基于“四個理解”的教學設計與思考

摘要：本文中在章建躍博士提出的“理解數學、理解學生、理解教學、理解技術”的基礎上，對“正多邊形和圓”一課進行教學設計和深入思考，通過深入理解教材，分析學生的認知特點，借助Geogebra，從數學知識發生、發展的過程角度來構建教學設計，引導學生學習.

關鍵詞：正多邊形和圓；四個理解；教學設計

數學教學的關鍵是教師，而理解數學、理解學生、理解教學、理解技術（以下簡稱“四個理解”）是教師專業化發展的基石.但是，在平時的備課中很多教師沒有在“四個理解”上下功夫，而是更多地關注于研究“怎么教”卻忽略了“教什么”，因為對課程內容的理解不夠深入，導致教學設計出現問題.在一次市級初中數學教學現狀調研中，筆者執教了“24.3正多邊形和圓”的公開課，現將本節課的教學設計和思考整理成文予以呈現，供大家探討.

1 基于“四個理解”的教學分析

1.1 基于理解數學的教學內容解析

本節課是在學生已經學習了正多邊形的概念和圓的相關知識之后，進一步利用圓的性質研究正多邊形的相關問題，把圓分成一些相等的弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形．正多邊形的相關概念也與正多邊形的外接圓關系密切，這些知識是正多邊形的畫法和計算的基礎，也是幾何中的基礎知識[1].準確計算簡單正多邊形相關元素之間的數量關系是培養學生幾何直觀和推理能力的重要途徑，還可以讓學生體會“類比”和“特殊到一般”的研究方法.

1.2 基于理解數學的教學目標

（1）了解正多邊形的概念及正多邊形和圓的關系.

（2）理解正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角等概念，會計算簡單正多邊形的邊長、半徑、邊心距、中心角、周長和面積.

1.3 基于理解學生的學情分析

本節課前學生已經學習了正多邊形的概念，深入研究了等邊三角形、正方形的相關知識.但對于正多邊形，學生腦海中還停留在一些具體的正五邊形、正六邊形等邊數較小的圖形上，對邊數趨近于無窮大的正多邊形無限趨近于圓的現象缺乏認識，因此應用圓的有關知識研究正多邊形的問題學生并不能理解.同時正多邊形的相關概念都是通過正多邊形外接圓來認識的，學生很容易混淆.因此，教學中需要借助多媒體畫圖軟件，展示正多邊形邊數無限增大時，正多邊形將無限趨近于圓，揭示正多邊形與圓的內在聯系，體會類比歸納的基本思想.

1.4 基于理解技術的多媒體使用

只要將圓分成一些相等的弧，再依次連接各分點，就可以作出這個圓的內接正多邊形，但是讓學生僅用直尺、圓規等傳統工具等分弧的難度較大.隨著計算機和信息技術的發展，在生產生活中，工藝美術設計、機械制圖也大都采用軟件繪圖，因此，可以考慮課堂上向學生展示用Geogebra等分弧來畫正多邊形，讓學生觀察隨著正多邊形邊數n的增加，正多邊形接近于圓的現象，揭示正多邊形和圓的內在聯系，體會正多邊形相關概念定義的合理性，從而突破難點.

2 基于“四個理解”的過程設計

2.1 復舊孕新，滲透方法

問題1 在前面我們研究了圓的性質，你能說說同弧或等弧所對的弦有什么關系嗎？

追問：在圓中，弦長a、弦心距d、半徑r之間滿足什么數量關系？依據是什么？

問題2 正多邊形和圓都是常見的幾何圖形，它們的聯系非常密切，這一節課我們就利用圓的有關知識來研究正多邊形，首先請回憶一下什么是正多邊形？

追問：各邊都相等的多邊形一定是正多邊形嗎？你能舉例說明嗎？各角都相等的多邊形呢？

2.2 類比歸納，構建新知

問題3 你會畫一個正五邊形嗎？能不能借助圓來畫正五邊形呢？如何說明畫出的圖形一定是正五邊形呢？

追問：如何證明各邊、各角都相等？你能通過同樣方法證明得到的六邊形是正六邊形嗎？

設計意圖：如圖1（1），利用Geogebra展示等分弧、依次連接各分點畫正多邊形的過程，并以正五邊形為例進行證明，幫助學生理清證明的思路.由弧相等可以推出弦相等、圓周角相等，即多邊形各邊相等、各角也相等，得到的五邊形是正五邊形.再演示將圓六等分，連接各分點得到正六邊形，如圖1（2）.

問題4 這樣畫正五邊形的方法同樣可以推廣到正n邊形的情況.大家觀察Geogebra展示，當正多邊形的邊數n不斷增大時，會有什么現象出現？

追問：可以想象一下當正多邊形的邊數n逐漸增大時，正多邊形和它的外接圓有怎樣的關系？

設計意圖：通過Geogebra的動畫展示，隨著正多邊形邊數n的增加，正多邊形越來越趨近于圓，從而使學生理解正多邊形和圓的關系.

教師借助多媒體的動態演示，類比圓的相關概念（圓心、半徑、圓心角），歸納正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距等概念，如圖2.然后通過閱讀教材、同學之間互相提問加深對概念的理解和記憶.

問題5 在圓中，過圓心作弦的垂線，利用垂徑定理和勾股定理可以求解半徑、弦長和弦心距的長.在正多邊形中，中心角、半徑、邊心距和邊長之間又有怎樣的數量關系呢？

2.3 應用舉例，感受新知

引導學生利用正多邊形的相關概念解決實際問題，如教材上的例題中計算亭子地基的周長和面積等.

2.4 課堂小結，梳理新知

問題6 本節課的學習經歷了哪幾個環節？你學到了哪些新的知識？（可以是一個具體的知識點，也可以是你學習到的經驗.）還有什么疑惑？這些知識可以幫助你解決什么問題？

3 教學思考

3.1 理解數學是教好數學的前提

理解教材是當好數學教師的前提，而理解教材的關鍵是理解數學，了解數學概念的背景，把握概念的邏輯基礎，理解內容所反映的思想方法.例如，本節課的知識安排在圓的性質內容之后，以“圓”為載體去研究正多邊形的相關知識，所以教學中需要關注正多邊形和圓的知識的內在聯系，弄清教學內容“是什么”，明確“正多邊形和圓”這一教學內容的知識邏輯.

3.2 理解學生是課堂推進的基本保障

教師在進行教學設計時，需要了解學生的思維規律，把握學生的認知特點，分析學生已經具備的認知經驗和達成教學目標所需要具備的認知基礎，確定已有的基礎和需要達成的目標之間的差異，在此基礎上確定教學難點及突破難點的策略.

3.3 理解教學是教學方案合理性和科學性的保障

數學課堂是有規律的，教師需要理解教學的基本規律，按規律進行教學.這需要教師在理解數學、理解學生的基礎上，有效駕馭課堂，發揮教學智慧，采取合適的教學方法來指導學生學習，使學生的學習更高效.

3.4 理解技術使抽象的數學可操作、可視化

信息技術的運用已經成為世界各國數學課程改革重視的方向.在教學中我們要合理地運用現代信息技術，充分了解信息技術的使用功能，對使用信息技術的目的做到心中有數：不是替代板書，而是為了解決教學上的難點.例如，本節課借助Geogebra直觀地呈現用傳統工具很難做到的等分弧，以及當正多邊形邊數趨近于無窮大時的圖形，幫助學生理解正多邊形和圓的關系.

4 結語

“四個理解”的水平是教師專業化發展水平和育人能力的集中體現，是提高教學質量和效率的決定性因素，也是有效提升學生數學學科素養的必備條件[2].基于“四個理解”的教學設計有利于提高教師的專業水平，教師只有備課時在“四個理解”上做出努力，并落實到日常教學中去，才能使數學育人的目標落到實處.

參考文獻：

[1]陳飛，應雋.基于初中數學核心概念及其思想方法的概念教學設計——以“正多邊形與圓（1）”的實踐為例[J].上海中學數學，2016（11）：46-48.

[2]章建躍.核心素養導向的高中數學教材變革（續1）——《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫[J].中學數學教學參考，2019（19）：6-11.