談課本習題到中考題的轉變

摘要：從課本習題入手，通過對課本習題進行一系列的變式得到中考題，并給出變式的基本方法，讓學生感受變式的過程，激發學生自主探究的熱情，以更好地掌握反比例函數相關題型的規律，從而更好地解決問題.

關鍵詞：課本習題；變式；反比例

在2022年最新頒布的《義務教育數學課程標準》中明確提出，要讓學生經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法與過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本辦法.課本習題在教學中具有范例作用，其結構、條件和結論都具有代表性，具有極強的遷移性和發展性，現行很多中考題大都立足于教材，經過加工編制出反映本質、體現思維的探究性題目.

反比例函數作為中考數學的常考內容，其解析式中的k具有特殊的雙重性，它既具有代數意義，也有幾何意義，是數形結合的完美體現.反比例函數是最基本的初等函數，其圖象是一種特殊的雙曲線，它是學習二次函數等知識的基礎.

通過讓學生經歷教材習題的變式過程，幫助學生在遇到綜合性較強的難題時能夠拆解題目，追本溯源，最終得到正確解答.本文中將結合人教版九年級下冊第二十六章“反比例函數”習題26.1中的第3題第（3）問進行變式.

1 控制變元，體現代數意義

原題 若點（1，3）在反比例函數y=kx的圖象上，則k的值為""" .

此題解法簡單，考查“點在函數圖象上求函數解析式”，將點代入解析式即可得k=3.解法雖簡單，但這其中卻蘊含著方程思想.k=xy是一個k關于x，y的關系式，題設給出的點的坐標實際上是對x，y進行了限定，此時k為一個定值.而k實際上由兩個變元共同決定，若其中一個變元不定，k的值也就無法確定，要想確定k的值或k的取值范圍就需要給出x，y的限定條件.由此我們的變式思路就形成了，可以采取控制變元的方式對題目進行改編.而變元的關系式在初中階段通常通過二元一次方程來體現，而二元一次方程（即直線方程）又與一次函數（其圖象為直線）緊密相連，因此在對變元關系進行限制的時候，可以借助一次函數對變元關系進行描述.由此可以形成以下變式.

1.1 控制一個變元

變式1 若一次函數y=x+2圖象與函數y=kx的圖象交于點（m，3），求k的值.

變式2 若點（1，3）在一次函數y=mx+2的圖象上，點（m，3）在函數y=kx的圖象上，求k的值.

變式3 若點（1，3）在一次函數y=x+2m的圖象上，點（m，3）在函數y=kx的圖象上，求k的值.

變式4 若點（1，3）在一次函數my=x+2的圖象上，點（m，3）在函數y=kx的圖象上，求k的值.

由于一次函數中可以安置變元的位置一共有三個，分別為x，y的系數和常數項，因此可以形成三種不同的表述，但解題方法不變，答案也未曾發生變化.

1.2 控制兩個變元

變式5 （南充市2019年中考題15題）在平面直角坐標系xOy中，點A（3m，2n）在直線y=－x+1上，點B（m，n）在雙曲線y=kx上，則k的取值范圍為""" .

變式6 若點A（1，2n）在直線y=－3mx+1上，點B（m，n）在y=kx上，則k的取值范圍為""" .

變式7 若點A（1，1）在直線2ny=－3mx+1上，點B（m，n）在y=kx上，則k的取值范圍為""" .

變式8 若點A（1，1）在直線y=3mx+2n上，點B（m，n）在y=kx上，則k的取值范圍為""" .

1.3 控制三個變元

以控制兩個變元中的變式5（即南充市2019年中考題）為基礎展開.

變式 在平面直角坐標系xOy中，點A（3m，2n）在直線y=－x+b上，點B（m，n）在y=kx上，則k的取值范圍為""" .

若b為常數，則k的表達式是一個含b的多項式；若b不是常數，則此時需要分類討論求一元二次函數的最值.其他變式可參照前面的變式方式，對參數的位置進行調整，得到不同的題設條件.以上變式在控制變元個數的基礎上，改變了參數的位置，無非是借助一次函數這個掩體構造變元之間的關系或者是將變元的值隱藏其中，這與現代數學方法的符號化特征緊密相連，要求學生能夠去除掩體，抽象出具體的數量關系，在數量關系的基礎上進行計算.

2 層層遞進，展現k的幾何意義

反比例函數中的k的幾何意義，是過每一個分支上任意點向x軸、y軸分別作垂線，垂線與坐標軸圍成的矩形面積.反比例函數在中考中儼然是考查的熱點，不僅考查代數方面的知識，更多的是對圖象、性質與概念的綜合考查，而綜合性較強的題目往往是面積問題.一次函數與反比例函數的結合在代數意義上通常是借助一次函數構造變元關系，而在圖象類題目中通常是一次函數圖象與反比例函數結合形成基本圖形.

中考題中許多復雜的求解問題都是在基礎圖形的演變中得到的，如圖1是課本中關于k的幾何意義的圖形解釋，通過一系列的變化和增加反比例函數的分支以增加試題難度.為了在眾多的變形中找到內在聯系，得到通解通法，需要我們能夠熟練掌握反比例函數圖象的基礎圖形.常見的基礎圖形如圖2所示，有同一函數單支三角形和雙支三角形、不同函數異側雙支三角形和同側雙支三角形模型.

如2021年湖州的中考題便是單支與雙支三角形的結合：

（2021湖州）已知在平面直角坐標系xOy中，點A是反比例函數y=1x（xgt;0）的圖象上的一個動點，連接OA，OA的延長線交反比例函數y=kx（kgt;0，xlt;0）的圖象于點B，過點A作AE垂直于y軸，垂足為E.

（1）如圖3-1，過點B作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，當k=1時，求證：四邊形AEFO是平行四邊形；連接BE；若k=4，求△BOE的面積.

（2）如圖3-2，過點E作EP∥AB，交反比例函數y=kx的圖像于點P，連接OP，試探究：對于確定的實數k，動點A在運動過程中，△POE的面積是否會變化？說明理由.

分析：此題題干中出現了兩個反比例函數，而實際上對于三角形面積的求解我們是利用單支三角形的模型，因此需要由雙支三角形來尋求單支三角形面積求解的相關數據，是單支三角形和雙支三角形模型的綜合應用.

上述題目的變化過程實質上也是通過增加或改變雙曲線的位置來達到構造不同三角形的目的，從而增加了問題難度，形成迷蒙感.從這些基礎圖形中總結歸納出反比例函數中幾何問題的通解通法.利用模型進行教學，學生更加容易掌握不同場景中反比例函數k的幾何意義，并且模型由淺入深循序漸進地增加難度，能夠充分激發學生的思考欲望與自主學習的熱情.通過這樣的思維訓練，學生能夠自己再次增加雙曲線的分支構造不同的模型，進行自主探究.

教育的目的在于將學生培養成為社會需要的人.教育的主體是學生，教學應該讓學生能夠經歷成長，見證成長，完成成長.在課堂上創設情境，讓學生自主探究，倡導生生交流合作，師生積極互動.只有讓學生能夠感受到知識的層層遞進，才能使學生真正掌握知識并且擁有自主變式的能力，才能展現出在面對全新試題時的從容不迫.在變式教學中，教師應準確把握課標要求，有目的、有計劃地引導學生參與變式，并能夠舉一反三，勇于提出自己的想法.