三分點阻尼弦的本征解及其性質

摘要：化簡三分點阻尼弦的頻率方程，求得其閉合解，分大阻尼、適中阻尼、小阻尼等3種情況討論解的性質。結果表明 ，與中點阻尼弦相比，三分點阻尼弦具有3個新特性：1）在本征解與阻尼的函數關系上，前者有且僅有1個突變點，而后者有2個突變點；2）在阻尼-頻率關系上，前者的頻率在各阻尼區間內均不受阻尼值影響，而后者的頻率則在小阻尼情況下依賴阻尼；3）對于任意給定阻尼，前者本征解在各阻尼區間內僅1個衰減率，而后者除小阻尼以外，均有2個衰減率。上述性質表明，兩者的動力學特性在質上（而不僅是量上）存在差異，考慮到兩者僅在阻尼位置上有所不同，這一點應予特別留意。

關鍵詞：弦；集中阻尼；復模態

中圖分類號：O302文獻標志碼：A文章編號：1000-582X（2023）06-014-10

The eigen solution and properties of a taut string with concentrated damping at one-third-span

ZHENGGang， LIAOWei， WANGMengli， ZHANGXiaodong

（Co-constructing State Key Laboratory of Mountain Bridge and Tunnel Engineering by Province andMinistry， Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074， P. R . China）

Abstract： A frequency equation of the damping string is simplified in which the damping is located at one third of the string length， and its analytical solution is obtained . The properties of the solution are discussed in three cases： large damping， moderate damping and small damping . The results show that， compared with the taut strings with damping which is located at half of the string length， the taut strings with damping which is located at one third of thestringlengthhasthreenewcharacteristics：1） Inthefunctionalrelationshipbetweentheeigenvaluesand damping， the former has and only has one mutation point， while the latter has two;2） In the damping - frequency relationship， the frequency of the former is not affected by the damping value in each damping interval， while the frequency of the latter is related to the damping;3） For any given damping， the former eigen solution has only one attenuation rate in each damping interval， and the latter has two attenuation rates except for small damping . The above properties show that the dynamic characteristics of the two are different in essence （not only in quantity）. Considering that they differ only in damping position， this should be paid special attention to .

Keywords： string; concentrated damping; hybrid system

在各種激勵下，拉索由于其內阻尼過小易產生大幅振動。因此，橋梁和空間結構工程中常用阻尼器對拉索進行減振[1-3]。為分析拉索-阻尼系統的動力特性，將其簡化為帶有集中阻尼的張緊弦[4-5]（簡稱阻尼弦），并通過數值手段求取近似解，討論其動力特性。在處理工程問題時，此做法取得了顯著成效[6-9]。但對于拉索-阻尼系統的研究，除采用數值方法外，應考慮解析的求解路徑，揭示其一般性質。

阻尼弦的解析求解問題一直受到學界的關注。針對阻尼靠近弦端時的本征問題，得到了弦端小曲率假設（近似）條件下的解析解[10]。文獻[11]利用狄拉克函數，實現了對阻尼弦動力學方程的全區段列式，用數值方法導出頻率方程，并求得數值解。文獻[12]對動力學方程采用文獻[11]的全區段列式，但不再通過數值方法而改用分段求解方式，首次導出單阻尼弦頻率方程的一般形式，得到了與文獻[11]一致的數值本征解。文獻[13]則通過對單阻尼弦動力學方程的分區段列式，導出單阻尼弦頻率方程的另一種形式，該形式本質上與文獻[12]一致，仍采用數值方法討論了本征解的若干重要性質。以上文獻在單阻尼弦本征問題的解析求解方面主要取得2項進展，一是用狄拉克函數實現了動力學方程的全區段列式；二是導出簡化或精確頻率方程，再由數值法求解頻率方程本征解。阻尼弦頻率方程的基本形式均為超越方程，尚無一般化的求解方法。因此，以上文獻對該方程的求解仍采用了數值方法。在探討阻尼弦頻率方程的解析求解方面，文獻[14]求得中點阻尼弦（二分點阻尼弦）頻率方程的閉合解，并討論了解的性質；文中針對三分點阻尼弦的頻率方程進行求解，重點分析其相對于中點阻尼弦出現的新特性。

1問題描述

為把握拉索-阻尼系統的動力特性，將其簡化為帶有集中阻尼的張緊弦 ，如圖1所示[4]。

文獻[11]給出的運動偏微分方程為

式中：T 是索力；m 是單位長度的質量；w（x，t）、6（x – xc ）、x、t、x c 和 c 分別是撓曲函數、狄拉克函數、位置坐標、時間、阻尼位置和阻尼器系數，并且 c 非負，0lt; xc lt; l。

文獻[15]對式（1）所示系統進行無量綱化，得到無量綱的阻尼弦運動方程：

上述無量化過程表明，對于圖1所示阻尼弦系統均可無量綱化，其特點是具有單位長度、單位分布質量密度以及單位張力，其中，0lt; xc lt;1。因此，用無量綱的阻尼弦運動方程式可以簡化物理系統的討論，并采用文獻[15]中的無量綱化逆過程得到對應的物理系統。式（1）（2）中未區分有量綱和無量綱符號。

文獻[14]將式（2）的本征解分為兩類：II 類本征解對應阻尼位置處為本征函數駐點的情況，即阻尼點位移恒為零，弦做無衰減振動；I 類本征解則對應于阻尼位置處不出現本征函數駐點的情況，其頻率方程為

式中，p 為本征值。將式（3）與文獻[12-13]中的頻率方程對比可知，三者本質上是一致的。因 II 類本征解對應于弦作無衰減振動，這種解是常規的，對此不展開討論，重點討論三分點集中阻尼弦 I 類本征解及其性質。

2 Ⅰ類本征解

注意到阻尼弦頻率方程式（3）為超越方程，盡管其解可通過數值算法求得，但對于解析求解尚無一般化的方法，僅在某些特定情況下可能求得解析解，在三分點阻尼的情形下，將該超越方程轉化為可直接求得閉合解的代數方程，以下對此進行討論。

2.1 本征值

將 xc =1/3帶入頻率方程式（3），整理得：

利用雙曲函數的倍角公式，將式（4）化為關于 tanh（p/3）的二次代數方程，即：

注意到式（5）是關于 tanh（p/3）的二次方程，求解該二次方程，再作反雙曲函數計算，整理得：

式（6）（7）即為三分點阻尼弦本征值的閉合解，其中，上標（1）、（2）表示 2 個本征值的編號順序，可將其稱為根序。注意到該式是關于阻尼 c 的分數式的對數函數，存在函數性質突變點：第 1 種是分式的零點，即令分子為 0 的點；第 2 種是分式的極點，即令分母為 0 的點；第 3 種是分式中二次根式的零點，由于文中只討論 c 非負的情況，第 2 種性質突變點不予討論。第 1 種突變點，即 c 等于 2，此時，式（6）中對數函數內分子為 0；第 3 種突變點，即 c 等于 3，當 c 小于 3 時，式（6）（7）兩子式中將出現對非零虛部的復數取對數。因此，阻尼值 c 可根據函數性質突變點分為大阻尼（c gt; 2）、適中阻尼（ 3 lt; c lt; 2）、小阻尼（0 lt; c lt; 3）3 個區間。

以上分析表明，三分點阻尼弦系統本征值存在 2 個函數性質突變點，因此，可分為 3 個區間進行討論，而中點阻尼弦本征值僅存在 1 個函數性質突變點，對數函數內分式的分子存在零點，故阻尼值僅分為 2 個區間。實際上文獻[14]給出的頻率方程本征值的閉合解為

中點阻尼弦和三分點阻尼弦突變點個數的差別是由于后者本征值閉合解中出現二次根式，而出現二次根式是由式（5）的二次方程性質決定的。同時，兩者均具有第一種函數性質突變點，是因為兩者關于阻尼 c 分數式的對數函數中的分式均存在分子等于 0 的情況。

2.2本征函數

文獻[14]給出的 I類解的本征函數表達式為

式中，μ（x-xc ）為單位階躍函數。對于文中所討論的三分點的情形，即 xc = 1/3，本征函數全區段表達式（9）可寫為分區段形式，化簡為

式中，常數 A 為 sech（p/3）/2，且 p 為待求的常數。式（6）（7）中的 p 可表示為復數形式 p = σ + j·ω，j為虛數單位， σ 為本征值實部，-σ 表示系統衰減率；ω 為本征值虛部，表示系統圓頻率，文中將圓頻率皆簡稱為頻率。將復數 p 代入本征函數分段表達式（10）可得到各階本征函數 ? （ x ） 的閉合形式，在一般情況下為復本征函數，對應于復模態。

3I 類本征解的性質

由上一節可知，I 類本征解在大阻尼、適中阻尼、小阻尼3個區間具有不同的函數表達式。本節分區間重點討論系統的頻率和衰減率，對于有0階本征值的情況給出了0階本征函數。

3.1 大阻尼

大阻尼情況下，當 c gt;2時，在本征值 p（1）、p（2）與阻尼的關系式（6）（7）中，前者對數函數內的值恒大于0，后者對數函數內的值恒小于0。由于兩者在復域中的多值特性，可將其化簡為

式中，本征值的階次 k =0，1，2…，整數 s（1）、s（2）=0，±1，±2…。k 與 s（1）、s（2） 的關系為

階次 k 由本征值虛部（即頻率ω）絕對值的大小及正負號決定。按照虛部絕對值從小到大依次對本征值階次 k 進行編號；當出現2個絕對值相等的頻率時，先編負值，后編正值。采用的規則與常規的先編正值，后編負值的做法不同，目的是在討論不同阻尼區間內本征值階次的數學關系時具有簡潔性。

3.1.1 頻率

將本征值式（11）（12）中的虛部記為ωk，利用 k 與 s（1）、s（2） 的關系式（13），可將ωk 寫為

式中，s =0，±1，±2…。式（11）（12）是關于 tanh（p/3）的二次方程式2根所對應的2個子式，其為本征值的閉合形式。頻率一般表達式（14）使得兩本征值虛部的表達式在大阻尼情況下更為緊湊，且 s 取偶數和奇數時分別對應的是式（11）（12）的虛部。按式（13）和式（14）可給出系統各階頻率，表1列出了0～6階頻率，圖2（a）繪出了系統0～6階頻率 ， 圖2（b）為衰減率-阻尼函數。

由表1和圖2（a）可知，在大阻尼情況下，系統存在虛部為0的本征值p0（1），即當式（14）中 s（1）取0時，系統的頻率為0，表明系統的0階運動無振蕩特性。除 0階以外，系統還有1階及以上無窮多階本征值，即這些本征值的虛部ω為3π/2的非零整數倍，其表達式中不顯含阻尼 c。

將文中頻率結果與中點阻尼弦的情況[14]比較：兩者均具有無振蕩運動的0階本征解，即0階頻率成分；兩者頻率的閉合解均不顯含阻尼 c，表明在該區間上系統頻率與阻尼無關。盡管兩者各階頻率在數值上不同，但在該區間含有0階振動以及頻率表達式不顯含阻尼 c，兩者具有內在一致性。

3.1.2 衰減率

將本征值在大阻尼下的閉合解式（11）（12）的實部記為σ（1）和σ（2），系統的衰減率為

式中，衰減率與阻尼的關系如圖2（b）所示。由圖可知，系統存在2個不同的衰減率-σ（1）和-σ（2） ，其中，-σ（1） 對應于頻率3π/2的偶數倍，-σ（2）對應于頻率為3π/2的奇數倍，兩者均隨阻尼值 c 的增大而減小。

與中點阻尼弦的有關性質[14]相比，三分點阻尼弦在大阻尼區間延續了前者的性質，表現出了新的特性：在阻尼-衰減率函數關系上，兩者的衰減率均隨阻尼值 c 的增大而減小；對于任意給定阻尼，前者的所有本征解均對應著1個衰減率，而后者出現2個不同衰減率，2個衰減率對應著2組不同頻率的本征解。

3.1.3 本征函數

將本征值在大阻尼下的閉合解式（11）（12）帶入本征函數分段表達式（10）中可得到各階本征函數的閉合形式，由于僅0階本征函數具有非震蕩的特性，僅討論0階本征函數。對于0階本征函數的情況，式（11）中虛部ω=0，即p0（1）= σ0（1），將其帶入本征函數閉合形式中得到實雙曲正弦函數，為實模態：

此時，常數 A 為 sech（p/3）/2。將上式與二分點阻尼弦的本征函數[14]

對比可知，兩者的0階本征函數都是實雙曲正弦函數的分段函數，但由于阻尼布設位置不同，函數分段點不同。

3.2 適中阻尼

適中阻尼情況下，即當 3lt; c lt;2時，在本征值p（1）、p（2）與阻尼的關系式（6）（7）中，兩對數函數內的值均恒小于0，由對數函數在復域中的多值特性，將其化簡為

式中，本征值的階次 k =0，1，2…，整數 s（1）、s（2）=0，±1，±2…。k 與 s（1）、s（2） 的關系如下：

階次 k 由本征值虛部絕對值的大小與正負號決定：依照虛部絕對值從小到大依此對本征值階次 k 進行編號；在本征值此區間的閉合解式（19）（20）中2個本征值的虛部均相同，即出現重頻的情況，當出現4個絕對值相等的頻率時，先編正值，后編負值，且依照根序（1）（2）（2）（1）為周期進行編號。應特別注意，在適中阻尼區間上出現了重頻的特殊情況，在編號時需考慮根序順序。

3.2.1 頻率

將本征值在適中阻尼區間的閉合解式（19）（20）中的虛部記為ωk，并利用 k 與 s（1）、s（2） 的關系式（21）得ωk：

式中，s =0，±1，±2…。按式（21）和式（22）可得到系統各階頻率，表2列出了前6階頻率，同時，圖3（a）繪制了兩本征值對應的前6階頻率，圖3（b）為衰減率-阻尼函數圖示。

從表2和圖3（a）可知，適中阻尼下系統的頻率為3（1+2s）π/2，不存在頻率為0的情況。與大阻尼的情況相比，頻率呈現出兩點與其不同的特點：一是3π/2偶數倍的頻率全部消失；二是不再有頻率等于0的情況，表明在此區間三分點阻尼弦系統具有振蕩運動特性。此時，系統的頻率表達式中不顯含阻尼 c，表明系統頻率與阻尼無關，再次表現出阻尼不影響系統頻率的性質。與中點阻尼弦的頻率性質[14]相比，兩者在適中阻尼區間下頻率均不顯含阻尼 c。

3.2.2 衰減率

將本征值在適中阻尼的閉合解式（19）（20）的實部記為σ（1）和σ（2），則系統的衰減率為

將式（23）（24）中阻尼與衰減率的關系繪于圖3（b）。由圖可知，系統同樣存在2個衰減率-σ（1） 和-σ（2） ，其中，-σ（1） 隨著阻尼值的增大而增大，-σ（2） 隨著阻尼值的增大而減小。對于系統同一頻率會對應出現2個不同的衰減率，這與大阻尼的情況不同。

與中點阻尼弦有關性質[14]相比，此時三分點阻尼弦出現了新的特性：在阻尼與衰減率的函數關系上，前者的衰減率隨著阻尼值的增大而增大，而三分點阻尼弦存在2個衰減率，-σ（1） 的單調性保留了原有的性質，而-σ（2） 隨著阻尼值的增大而減小。此區間三分點阻尼弦系統會出現同一頻率對應2個衰減率的情況，這既是區別于三分點阻尼弦其他阻尼區間的獨有性質，又是區別于中點阻尼弦的新特性。

3.3 小阻尼

小阻尼情況下，即當0lt; c lt;時，在本征值 p（1）、p（2）與阻尼的關系式（6）（7）中，兩對數函數內皆出現復數，由對數函數在復域中的多值特性，可將其化簡為

式中，本征值的階次 k =0，1，2… ，整數 s（1）、s（2）=0，±1，±2…。k 與 s（1）、s（2） 的關系為

式中，階次 k 由本征值虛部絕對值的大小與正負號決定：依照虛部絕對值從小到大依次對本征值階次 k 進行編號；當出現2個絕對值相等的頻率時，先編正值，后編負值。

3.3.1 頻率

將本征值在小阻尼的閉合解式（22）中的虛部記為ωk，則有：

按式（27）和式（28）（29）可給出系統各階頻率，表3列出了前6階頻率，圖4（a）繪制了兩本征值對應的前6階頻率，圖4（b）為衰減率-阻尼函數。

由表3和圖4（a）可知，小阻尼下系統無0階頻率，表明系統此時具有振蕩運動的特性，這與大阻尼時的情況不同。注意到，本征值式（23）（24）各階頻率ω2 ）的表達中皆含有阻尼 c，表明在該區間，三分點阻尼弦的系統頻率與其阻尼值有關。將上述三分點阻尼弦結果與中點阻尼弦[14]相比，兩者在此區間上皆具有振蕩運動的特性，但在阻尼是否影響系統頻率這一性質上，兩者不一致，前者的系統頻率受到其阻尼值影響，后者不受影響。

綜合3個區間對阻尼-頻率關系的分析可知，中點阻尼弦在對應區間內，其頻率均不受阻尼值影響，而三分點阻尼弦出現了新的頻率性質：在小阻尼區間，頻率依賴于阻尼。

當 c t 0時，系統頻率ω1）和ω 2）為

根據 s（1）和 s（2）的取值可知，式（30）～（31）的2個子式可統一寫為

式中，s =±1，±2，±4，±5，±7…。注意到，s 不能取到±3，±6…±3n 。實際上，當 s 取到3的整數倍時，頻率是 II 類本征解所對應的頻率，這恰恰是 I 類解無法包含的。當阻尼 c 趨于0時，三分點阻尼弦系統的基頻趨于π，其余頻率趨于基頻π的整數倍（但不能取到3的整數倍）。與無阻尼弦頻率相比，前者在 c 趨于0時的頻率與后者固有頻率 asπ/l 相等。

而當阻尼 c 從左趨于3時，系統頻率ω1）和ω 2）為

由式（33）（34）2個子式可以發現，當阻尼值從左趨于時，系統的頻率實際上是3π/2的奇數倍，與3.2節中當阻尼值 c 從右趨近于時的頻率相同，雖然阻尼 c 等于是函數性質突變點，但在該點處系統的頻率還是連續的。

3.3.2 衰減率

將本征值在小阻尼的閉合解式（25）（26）的實部記為σ（1）和σ（2），則系統的衰減率為

將式（35）中阻尼與衰減率的關系繪于圖4（b）。由圖可知，此時2組本征解對應的2個衰減率相同，即僅存在1個衰減率，表明對于給定阻尼，各階運動均具有相同的衰減率。隨著阻尼值增大，衰減率增大。

與中點阻尼弦在該區間下的有關性質[14]相比，三分點阻尼弦延續了前者的性質：對于在此區間任意給定的阻尼 c，兩者均僅有1個衰減率，兩者的衰減率均隨著阻尼值的增大而增大。

3.4阻尼-頻率及阻尼-衰減率函數

文中分析大阻尼、適中阻尼、小阻尼3種情況下系統的動力學性質，結果如圖5所示。

圖中分別繪出了阻尼-頻率及阻尼-衰減率關系曲線。圖 5（a）中，虛線表示本征值 p（1）對應的頻率，點線表示本征值 p（2）對應的頻率，下標為階次；圖5（b）中，虛線與點線分別表示衰減率σ（1）和σ（2）。應特別注意，前三小節給出3種不同排序規則是為了協調3個阻尼區間的階次編號，且小阻尼與適中阻尼階次進行簡單的代數運算即可得到大阻尼下的本征值階次。

4II 類本征解

三分點阻尼弦還存在一類特殊的自由振動，即 II 類本征解。這類解相當于三分點位置恰好為無阻尼自由振動駐點的那一部分本征解，其本征函數在阻尼位置處恒為0，振動不受阻尼的影響，表現為無衰減自由振動。

文獻[15]給出了這類本征解的表達式為

由式（36）和式（37）可知，II 類本征解實際上對應于無阻尼弦第3，6，9…3s 階本征解。

5 結論

根據集中阻尼弦的本征方程，推導出單個阻尼布設于1/3處時系統的本征解，分大阻尼、適中阻尼、小阻尼3個區間對系統的頻率和衰減率進行討論，結果如下。

1）本征值存在2個函數性質突變點，即 c =和 c =2。

2）在頻率方面，大阻尼情況下，系統存在頻率為0的情況，除0階以外的頻率，ω均為3π/2的非零整數倍；與大阻尼不同的是，在適中阻尼區間系統的頻率不再存在頻率為0的情況，且3π/2偶數倍的頻率全部消失；小阻尼下系統同樣無0階頻率，與其他2個區間不同的是，在該區間系統頻率與其阻尼值有關。

3）在衰減率方面，系統存在2個衰減率-σ（1）和-σ（2） ：大阻尼情況下，前者對應頻率3π/2的偶數倍，后者對應頻率為3π/2的奇數倍，兩者均隨阻尼值 c 的增大而減?。辉谶m中阻尼區間，隨著阻尼值的增大 ，前者增大而后者減??；在小阻尼區間兩者相等，同時隨著阻尼值增大，衰減率均在減小。

將上述關于頻率和衰減率的性質與中點阻尼弦作比較，得到三分點阻尼弦的3個新特性：

1）在本征解與阻尼值的關系上，前者僅存在1個性質突變點，而后者則存在2個性質突變點。

2）在阻尼-頻率關系上，前者的頻率在各個阻尼區間內均不受阻尼值的影響，后者的頻率在小阻尼區間內則依賴于阻尼取值。

3）對于任意給定阻尼，前者本征解在各阻尼區間內僅1個衰減率，而后者除小阻尼以外，均具有2個衰減率。

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（編輯陳移峰）