數學教師而言，可以從規范書寫作為提高學生數學成績的新思路，通過規范解題過程、正確理解和使用數學符號等措施幫助學生更好地理解知識、解決問題．

（3）數學書寫規范水平在數學運算素養和數學學業成績之間具有中介效應，數學運算素養水平可以影響數學書寫規范程度并在書寫中得到體現，由此對數學學業成績產生積極的間接影響，而數學書寫水平的提升可以幫助學生加深對知識的理解、提升數學思維，并對數學運算素養產生正向的反饋調節．從而，教師需要以數學書寫作為切入點，通過紙面的書寫，在主觀經驗加持下向內探析學生的運算素養和運算能力水平，以便制定出針對性的提升策略．通過保證書寫規范，來間接實現審題等待、思維整理、檢查矯正等要求，進而幫助學生學業成績的提升，保證學生獲得對應素養水平下的最高分數表現．

4.2 思考建議

4.2.1 針對提高數學書寫規范水平的建議

（1）端正學生的書寫態度．內在因素是事物發展的根本原因[30]，小學階段是學生啟蒙和成長的重要環節，規范書寫可以成為培養良好行為習慣的切入點．教師可以通過理論教育和優劣對比，發揮同伴間的影響和榜樣作用，在作業批改環節，有意識地強調諸如豎式計算的算式書寫規范、解決問題中的程序書寫規范、用圖畫圖的規范等，并對書寫美觀簡潔的作業給予表揚和展示，對書寫薄弱的同學提供針對性的輔導和教育．讓學生認識到書寫規范對數學學習的重要意義，從而能夠有意識地重視書寫、提高書寫認知、培養良好的書寫習慣．

（2）重視教師的示范作用．小學教學是學生學習中的基礎工程，小學生具備很強的模仿意愿和模仿能力，教師的示范和榜樣作用對學生未來的學習和成長具有重要意義．教師首先應該規范自身的數學書寫，重視課堂板書的教育意義．許多教師由于現代教育技術的介入，用信息化媒介代替傳統板書，大大減少了教師發揮示范作用的機會，因此教師需要找到現代化技術和傳統板書之間的平衡點．良好的課堂板書設計應體現出書寫的工整性、嚴謹性、合理性，并設計讓學生參與的環節，在教師的熏陶和示范下，建構學生的數學審美．此外，教師還需要注重利用書寫過程還原和建構知識的形成，運用數學符號和語言聯結新知和舊知，勾畫知識鏈條，從而發展學生的數學思維．

（3）強調書寫過程和反思．解題過程可以直接體現學生的數學思維和解題邏輯，教師應注重讓學生寫出書寫依據，提高書寫過程的完整性．同時，注重在書寫過程中融入自我監控，設置學生說題、講題環節，讓學生解釋自己每一步驟的依據是什么，解決了什么問題，碰到了哪些困難，運用了哪些策略與方法，表述方式是否規范，符號運用是否合理，從而實現對書寫過程的交流與反思，在這個過程中不斷矯正自我、強化書寫．

4.2.2 針對提升數學運算素養水平的建議

（1）加強概念教學．“算術”一直在小學數學課程內容中占有重要的地位[33]，學生第一次認識了小數、分數、百分數等，對整數概念的認識也在螺旋式深化，教師在概念教學階段應放慢腳步，增加課時投入，活化教學形式．例如，以“數”為主題開展項目化學習，帶領學生在合作學習中積極思考與探究，充分了解數系的擴充與發展，從而幫助學生充分理解概念的本質，掌握概念的內涵及外延[17]，從內容理解到相應的數學符號和運算規則，使得學生脫離機械計算，真正了解運算的本質．

（2）追求內涵理解．教學要實現從追求理念之新到追求理解內涵之深的轉變[34]，小學階段的運算教學應該注意削枝強干，對算法的要求須建立在算理理解的基礎上，將鞏固學生對基本算理的理解作為首要教學任務，讓學生徹底理解運算規則、程序和原理．此外，教師還要注重學生的練習，鼓勵學生根據題設條件擇取最優運算路徑，培養運算的技巧性與靈活性．并重視錯題分析，透過錯題抓取學生的運算偏差和迷思概念，遵循學生的認知發展規律，在錯題糾正的過程中循序漸進地鞏固強化對算理的理解和內化．

（3）注重情境創設．在運算素養測試卷中設計了具有創新性情境的題目，結果顯示很多學生對于這類型題目都無從下手，而運算素養水平較高的學生能夠從問題情境中準確提煉數學信息和對象．教科書是課程標準的具體化，是教師開展教學活動的主要依據[35]．因此，在教學過程中，教師需要積極運用教材中提供的情境，進行合理改編和創設，讓學生既能盡快領會情境，又能做出合理推斷[36]，將運算的對象、法則、程序融入問題情境中，讓學生在情境解讀的過程中，將具體問題轉化為運算問題，發展數學運算思維，提升數學運算素養．

（4）重視書寫反思．對學生的書寫計算過程和符號解讀實際上是對運算和解題過程的一種反向調節，運算素養也是對數的一種感悟[37]，可以通過讓學生對自我書寫過程的解讀和反思，由符號表征內化到知識遷移，通過直觀經驗和理性思考的有機結合實現對數學運算核心素養的提升．

總之，促進學生的素養水平和學習成績，不僅僅需要對現狀進行測評和數據調查，更需要研究其內部的影響機制和關聯，才能有針對性地提出教學建議和改進措施．在以素養為導向的成績影響研究中構建素養測評模型，框架兼顧小學生數學書寫這一外顯變量，通過檢驗內、外顯變量之間的中介調節作用，使研究更具科學性和可挖掘性．同時構建運算素養和數學書寫的測評框架，使研究具有可操作性．教育研究包含教育心理、教育行為等多個領域，單變量的實證研究結果已經不能滿足現代教育研究的目標，開發多個相關變量、研究其內部作用機制，對提升教學效果和促進素養落實具有重要意義．研究提供的方法和結論實屬拋磚引玉，不足之處，敬請指正．

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Modeling Research on the Influence of Computing Literacy and Mathematical Writing on Primary School Mathematics Performance

LIANG Wei1, YU Wen-zi2, ZHENG Xin3, HU Dian-shun4

(1. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China;2. The Affiliated Primary School of SLHIES, Guangdong Shenzhen 518110, China;3. Normal College, Jimei University, Fujian Xiamen 361021, China;4. School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

Mathematical computing literacy can profoundly reflect students’ mathematical operation ability and mathematical thinking level, and is one of the most important mathematical literacies in the basic education stage; mathematical writing, as a form of expression of mathematical learning and mathematical thinking, has always been an important focus of conventional teaching. It is of great significance to mathematics learning. Through literacy assessment, writing scoring and statistical analysis, with the help of model construction, the relationship between the three is studied, and the following suggestions are put forward for standardizing mathematics writing: correct students’ attitudes towards mathematics writing; attach importance to teachers’ exemplary role; emphasize the writing process and refection. The following suggestions are put forward to improve computing literacy: strengthening concept teaching; pursuing connotation understanding; focusing on situation creation; and paying attention to writing reflection.

computing literacy; mathematical writing; mathematics performance; mediating effect

G622

A

1004–9894（2023）06–0081–07

梁瑋，于文字，鄭欣，等．運算素養與數學書寫對小學數學成績影響的模型化研究[J]．數學教育學報，2023，32（6）：81-87．

2023–08–06

教育部人文社會科學研究規劃基金項目——中小學核心素養測評的模型建構與實證研究（19YJA880012）

梁瑋（1995—），女，江蘇揚州人，博士生，主要從事數學課程與數學教學研究．

[責任編校：周學智、張楠]