“誤中悟”教學方式的一次有效嘗試

1 內容和內容解析

內容：圖形旋轉的定義及性質.

（1）內容的上下關系

本節內容有重要的地位和廣泛的應用，在教學上起著承上啟下的作用.

承上：學生對圖形變換已經有了一定的認識，初步積累了圖形變換的活動經驗.本課“旋轉”與“平移”“軸對稱”一樣，是圖形變換的又一種方式.

啟下：中心對稱圖形、圓等均是可以由旋轉變換得到的圖形，很多性質定理均源于旋轉的性質，它是后續內容的認知基礎，為解決幾何證明中的線段相等、角相等等提供了添加輔助線的解決方法.

（2）教學重點

旋轉性質的探究、試誤，“悟誤”是本節課的重點.

（3）育人價值

本節內容包含將抽象問題具體化，大問題轉化為小問題的化歸思想；包含“變”與“不變”的辯證思想和數形結合思想.可以培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣；通過數學活動的體驗和不怕試誤的心態，增強對問題的感性認知，在“悟誤”中享受數學學習的樂趣；培養學生幾何直觀和推理能力的數學核心素養，以及樂學、善學和勇于試誤的科學精神.

2 目標和目標解析

（1）了解旋轉的基礎概念，理解旋轉性質及其運用.

（2）在探究旋轉性質的過程中，感悟以幾何基本元素為載體進行探究的方法，感知數形結合思想和由特殊到一般的探索未知的方法.

3 盲點和預設分析

（1）霧點分析

為什么要研究旋轉，旋轉性質的適用條件，旋轉與平移和軸對稱之間的異同都是本節課的“霧”區．

（2）難點分析

學生一般能夠掌握旋轉前后全等部分的對應邊、對應角的等量關系，但是，對結構不明顯的對應點與旋轉中心連接所構成的角等于旋轉角，以及幾何定理綜合運用等問題則很難理解，需要學生具備整體思想、模型思想.因此，本節課的難點是旋轉性質的靈活運用．

（3）誤點預判

“對應點”是一切線段相等和角相等的根源，在幾何圖形中找準“對應點”是一個誤點.

4 教學過程設計

環節1 博學情境

導語：從學生課前搜集的資料中，教師選取了下面兩組進行對比，結合學過的有關知識和已有的經驗，尋找情境中蘊含的數學問題.

（1）對比“平移”與“旋轉”的異同

對比1：俄羅斯方塊游戲，播放動畫1（如圖1）.

問1：請你說說經過哪些變換，可以把圖1①這個“L”形的模塊歸位？

問2：圖1②可以用同樣的方式歸位嗎？

歸納：新增圖形變換——旋轉.

（2）對比旋轉角

對比2：展現兩臺電風扇旋轉動畫2（如圖2）.

問1：對比圖2中的①②，你觀察到了什么？

問2：旋轉的不同之處有哪些？相同之處呢？

（圖2①：繞中心順時針每秒30°.圖2②：繞中心逆時針每秒60°.）

歸納：旋轉方向和旋轉角在變，旋轉中心不變.

問3：除“變與不變”外，你還有什么疑問嗎？

問4：對比圖1中俄羅斯方塊旋轉的過程，你能找到不變的旋轉中心嗎？

悟中分析：通過游戲，引導學生主動回顧已學過的相關知識和已有的數學活動經驗，在游戲中用數學的思維尋找問題，培養生活問題數學化的能力.

環節2 審問疑“霧”

導語：感知旋轉概念，引出課題“圖形的旋轉”.

（1）初識概念

觀察鐘表指針的旋轉過程，將其抽象為數學圖形中的線段和角，讓學生總結出“旋轉”的定義.

問1：觀察鐘表指針的旋轉過程，你認為由指針的旋轉可以抽象出什么幾何圖形？

問2：在這個概念圖中，“某一點”指的是什么？

問3：“旋轉角”又是圖中哪個角？

（2）鞏固概念

利用動畫3“蕩秋千”（如圖3）的旋轉，將生活問題數學化，鞏固旋轉的概念和三要素.

問：你能用旋轉三要素來描述一下“蕩秋千”的場景嗎？怎么描述？

悟中分析：從生活“霧”區出發，基于目標導向，設置不同對比，讓學生自己發現旋轉三要素，激發學生生疑破“霧”的興趣，從數學的視角（形狀、位置、大小、角度、方向等）提出問題、展示問題，教師再引導學生聚焦本課的旋轉概念，答疑解惑.

環節3 慎思試誤

導語：探究一個三角板在旋轉過程中，會有哪些相等的線段和相等的角？

活動：觀察△ABC繞任意點O的旋轉過程.

操作：利用準備好的彩色卡紙，進行旋轉變換作圖.

提示：自定義旋轉三要素，注意標注對應點.

猜想：旋轉中有哪些相等的線段？相等的角？

測量：測量一下你認為相等的線段和相等的角，并思考它們為什么是相等的.

悟中分析：慎思就是要深思且慎取.問過以后還要仔細觀察分析，以數學悟感為基礎，充分發揮好奇心與想象力，大膽試誤，積極尋求有效的問題解決方案，并借助證據和合理推理進行有效論證.這一過程就是參悟的過程，參悟是以悟感為基礎.學生直面“核心問題”，獨立思考，自主探究，直覺猜想，大膽試誤；教師明察“霧”情，聚焦誤點.通過實物感受，參與探究，勇于面對錯誤，體會圖形旋轉的真實過程，培養學生動手實踐和觀察、分析、比較、抽象、概括、表達等能力［1］.

環節4 明辨頓悟

導語：以任意學生繪圖為例，實物展示，如圖4，師生共同猜想、驗證、歸納旋轉的性質.

回答情況（1）：OA=OA′；OB=OB′；OC=OC′.

問1：旋轉過程中，有不變的點嗎？變化的呢？

答1：除點O不變外，其他無數個點都在變.

問2：這無數多個點中，點A與點A′有什么關系？

答2：一組對應點.

問3：旋轉過程中，有多少組對應點？

答3：無數組.

問4：這無數組對應點到點O的距離是什么數量關系？

歸納1：對應點到點O的距離相等.

回答情況（2）：AB=A′B′；BC=B′C′；CA=C′A′.

問5：由此你能歸納出什么結論？

歸納2：旋轉前后的圖形全等.

回答情況（3）：∠AOA′=∠BOB′=∠COC′.

問6：∠AOA′的兩邊（OA，OA′）有什么特征？類似的，∠BOB′的兩邊呢？

答4：∠AOA′的兩邊OA與OA′相等，端點A，A′是一組對應點，點O是旋轉中心；同樣∠BOB′的兩邊OB與OB′相等，端點B，B′也是一組對應點.

問7：∠AOA′，∠BOB′，∠COC′分別叫什么角？

答5：旋轉角.

問8：在旋轉過程中，有多少個這樣的角？

答6：無數個.

問9：它們的共同特征是什么？

答7：度數都等于旋轉角；角的兩邊都是對應點與旋轉中心所連成的線段.

歸納3：對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角.

回答情況（4）：∠BAC=∠B′A′C′；∠ABC=∠A′B′C′；∠ACB=∠A′C′B′.

歸納4：旋轉前后的圖形全等.（注意：三角形全等判定定理的使用.）

總結旋轉的性質：①對應點到旋轉中心的距離相等;②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；③旋轉前后的圖形全等.

悟中分析：從基本元素點、線、角出發，層層引導學生探究旋轉的性質，讓看似雜亂的圖形變換變得有規律，體會“大問化小、小問易找”的轉化思想.同時，考慮到學生對幾何元素的觀察角度不同，預設多種回答情況，以便在課堂上靈活運用.鼓勵學生積極思辯，批判質疑，進行思維碰撞，互相啟迪，對試誤分別展開討論，逐個審誤，合作辨析，參悟原理，獲得發現；再引導學生給出嚴謹的推理論證，獲得性質；最后用符號語言表達出來.其中，教師要參與交流，收集成果，評價激勵，幫助提煉.

環節5 篤行溫焐

例1 如圖5，在正方形ABCD中，E是CB延長線上一點，△ABE經過旋轉后得到△ADF，請按圖回答：（1）旋轉中心是哪一點？（2）經過旋轉，點B與點E分別移動到什么位置？（3）旋轉角是多少度？（4）連接EF，請判斷△AEF的形狀，并說明理由.

例2 如圖6，把邊長為1的正方形EFOG繞與之邊長相等的正方形ABCD的中心O旋轉任意角度，請利用旋轉知識求圖中陰影部分的面積.

悟中分析：通過例題，引導學生進一步歸納旋轉的等量關系和常用的隱藏條件，除原有性質外，還可以挖掘出隱藏的等腰三角形.在學生獲得頓悟后，再精心設計注重基礎性、探究性、實踐性、綜合性的習題，體現有關、有用、有趣.鞏固“誤中悟”的成果，使所悟固化為本領和素養，即“悟中固”;通過探尋“誤之霧”的歸因，探求“悟之固”的途徑，從“霧下誤”到“誤中悟”，再到“悟后悟”，就是“誤中悟”教學方式的主要觀點.

環節6 反思悟道

橫向回顧：

（1）本節課我們探究了什么問題，知道了哪些相等的線段和相等的角？

（2）探究過程中，重點關注了哪些問題？

縱向回顧：

（1）旋轉的學習類比了之前學過的什么內容？

（2）旋轉、軸對稱、平移有何異同？

（3）是否有特殊的旋轉角度？

悟中分析：通過提煉概括本節課的主要內容，探尋其承上啟下的關系，進一步悟過程、悟方法、悟思想、悟結構、悟本質.元認知理論認為，反思性學習就是學習者對自身學習活動的過程，以及過程中所涉及的有關信息、思維、結果等學習特征的反向思考.教師通過重構結構、揭示本質、評價指導，幫助學生反思過程、觸及本質、解構建構［1］.

5 作業設計

綜合運用圖形變換的知識，為自己的家設計一個“家徽”.

6 教學反思

（1）關于“誤中悟”：“誤中悟”教學方式從根源上尊重了學生的想法和成長的必經途徑，讓學生大膽地說出自己的認知，再加以解惑.但由于課堂時間有限，往往一節課完成時間是不確定的.如本課中的例2，學生舉出了4種可行做法，雖然一一解答很費時，但也要盡可能地將每個學生從“誤”到“悟”的過程體現出來.

（2）關于“學校教研”：“誤中悟”教學很容易發現教學中的各類問題，有利于開展校本教研；教師間的互相交流，可以有效幫助教師反思，完善教學設計，有利于教師做好課前準備等.

（3）關于“自我成長”：在“誤”的環節，因為學生思路是發散的，所以可能會出現很多教師認知以外的內容.如本節課中有3次課堂經歷，每次都能從不同學生的不同想法中得到新的“誤和悟”，此時，需要教師有一定的知識儲備和對教材的深度理解；又如“環節4明辨頓悟”中，關于“邊角”關系的測量和關系的生成過程，學生得到了很多除了性質以外的相等關系，這些關系需要教師先接納，在接納的同時，疏導學生的理解，從而引入本節課的重點.

參考文獻：

[1]唐錄義，李巍.“誤中悟”教育方式的實驗探索[J].中國數學教育，2019（21）：43-48.