削枝強干，讓幾何教學突顯學段特征

摘要：本文中對于三角形起始課的教學，在小學所學三角形的概念、三角形的分類基礎上，給出三角形的嚴謹定義，并根據三角形邊、角不同的標準對三角形重新分類，同時對三角形的三邊關系進行說理證明.

關鍵詞：三角形；單元教學；學段特征；削枝強干；結構化板書

單元教學起始課是近年來初中數學教研熱點，這類課型的教學除了生成新知，還要向學生傳遞和滲透“研究套路”，讓學生掌握研究一類幾何對象的方法和路徑.本文中以筆者最近在教研組內開設的一節公開課——“三角形”單元教學起始課為例，分享并解讀課例的教學立意，為一線教師提供研討.

1 “三角形”單元教學起始課教學流程

1.1 活動一：三角形的定義及相關概念

筆者先在黑板上畫出一個三角形（如圖1），并標出各頂點的字母A，B，C.

教學組織（師生合作概括三角形的定義）：這是同學們在小學就熟悉的三角形，我們將它表示為“△ABC”，讀作“三角形ABC”.但小學時并沒有給出三角形的定義，大家能否用我們已有的幾何概念（如線段）來概括三角形的定義？

先安排學生獨立思考，然后小組討論，再全班交流.這里概括三角形定義的難點是三條線段“首尾順次相接”，如果缺少這樣的關鍵詞句，再在PPT上出示圖2、圖3這樣的“反例圖形”，引導學生完善三角形的定義.（教師同步進行板書與調整、完善.）

在三角形的定義概括、板書之后，再類比角的表示方法與相關概念，直接講授三角形的表示方法和相關概念（如邊、頂點、內角等），這些相關概念不需要安排學生討論、探究.

鞏固練習：講授完三角形的表示方法及相關概念之后，筆者要求學生找出圖4中的所有三角形，并用符號表示出來，同時指出各個三角形的邊、內角等.并隨機安排學生進行交流.

1.2 活動二：三角形的分類

過渡語：在小學我們就研究過三角形的分類，現在請同學們從三角形的兩個“要素”（邊和角）出發，對三角形進行分類.

教學組織：按角的大小來分類，可將三角形分成銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.這三類三角形教師可用PPT展示出來，暫不深究.按是否有邊相等來分類，可將三角形分為等腰三角形、等邊三角形、三邊都不相等的三角形.這里可提醒學生用“大括號”來歸類這三種類型的三角形.然后，完善成“兩大類”（即等腰三角形與三邊都不等的三角形，其中等邊三角形是等腰三角形的一種特殊情形）.

筆者出示如下的“集合圖”（如圖5），讓學生更加直觀地理解它們之間的包含關系.

鞏固練習：一副三角板（如圖6、圖7）中所包含的兩個三角形都是特殊的三角形，如圖6所示的通常稱為“等腰直角三角形”，你認為這個“稱呼”是基于哪種分類標準來命名的？

教學預設：這道練習源于日常教學工具，會讓學生倍感親切、真實，同時這個“等腰直角三角形”的稱呼又可以加深學生對剛剛研究的三角形不同分類標準的理解.

1.3 活動三：三角形的三邊關系

過渡語：剛剛基于邊、角的不同分類標準，對三角形進行了分類，接下來研究三角形的三邊關系.

教學組織：先安排學生獨立研究，提出“三角形的兩邊之和大于第三邊”“三角形的兩邊之差小于第三邊”等結論，并組織學生運用不等式的變形對這兩個命題進行互相轉化.需要指出的是，小學階段學生就熟悉了三角形三邊之間的大小關系，但并沒有給出嚴謹的推理證明，初中階段要引導學生運用基本事實“兩點之間線段最短”進行說理，進一步強化幾何證明的教學價值.

例題教學：用18 cm的繩子圍成一個等腰三角形.

（1）若圍成的等腰三角形的腰長是底邊長的2倍，求底邊長；

（2）小明發現用這根繩子不能圍成有一條腰長是4 cm的等腰三角形.請判斷“小明的發現”是否正確，并說明理由.

教學組織：第（1）問可以恰當設元，通過引入方程進行求解；第（2）問由“兩邊之和大于第三邊”從而判斷“小明的發現”正確.

在此基礎上，筆者進一步給出變式追問：能否將“小明的發現”改一個字，使得“小明的發現”是錯誤的？（將“腰長”改為“邊長”.）

1.4 活動四：課堂小結及完善板書

小結問題1 本課所學三角形的有關新知識與小學內容相比，有哪些聯系和不同？

小結問題2 根據不同的分類標準，可將三角形進行不同的分類.以等腰三角形為例，再按頂角的大小分類，能分為哪幾類？（頂角分別為銳角、直角、鈍角的等腰三角形.）

小結問題3 在判斷三條線段能否圍成一個三角形時，有的同學發現，比如三條線段的長分別為1，5，3，可以得到1+5gt;3（滿足其中兩邊之和大于第三邊），但這三條線段并不能圍成三角形.你在解決這類問題時，有什么好的經驗嗎？（可以用“兩條較小邊的和必須大于第三邊”來判斷.）

三角形（第1課時）

在師生進行課堂小結的同時，完善本課時的“結構化板書”（如圖8）.

2 教學立意的進一步闡釋

2.1 對話追問，基于問題驅動教學進程

從上文課例的教學流程來看，在每個教學環節，筆者都預設了一段“過渡語”，起到了“問題驅動”的教學效果.在這些問題驅動之下，依次組織學生概括三角形定義以及三角形的相關概念，再研究三角形的分類以及三邊關系.對于重點內容，通過師生對話，以及必要的追問，學生在復述中加深理解.關于例題教學，也可以進行適當的變式，使例題教學成為問題驅動，將更多學生的思維引入到新知運用中.

2.2 削枝強干，使三角形教學更有幾何味

在三角形單元起始課教學中，筆者盡量沒有選編生活情境，主要是考慮到小學、初中的學段特征，小學圖形學習更側重于感性認知，而初中幾何內容的學習主要是以歐氏幾何為背景，也是讓三角形教學更有幾何味的一種教學立意.具體來說，小學就接觸過三角形，但沒有定義三角形，所以開課階段的教學重點是組織學生概括三角形的定義（用“低維概念”——線段來定義“高維概念”——三角形）.小學階段學生也知道“三角形兩邊之和大于第三邊”，但沒有證明，本課的教學重點就是引導學生證明這個“顯然”的結論，“反復”促進學生體會證明的價值（本課之前曾經證明過“對頂角相等”）.

2.3 層次分明，讓結構化板書漸次展開

單元教學配合結構化板書，可以使得單元教學的知識體系、研究路徑得到更形象化的展現.關于結構化板書，需要教師先在備課階段對本課時教學內容進行思維導圖式的梳理，然后結合學程推進，漸次生成結構化板書.關于“漸次生成”，具體來說，就是板書需要伴隨課堂進程有序書寫，有時板書內容要結合學情相機書寫.比如上文課例中，對于教師提出的問題“如何對三角形進行分類”，可能學生先回答的是按“角”分類，則教師書寫板書時就要將按“邊是否相等”的分類進行留白，待后續再對板書進行“補白”書寫.另外，有些結構化示意的“聯接線”在學程推進過程中，也是漸次添加的，甚至有些“聯接線”是在課堂小結階段再補全成一幅完整的、層次分明的結構化板書.