在知識(shí)的應(yīng)用過程中培養(yǎng)建模能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在課程目標(biāo)中指出：“數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要從三個(gè)方面著手，即讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.”

義務(wù)教育階段，應(yīng)用意識(shí)是數(shù)學(xué)語言的表現(xiàn)形式之一，教師通過應(yīng)用課的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的過程，逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模的習(xí)慣，形成學(xué)科應(yīng)用意識(shí)，提升綜合實(shí)踐能力.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)片段

數(shù)學(xué)建模是指利用形式化的數(shù)學(xué)語言把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程.在教學(xué)與函數(shù)的應(yīng)用有關(guān)內(nèi)容時(shí)，要結(jié)合具體內(nèi)容，精心設(shè)計(jì)一些能通過建立函數(shù)模型解決的實(shí)際問題，不斷培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，學(xué)生在經(jīng)歷建立函數(shù)模型解決問題的過程中，一方面可以加深對(duì)函數(shù)的理解，另一方面還可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

函數(shù)的學(xué)習(xí)通常經(jīng)歷函數(shù)的概念、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的應(yīng)用三個(gè)環(huán)節(jié)，在函數(shù)的應(yīng)用環(huán)節(jié)，通過對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，建立函數(shù)模型，繼而解決問題.本文中以“反比例函數(shù)的應(yīng)用（第2課時(shí)）”為例，談?wù)勅绾卧谥R(shí)的應(yīng)用過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)建模欲望

情境 公元前3世紀(jì)，古希臘學(xué)者阿基米德發(fā)現(xiàn)了著名的“杠桿原理”：阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂.阿基米德曾豪言：給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬起整個(gè)地球.你能解釋其中的道理嗎？

設(shè)計(jì)意圖：這樣的問題情境設(shè)計(jì)能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，在產(chǎn)生認(rèn)知沖突的過程中激發(fā)學(xué)生探究的欲望.教師引導(dǎo)學(xué)生感受反比例函數(shù)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，感悟?qū)W習(xí)反比例函數(shù)的必要性，一開始學(xué)生可能無法用數(shù)學(xué)語言來解釋這樣的現(xiàn)象，但通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)后恍然大悟，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的成就感.

1.2 問題驅(qū)動(dòng)，感知函數(shù)模型

活動(dòng)1 已知壓力F一定時(shí)，壓強(qiáng)P是受力面積S的反比例函數(shù).小華通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量出某冰面能夠承受的最大壓強(qiáng)P為800 Pa，他想借助于木板安全站立在冰面上，若小華和木板對(duì)冰面的壓力F為560 N，求木板的最小面積是多少？

問題1 題目中有幾個(gè)變量？

問題2 這幾個(gè)變量滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系？寫出函數(shù)表達(dá)式.

問題3 你能利用函數(shù)的性質(zhì)解決活動(dòng)1的問題嗎？

學(xué)生活動(dòng)：對(duì)問題進(jìn)行層層遞進(jìn)式地思考，逐個(gè)擊破.

預(yù)設(shè)答案：（1）題目中有兩個(gè)變量，分別是受力面積和壓強(qiáng)；（2）兩個(gè)變量滿足反比例函數(shù)關(guān)系，函數(shù)關(guān)系式為P=FS;（3）因?yàn)镕一定，且Fgt;0，則P，S也大于0，所以函數(shù)的圖象在第一象限，并且S隨著P的增大而減小.因此可以通過臨界值（極端值）的代入來確定答案.

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)1的設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生感知反比例函數(shù)在物理學(xué)科中的應(yīng)用，感悟利用數(shù)學(xué)知識(shí)跨學(xué)科解決問題的積極意義.通過3個(gè)問題的呈現(xiàn)，教會(huì)學(xué)生解決函數(shù)類應(yīng)用題的一般路徑和方法，養(yǎng)成分析問題和解決問題的習(xí)慣.

活動(dòng)2 一個(gè)密閉的容器中裝有一定質(zhì)量的氣體，密度為ρ，當(dāng)體積擴(kuò)大為原來的3倍時(shí)，則容器中氣體密度為多少？（用含有ρ的式子表示）

問題1 題目中有幾個(gè)變量？

問題2 這幾個(gè)變量滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？嘗試著把它寫下來.

問題3 它們滿足什么函數(shù)關(guān)系？你能根據(jù)這種函數(shù)的性質(zhì)解決活動(dòng)2的問題嗎？

學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立思考，交流發(fā)言.觀察題目中的變量，思考變量之間的關(guān)系，嘗試用反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問題.

預(yù)設(shè)答案：（1）題目中有兩個(gè)變量，分別是密度和體積；（2）這兩個(gè)變量滿足一個(gè)變量變化導(dǎo)致另一個(gè)變量變化，具體來說一個(gè)變量變大，另一個(gè)變量變小；（3）它們滿足反比例函數(shù)關(guān)系，列出反比例函數(shù)關(guān)系式就可以解決問題.

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)2通過分層遞進(jìn)的問題設(shè)計(jì)，由淺入深地帶領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，讓更多的學(xué)生能夠參與到課堂活動(dòng)中來，感知數(shù)學(xué)來源于生活，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的價(jià)值與意義，提升問題解決的成就感.讓學(xué)生切實(shí)感受到函數(shù)是解決現(xiàn)實(shí)世界問題的有效模型.

1.3 能力提升，建構(gòu)應(yīng)用模型

活動(dòng)3 小亮在探究“電壓U一定時(shí)，電流I與電阻R的關(guān)系”時(shí)，做了如下實(shí)驗(yàn)：將滑動(dòng)變阻器接入電路，閉合開關(guān)，不斷改變滑片的位置，并記載電流表的示數(shù)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄如表1所示.

（1）把表1中（R，I）的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，并畫出函數(shù)圖象；

（2）觀察所畫的圖象，求出R與I之間的函數(shù)表達(dá)式；

（3）當(dāng)電阻R為50 Ω時(shí)，此時(shí)的電流是多少？

（4）已知當(dāng)滑動(dòng)變阻器向右移動(dòng)時(shí)，電路中的電阻會(huì)變大，向左移動(dòng)時(shí)，電路中的電阻會(huì)變小，移動(dòng)過程中，小亮看到電流示數(shù)逐漸在變大，問：此時(shí)滑動(dòng)變阻器是在向哪邊進(jìn)行移動(dòng)？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生通過描點(diǎn)、連線感悟反比例函數(shù)的另一種呈現(xiàn)形式（表格），猜想兩個(gè)變量之間滿足反比例函數(shù)關(guān)系，從而建立反比例函數(shù)模型去解決問題.

預(yù)設(shè)答案：（1）（2）略；（3）當(dāng)R=50時(shí)，I=0.6；（4）向左.

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)3的設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生通過對(duì)表格內(nèi)數(shù)據(jù)的分析感知反比例函數(shù)的另一種呈現(xiàn)方式，同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系.學(xué)生在經(jīng)歷“實(shí)際問題—數(shù)學(xué)問題—建立模型—拓展應(yīng)用”的過程中，感悟數(shù)形結(jié)合思想，進(jìn)一步提升用函數(shù)解決問題的能力，理解函數(shù)是解決實(shí)際問題的有力工具.

活動(dòng)4 如圖1，阻力為1 000 N，阻力臂長為0.8 m.設(shè)動(dòng)力為F（單位：N），動(dòng)力臂為L（單位：m）.（圖中杠桿本身所受重力略去不計(jì)，杠桿平衡時(shí)：動(dòng)力×動(dòng)力臂＝阻力×阻力臂.）

（1）填寫表2，并根據(jù)表格寫出動(dòng)力F（N）、動(dòng)力臂L（m）之間的函數(shù)表達(dá)式.

（2）幾位同學(xué)利用以上杠桿玩撬石頭游戲，小明只有500 N的力量，他該選擇動(dòng)力臂為多長的撬棍才能撬動(dòng)這塊大石頭？

（3）當(dāng)動(dòng)力臂長擴(kuò)大到原來的n倍時(shí)，所需動(dòng)力將怎樣變化？

（4）“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬起整個(gè)地球”，這樣的豪言壯語可以實(shí)現(xiàn)嗎？

學(xué)生活動(dòng)：通過填表，進(jìn)一步感知L和F兩個(gè)變量之間的聯(lián)系，分析變量之間滿足的函數(shù)關(guān)系式，從而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式，并利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來解決實(shí)際問題.

預(yù)設(shè)答案：（1）1 000，800，400，200，F(xiàn)=800L；（2）1.6 m；（3）當(dāng)動(dòng)力臂擴(kuò)大到原來的n倍時(shí)，所需動(dòng)力將縮小到原來的1n；（4）這樣的豪言壯語在動(dòng)力臂無限長或者能夠找到一個(gè)合適支點(diǎn)的情況下是可以實(shí)現(xiàn)的.

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)4的設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，養(yǎng)成建立模型求解的習(xí)慣，形成解決實(shí)際問題的一般路徑和方法，提高用函數(shù)解決問題的能力，進(jìn)一步理解函數(shù)是解決實(shí)際問題的有力工具，發(fā)展用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的核心素養(yǎng).

2 基于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)思考

數(shù)學(xué)建模過程主要包括在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計(jì)算求解，最終解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)建模的發(fā)展主要依靠日常教學(xué)的積累，選取合適的數(shù)學(xué)素材進(jìn)行教學(xué)，通過恰當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)，讓學(xué)生深度經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的各個(gè)過程.

2.1 情境引入，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)和提出問題

合適的情境引入，不僅能夠開闊學(xué)生視野、吸引學(xué)生注意力，還能夠極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)教師加以點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角去審視生活中所遇到的問題.

本課時(shí)的教學(xué)以物理學(xué)中的阿基米德“杠桿原理”作為情境，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)并提出現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望，學(xué)生通過問題的自然發(fā)現(xiàn)和提出，既提升了發(fā)現(xiàn)問題的能力，又為下一環(huán)節(jié)的感知模型奠定基礎(chǔ).

2.2 問題驅(qū)動(dòng)，用數(shù)學(xué)的思維分析問題

課堂問題的設(shè)計(jì)與呈現(xiàn)遵循分層遞進(jìn)、分步達(dá)標(biāo)的基本思路，由淺入深設(shè)計(jì)問題串，適時(shí)進(jìn)行追問，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去分析問題.

本課時(shí)的教學(xué)環(huán)節(jié)中，以“題目中有幾個(gè)變量？”“變量之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？”“變量之間滿足什么函數(shù)關(guān)系？”這三個(gè)問題作為研究重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生分析物理量之間的聯(lián)系，學(xué)生自然能夠利用反比例函數(shù)模型來思考和分析.后面的過程則引導(dǎo)學(xué)生分析與整理，先確定變量后再找等量關(guān)系，通過等量關(guān)系構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用函數(shù)工具來分析，為下一環(huán)節(jié)的問題解決奠定方法基礎(chǔ).

2.3 拓展提升，用數(shù)學(xué)的語言解決問題

函數(shù)類應(yīng)用課的教學(xué)，要切實(shí)幫助學(xué)生歸納和總結(jié)好以下四個(gè)問題：（1）什么樣的問題需要借助于函數(shù)來解決？（2）為什么要使用函數(shù)來解決？（3）使用哪類函數(shù)來解決？（4）使用這類函數(shù)解決問題的一般步驟是什么？引領(lǐng)學(xué)生思考如何用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建模型進(jìn)行求解.

本課時(shí)的教學(xué)，教師需要選擇學(xué)生感興趣且貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的教學(xué)資料作為課堂研究的對(duì)象，按以上四個(gè)問題進(jìn)行深度探索，讓學(xué)生養(yǎng)成自主建構(gòu)函數(shù)模型解決問題的習(xí)慣.

3 結(jié)束語

函數(shù)類應(yīng)用課的教學(xué)，教師主要按照“分析變量關(guān)系—建立函數(shù)模型—利用圖象和性質(zhì)求解”的過程引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)利用反比例函數(shù)解決問題的一般思路和方法.在總結(jié)過程中，教師需注重對(duì)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的滲透，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，使之形成邏輯性強(qiáng)、靈活性高的思維，提升用數(shù)學(xué)語言解決實(shí)際問題的能力.