活用轉化思想 提升數學素養

數學解題的過程也可以看成一個轉化的過程，如把復雜的問題簡單化，把抽象的問題具體化，把陌生的問題熟悉化，把實際的問題數學化，等等.因此，在數學教學中加強轉化思想的教學，對提高學生解題能力、提升學生思維品質、落實學生數學素養都有著非常重要的作用.筆者結合具體案例，淺談了轉化思想在數學解題中的應用，以期拋磚引玉，喚起同行對培養學生轉化思想的重視.

1 多元變少元

在面對多元的代數問題時，學生常常因復雜繁難而望而生畏.解決此類問題最常規的方法就是運用代入消元法和加減消元法，通過消元將多元問題轉化為少元乃至一元問題.當然，除了代入消元法和加減消元法外，還可以根據式子的結構特點，探尋元與元之間特殊的關系，采用特殊手段進行消元.不過，無論應用何種方法，其最終目的都是為了消元，以此化繁為簡，靈活解決問題.

例1 若實數a，b滿足a+b2=1，則2a2+4b2的最小值"" .

分析：本題是一個二元問題，根據已知無法求出字母a和b的具體值.根據已知a+b2=1，易得b2=1-a，將其代入2a2+4b2，化簡可得2a2+4b2=2（a-1）2+2.又a=1-b2≤1，故當a=1時，2a2+4b2取最小值，且最小值為2.由此可見，通過代入法將二元問題轉化為一元問題，問題的解決變得容易多了.

例2 已知a≥2，m2-2am+2=0，n2-2an+2=0，則（m-1）2+（n-1）2的最小值是"" .

分析：本題是一個含有參數a的多元問題，乍看上去很難將結論與已知建立聯系，但是仔細觀察已知條件不難發現m2-2am+2=0與n2-2an+2=0的式子結構是完全相同的，易于聯想m，n為一元二次方程x2-2ax+2=0的兩個實數根，于是可將問題轉化為關于字母a的代數式問題，問題迎刃而解.

在解題時既要知曉常規的方法，也要去探尋特殊的手段，這樣運用常規方法難以解題時不妨從特殊入手，運用特殊的手段來轉化，從而將復雜的、陌生的問題轉化為簡單的、熟悉的問題.

2 高次變低次

在解方程問題時經常會遇到一些高次方程，此類方程若不能直接求解就需要根據題目的特點將其轉化為低次方程處理，進而將問題簡單化.

例3 已知關于x的方程x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0，它的其中兩個根為大于2的兩個連續整數，則a="" .

分析：本題是一個關于x的三次方程問題，根據已有經驗可以嘗試將其轉化為關于x的一元二次方程來解決.觀察方程的特點容易發現，方程各項系數之和等于0，故1是原方程的根.于是方程的左邊應該含有因子x-1，提出x-1后，原方程轉化為（x-1）·［x2+（a+18）x+56］=0.根據已知可得，方程x2+（a+18）x+56的其中兩個根為大于2的兩個連續整數，則設方程的兩根分別為x（x＞2）和x+1，于是有x+x+1=-（a+18），x（x+1）=56，解得a=-33，x=7.

例4 已知關于x的方程x4+2x3+（3+k）x2+（2+k）x+2k=0有實數根，且實數根之積為-2，則實數根的平方和為"" .

分析：根據已知可將原方程轉化為（x2+x+2）（x2+x+k）=0，又x2+x+2=0無實數根，所以x2+x+k=0有實數根，這樣就將問題轉化成了關于x的一元二次方程問題，問題輕松獲解.

在解題時，不要急于求成，應善于根據代數式的結構特征將高次問題轉化為低次問題，以此優化解題過程，提高解題效率.

3 次元變主元

因受思維定式的影響，當方程中有兩個字母a或x時，大多學生會習慣性地將x視為主元，將其看成關于x的方程.其實在解題時，有時候若能換個角度思考，反“客”為“主”，往往會獲得柳暗花明的效果.

例5 已知關于x的方程x3+（1-a）x2-2ax+a2=0有且只有一個實數根，則實數a的取值范圍為"" .

分析：該題是一個關于x的三次方程問題，從常規思路出發，最先想到的就是將高次問題轉化為低次問題來解決.但是根據題目的條件，很難實現這一操作，所以在解題時需要另辟蹊徑.因此，不妨將a看成主元，將問題轉化為關于字母a的二次方程來解.于是原方程轉化為a2-（x2+2x）a+x3+x2=0，分解因式得（a-x）（a-x-x2）=0，所以x=a或x2+x-a=0.又原方程僅有一個實數根，故x2+x-a=0無實數根，即Δ=1+4alt;0，所以alt;-14.

其實，在解題時會遇到很多類似例5的問題，所以要敢于打破思維定式的束縛，學會從不同角度進行分析，以此化“一籌莫展”為“豁然開朗”.

4 方程變函數

數學知識是相互聯系的，在解題時要學會抓住它們的內在聯系，從而通過轉化找到解決問題的突破口.例如，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）與二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）有著特殊的內在聯系.當y=0時，二次函數就轉化為了一元二次方程，這樣就可以運用方程的思路解決函數問題.同樣，也可以將一元二次方程看成是函數值為0時二次函數的特殊形式，利用函數的思想方法解決方程問題.這樣借助具體情境進行相互轉化，可以拓寬解題思路，給學生耳目一新的感覺.

例6 求證：方程（x-a）（x-a-b）=1（a，b均為實數）有兩個實根，其中一個實根大于a，一個實根小于a.

分析：本題若直接從方程的角度去思考，則需要對原方程進行變形，運用換元等思路解決問題，過程比較繁瑣.若從函數的角度分析，將方程轉化為二次函數y=（x-a）（x-a-b）-1，則問題就轉化為該二次函數圖象與x軸有兩個交點，且兩點位于點（a，0）的兩側.于是設二次函數y=（x-a）（x-a-b）-1，變形得y=x2-（2a+b）x+a2+ab-1，二次函數的二次項系數為1，故該拋物線開口向上.又當x=a時，y=（a-a）（a-a-b）-1=-1lt;0，故此拋物線與x軸有兩個交點，且位于點（a，0）的兩側.

這樣將方程問題轉化為函數問題，借助函數的性質有效地避免了繁瑣的運算，提升了解題效率.

5 正面變反面

凡事都有正、反兩個方面，數學問題亦是如此.當有些問題從正面思考不易于求解時，不妨從反面出發，運用逆向思維去解決問題，往往會豁然開朗.

例7 若三個二次函數y1=x2+2mx+m2-m，y2=x2+（2m+1）x+m2，y3=2x2-4mx+2m2+m+5中，至少有一個函數的圖象與x軸有交點，求m的取值范圍.

分析：本題若從正面入手需要分多種情況討論，解決起來會非常繁瑣.根據“正難則反”的原則，不妨從反面入手，則就僅有一種可能，即三個函數與x軸均無交點，這樣可以有效地降低思維的難度，提高解題效率.

在解題時，我們習慣于從已知條件出發，運用順向思維將已知與結論建立聯系，但是有時從正面出發可能會遇到各種阻礙，為此在解題時要學會運用逆向思維去思考問題，即從結果出發，通過逆向推理探尋解決問題的突破口.這樣通過順逆的合理轉化，不僅可以提高解題效率，還可以培養思維的靈活性，有利于學生解決問題能力的提升.

6 一般與特殊

特殊具有直觀、易于操作的特點，在解題時，有時候從問題的特性去思考可以達到化繁為簡、化難為易的目的.不過特殊法有時候不具備說服力，難以體現問題的共性特征，為此在解題時，要處理好一般與特殊的關系，通過恰到好處的轉化來提高解題效率.

例8 計算：2 0192+42 0212+2 0172.

分析：本題若直接計算顯然計算量比較大.深入思考不難發現，其實2 019，2 017，2 021這三個數之間存在著一種特殊的關系，為此在解本題時不妨從特殊關系入手，嘗試借助特殊為解題搭建一個一般化的橋梁，從而運用一般方法解決問題.2 019比2 017多2，而比2 021少2，不妨設2 019=x，則2 017=x-2，2 021=x+2.所以，原式=x2+4（x+2）2+（x-2）2=x2+42（x2+4）=12.

例9 已知二次方程x2+2px+2q=0有兩個實數根（p，q為奇數），則方程的根一定是（" ）.

A.奇數" B.偶數" C.分數" D.無理數

分析：本題若直接根據已知條件求解會非常困難，其實本題中無論p，q取何奇數，其結論都是唯一的，為此在解題時不妨利用特值法，令p=3，q=1，代入方程解得x1=-3+7，x2=-3-7，因此原方程的兩根為無理數，故答案為選項D.

特值法是解決一些客觀題的常用方法，將一般問題特殊化可以化繁為簡，有效地提高解題效率.

總之，數學題目是復雜多變的，解題方法也是豐富多彩的，在解題時要善于從不同角度分析，合理應用轉化，以此優化解題過程，提高解題效率.