立足教學(xué)，整體建構(gòu)，啟迪思維

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出，數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課的教學(xué)內(nèi)容置于整體知識(shí)聯(lián)系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系.基于專題教學(xué)既可構(gòu)建知識(shí)的整體性，又能體現(xiàn)邏輯的連貫性，“特殊三角形”復(fù)習(xí)課立足于“教”與“學(xué)”，引導(dǎo)學(xué)生完成知識(shí)整體建構(gòu)，幫助學(xué)生掌握方法的普適性，同時(shí)提升學(xué)生思維的系統(tǒng)性.

關(guān)鍵詞：教與學(xué);整體建構(gòu);深度學(xué)習(xí)

本文中以九年級(jí)一輪復(fù)習(xí)課“特殊三角形”為例，立足于“教”與“學(xué)”，引導(dǎo)學(xué)生完成知識(shí)整體建構(gòu)，啟發(fā)深度學(xué)習(xí)，助力思維品質(zhì)的提升.

1 教學(xué)分析

1.1 教師要從“教”的角度看待教學(xué)的起點(diǎn)與終點(diǎn)

將特殊三角形置于三角形體系中，確認(rèn)知識(shí)的起點(diǎn)（特殊三角形從何而來）、知識(shí)的定位（特殊三角形要解決哪些問題）、知識(shí)的走向（特殊三角形發(fā)展的終點(diǎn)）（如圖1），同時(shí)注重知識(shí)的遷移、思想方法的挖掘等.

1.2 教師要從學(xué)生“學(xué)”的角度確認(rèn)問題的拐點(diǎn)

學(xué)生的發(fā)展是教學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，教師應(yīng)從“學(xué)”的角度看待已有經(jīng)驗(yàn)與新生難點(diǎn).先由學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)自主解決問題，后由教師引領(lǐng)思維向更高層次邁進(jìn).如表1是等腰三角形、直角三角形已有經(jīng)驗(yàn)和新生難點(diǎn)對(duì)比.

2 教學(xué)過程

2.1 基于經(jīng)驗(yàn)，提煉解題技巧

例1 已知一個(gè)等腰三角形ABC.

（1）若其一個(gè)內(nèi)角等于40°，求另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；

（2）若其一個(gè)外角等于40°，求各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；

（3）若∠A=40°，求∠B的度數(shù).

教學(xué)說明：基于學(xué)生的已有知識(shí)，研究特殊三角形可從三角形的主要元素角、邊出發(fā)設(shè)計(jì)題組.教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)解答例1的第（1）（2）問，當(dāng)?shù)妊切蔚囊阎菫殇J角時(shí)，需分為頂角和底角兩種情況討論；當(dāng)已知角為鈍角時(shí)，則僅可為頂角，無需分類.例1的第（3）問在前兩問基礎(chǔ)上難度有所提升，條件角∠A為銳角需分類討論，問題角∠B也需要分類討論.若∠A為頂角，則∠B為底角，即70°.若∠A為底角，則∠B可能為底角，也可能為頂角，當(dāng)∠B為頂角時(shí)，即100°；為底角時(shí)，即40°.綜上所述，∠B的度數(shù)為40°，70°，100°.

追問1：當(dāng)已知角在哪些范圍內(nèi)，涉及分類討論？

教學(xué)說明：通過追問，學(xué)生的思維經(jīng)歷由特殊到一般的過程，體現(xiàn)了解法的普適性.通過題組，學(xué)生較易發(fā)現(xiàn)當(dāng)已知角為銳角時(shí)，需分類；已知角為鈍角時(shí)，只有一解.筆者繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生深入探究，根據(jù)角的分類，若已知角為直角時(shí)，等腰三角形也僅為一解；而有一角為60°的等腰三角形即為等邊三角形，所以也僅為一解.因此可歸納解題經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)?shù)妊切我阎菫?0°、直角、鈍角時(shí)，為一解，其余情況皆要分類討論.

例2 已知一個(gè)等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和4，求其周長(zhǎng)及面積.

追問2：已知一個(gè)直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和4，求斜邊的長(zhǎng).

教學(xué)說明：該題組從特殊三角形的邊出發(fā)設(shè)計(jì)的，例2是關(guān)于等腰三角形邊的分類討論，很多學(xué)生易得到2，2，4和4，4，2兩種結(jié)果的錯(cuò)誤分析，要引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)產(chǎn)生的先后順序分析，等腰三角形屬于三角形，應(yīng)先滿足三角形邊的存在性，因此2，2，4的情況不成立.追問2是關(guān)于直角三角形邊的分類討論，長(zhǎng)為4的邊可為斜邊或較長(zhǎng)直角邊.

2.2 注重歸納，滲透數(shù)學(xué)思想

例3 如圖2，∠A=60°，AB=4，C是射線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，求CB的取值范圍.

教學(xué)說明：例3運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，將問題由特殊三角形遷移至一般三角形中，需考慮“臨界”狀態(tài).如圖3，將“銳角三角形”轉(zhuǎn)化為“直角三角形”，過點(diǎn)B作BC1⊥AD于點(diǎn)C1，BC2⊥AB交AD于點(diǎn)C2，以直角作為臨界值進(jìn)行求解.這說明一般三角形中的問題可以轉(zhuǎn)化為特殊三角形來求解.

例4 在平面直角坐標(biāo)系中有△ABC，滿足AB=AC，∠BAC=90°，已知A（2，0），B（0，1）.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）Q是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△QBC是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

教學(xué)說明：（1）如圖4，用轉(zhuǎn)化的思想，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D，化“斜”為“直”構(gòu)造基本全等模型“一線三直角”；（2）如圖5，等腰三角形PBC分為PB=PC（點(diǎn)P在線段BC的中垂線上，即P1），PB=BC（點(diǎn)P在以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑的圓上，即P2，P3），BC=PC（點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓上，即P4，P5），進(jìn)而形成“兩圓一線”的“軌跡”思想，交軌法可以有效防止漏解；（3） 如圖6，Rt△QBC按直角頂點(diǎn)可分為∠CBQ=90°（點(diǎn)Q在過點(diǎn)B且垂直于BC的直線上，即Q1），∠BCQ=90°（點(diǎn)Q在過點(diǎn)C且垂直于BC的直線上，即Q2），∠BQC=90°（依據(jù)定長(zhǎng)對(duì)定角原理，點(diǎn)Q落在以BC為直徑的圓上，即Q3，Q4），進(jìn)而形成“兩線一圓”的“軌跡”思想.

2.3 總結(jié)提煉，提升思維品質(zhì)

問題1 本節(jié)課學(xué)到了哪些知識(shí)？

問題2 本節(jié)課涉及的數(shù)學(xué)思想有哪些？

教學(xué)說明：?jiǎn)栴}1以例題為載體，意在幫助學(xué)生回憶知識(shí)點(diǎn).例1與例2從特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）的邊、角入手，解題中需注意特殊三角形要先滿足三角形的存在性，所以一般三角形是思維起點(diǎn).再添加角、邊等條件，可將特殊三角形向更特殊的情況遷移，這也為四邊形、圓的學(xué)習(xí)提供研究方向，因?yàn)樗倪呅慰赏ㄟ^分割、補(bǔ)全將其轉(zhuǎn)化為三角形來處理.在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)要點(diǎn)，點(diǎn)連成線，線結(jié)成網(wǎng)，構(gòu)建知識(shí)體系（如圖7）.特殊圖形在后期的學(xué)習(xí)中，被廣泛應(yīng)用于全等、相似、三角函數(shù)、坐標(biāo)系中.筆者引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)，以專題顯性知識(shí)為明線，搭建相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)間的橋梁，建立三角形知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，從而明確知識(shí)從何而來，又將向何而去.

問題2幫助學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思維.在整體建構(gòu)的同時(shí)，也引導(dǎo)學(xué)生挖掘習(xí)題背后的方法、思維這條暗線.例3中一般三角形可“轉(zhuǎn)化”為特殊三角形解答，例4中運(yùn)用“兩圓一線”“兩線一圓”的“軌跡”思想進(jìn)行分類討論.從例3、例4中可提煉出轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想，有效提升學(xué)生思維能力.明暗兩條主線，幫助學(xué)生經(jīng)歷內(nèi)容的整體性、方法的普適性、邏輯的連貫性、思維的系統(tǒng)性，以提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3 教學(xué)反思

當(dāng)下，在大概念、大觀念等教育理念的影響下，在學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的作用下，因整體建構(gòu)能更好地體現(xiàn)知識(shí)的廣度，有效地提升“教”的深度與“學(xué)”的張力，從而越來越多地應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐中，促使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、思想的感悟?qū)崿F(xiàn)螺旋上升.

3.1 立足于教，突顯知識(shí)的整體性

例題設(shè)置時(shí)，要突顯知識(shí)的生長(zhǎng)性，以例題生長(zhǎng)助推思維生長(zhǎng).

本節(jié)課包括三個(gè)部分：基礎(chǔ)例題、典型例題、課堂小結(jié).基礎(chǔ)例題部分教師引導(dǎo)學(xué)生以題目為載體，將知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化、結(jié)構(gòu)化，確定特殊三角形研究方向是從邊、角這些主要元素切入，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)特殊三角形與一般三角形之間的聯(lián)系.典型例題部分引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想，加深學(xué)生的數(shù)學(xué)理解.在例題的講授過程中，應(yīng)以數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系為起點(diǎn)，遷移知識(shí)以便于挖掘思維的深度，把數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)、方法和思想滲透于探究活動(dòng)的每個(gè)環(huán)節(jié).課堂小結(jié)部分引導(dǎo)學(xué)生提煉方法和思維，以幫助學(xué)生把握知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系，加強(qiáng)數(shù)學(xué)方法的普適性和思維的系統(tǒng)性，把例題背后知識(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想揭示出來.

3.2 立足于學(xué)，突顯學(xué)習(xí)的主動(dòng)性

教學(xué)就是要準(zhǔn)確定位和區(qū)分教學(xué)活動(dòng)中教與學(xué)的主導(dǎo)與主體地位，根據(jù)學(xué)情分析和對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解，設(shè)置有效的活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程.因此，教學(xué)的重點(diǎn)需從“學(xué)什么”落到“怎么學(xué)”的問題上，即需要教師設(shè)計(jì)有效的教學(xué)活動(dòng)、提出有效的問題來搭建橋梁，啟發(fā)學(xué)生積極思考.

課堂活動(dòng)要引導(dǎo)學(xué)生邊解題邊聯(lián)想，挖掘題組背后的知識(shí)要點(diǎn)，自主構(gòu)建出三角形思維框架圖，提煉思想方法.事實(shí)證明，以學(xué)定教可以幫助學(xué)生明確思考方向，體現(xiàn)教學(xué)的優(yōu)效.在對(duì)三角形知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行架構(gòu)后，還應(yīng)注重知識(shí)、方法間的聯(lián)系，讓問題環(huán)環(huán)相扣、難度層層遞進(jìn)，再逐個(gè)擊破．

基于對(duì)專題整體建構(gòu)的理解以及學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，在課程目標(biāo)的指引下，教師通過過程探究和問題引領(lǐng)，從學(xué)生“學(xué)”的視角對(duì)章節(jié)整體內(nèi)容進(jìn)行分析、建構(gòu)與設(shè)計(jì)，有助于學(xué)生從整體上把握專題內(nèi)容的布局與特征，明白專題學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，感知學(xué)習(xí)的價(jià)值和意義.整體建構(gòu)對(duì)于構(gòu)建知識(shí)的整體性、掌握方法的普適性、體現(xiàn)邏輯的連貫性、提升思維的系統(tǒng)性至關(guān)重要，有利于把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落到實(shí)處.