巧借有效問題，落實提質增效

摘要：“雙減”背景下，提質增效顯得尤為重要.教學中，教師應以問題為主線，以發展學生為目標，讓學生通過經歷“獨立思考—自主探究—合作交流”等過程獲得主動獲取知識的能力，提升數學素養，從而達到提質增效的目的.

關鍵詞：提質增效；問題；數學素養

筆者在進行“勾股定理”的教學時，結合學生的興趣點和最近發展區精心設計問題，讓學生在問題的驅動下經歷知識的“再發現”過程，以此提高探究能力，提升課堂教學效益.

1 教學過程

1.1 梳理回顧

問題1 勾股定理的研究對象是什么？教材中是如何研究的？你又想如何研究呢？

師生活動：教師先讓學生“說一說”，然后用多媒體展示經典證法，如趙爽弦圖、青朱出入圖等，讓學生直觀感知勾股定理的驗證過程.接下來，教師讓學生對以上驗證過程進行總結歸納，并提出自己的想法.學生通過深度思考，認為借助圖1位置擺放四個全等的直角三角形，或利用圖2中的面積變換都可以驗證勾股定理.

設計意圖：教學中教師沒有直接呈現結論，而是通過呈現勾股定理的發展史，讓學生順著數學家的思維去理解、體驗，了解勾股定理的歷史與應用，進而讓學生知道數學學習不僅是一種傳承，更是一種發展，以此激發學生的探究熱情.通過對經典證法的分析，學生知道利用圖形的平移、旋轉變換可以驗證勾股定理.而初中生已經掌握了一些圖形變換的方法，在課堂上會出現“試一試”的念頭，因此教師應順應學生的內在發展需求，提供機會讓學生去嘗試、去思考，去驗證，以此培養學生的創新意識，提高創造力.

1.2 探究交流

問題2 如圖3所示的勾股樹中，是以直角三角形三邊為邊向外所作的正方形，從而驗證了勾股定理.除此之外，你還能借助其他圖形來驗證勾股定理嗎？你能驗證結論S1+S2=S3嗎？

師生活動：問題給出后，教師預留時間讓學生猜想、驗證.從學生反饋來看，學生大多從等腰直角三角形、等邊三角形等特殊圖形出發，嘗試從三角形底和高的特殊關系中尋找解決問題的突破口.

生1：我嘗試向外作等腰直角三角形，以原有直角三角形的邊為腰向外作等腰直角三角形（如圖4）.這些等腰直角三角形就相當于圖2中的正方形對折的圖形，所以對應的面積也就是正方形面積的一半，由此可證結論是成立的.

生2：我也是向外作等腰直角三角形，不過我是以原有直角三角形的邊為斜邊向外作等腰直角三角形（如圖5）.此時得到的三角形面積為圖2中相對應的正方形面積的14，同樣可以驗證S1+S2=S3這一結論成立.

師：很好！那么，圖5與圖4是否存在一定的聯系呢？

生3：圖5中向外所作的等腰直角三角形相當于是圖4中向外作的等腰直角三角形的對折.

師：看來以上兩種作法具有異曲同工之妙.你們還有其他好辦法嗎？

生4：我是向外作等邊三角形（如圖6），三個等邊三角形的高分別為32a，32b，32c，它們對應的面積分別為S1=34a2，S2=34b2，S3=34c2，由此可以驗證S1+S2=S3這一結論成立.

師：非常棒！對比以上幾種方法，說說你的發現？

生5：其實圖6也可以看成是向外作等腰三角形，它的高是底邊的32倍，而圖5中向外作的等腰三角形的高是底邊的12倍，也就是說向外作的三個等腰三角形的高是底邊的相同倍數時，都有S1+S2=S3.

在此基礎上，學生又聯想到向外作長方形、平行四邊形，同樣可以驗證該結論是成立的.

師：如果向外作的圖形是半圓形，該結論成立嗎？若成立，如何驗證呢？

生6：直接利用圓的面積公式計算，S1=18πa2，S2=18πb2，S3=18πc2，所以S1+S2=S3.

師：結合以上發現，談談你的感受.

師生活動：教師預留時間讓學生回頭看，并鼓勵學生互動交流.學生通過對比發現，從三角形到四邊形，其實都可以轉化為研究外拓圖形的高與底邊的關系，只要外拓圖形的高與底邊有著相同的倍數，那么該結論就成立.課堂中，教師放手讓學生設計、思考、驗證、交流，通過問題的解決潛移默化地提升了學生分析和解決問題的能力，促進了新知識的再生長，讓學生獲得了可持續發展的學習能力.

設計意圖：啟發和引導學生通過由特殊到一般的轉化，將一個新的問題轉化為熟悉的、已知的問題，激發思維活力，提高解題信心.通過“多法歸一”呈現數學知識間的內在聯系，促進學生認知體系的重構與完善.

1.3 拓展提升

問題3 結合前面的解題經驗，說一說圖7中的S1，S2，S3之間存在怎樣的數量關系？

問題4 如圖8，淺灰色陰影面積S1與深灰色陰影面積S2之間存在怎樣的數量關系？

學生活動：以上兩個問題具有一定的綜合性和探究性，教師鼓勵學生通過合作尋找解決問題的突破口.對于問題3，學生借助圖2的經驗發現，以AB為直徑的大半圓的面積等于以BC和AC為直徑的兩個小半圓的面積之和，又S3的面積等于大半圓的面積減去空白部分面積，而S1與S2的面積之和恰好為兩個小半圓的面積減去空白部分面積，于是推出S1+S2=S3.在問題3的基礎上，對于問題4，學生通過觀察發現空白部分的面積既等于大正方形的面積減去淺灰色陰影部分的面積，又等于兩個小正方形的面積之和減去深灰色陰影部分的面積，又大正方形的面積等于兩個小正方形面積之和，所以有S1=S2.可見，學生運用同樣的方法解決了問題4.

設計意圖：通過重現古希臘數學家希波克拉底的月牙定理，讓學生感受數學文化之美與數學文化的價值，激發學生學習興趣，提升課堂教學效果.同時，通過問題的拓展，發展學生數學思維，培養學生舉一反三的能力.

2 教學思考

2.1 巧設有效問題，激活數學思維

在課堂教學中，教師應結合教學內容和學生學情巧設問題，以此有效吸引學生的注意力，激活思維，從而為構建高效生態課堂奠基.學生的注意力持久性越高，越易引發深度思考，越易激發學生潛能.因此，在實際教學中，教師應重視創設一些符合學生最近發展區的問題情境，從而為學生創造新的學習生長力，提升教學效率.本課探究過程中，教師先從學生已有的“勾股樹”探究經驗出發，通過有效的開放性問題引導學生經歷特殊到一般的研究思路，體會數學知識間的內在聯系，理解數學的本質，感悟數學意蘊，促進課堂效率的提升和學生思維能力的發展.

2.2 踐行讓學引思，促進智慧升華

在初中數學課堂教學中，教師要創造機會讓學生自己學習、自己思考，以此激活課堂，升華學生智慧.例如，在本課教學中，在教師的啟發和引導下，學生分別以直角三角形三邊為邊向外作正方形驗證了勾股定理后，教師并沒有直接給出練習讓學生鞏固強化，而是提供機會讓學生嘗試應用其他方法進行驗證.在原有認知的基礎上，學生通過充分的思考與交流，找到了多種驗證方法，促進了知識和思維的再生長，提高了學生的數學能力.

總之，數學教學不僅要關注學生知識掌握情況，更要關注學生學習能力和思維能力的發展情況，重視引導學生主動參與思考、探究、概括、反思等活動，以此培養學生良好的學習習慣，提高課堂教學品質.