平行線中拐點(diǎn)問(wèn)題的解題突破與探究

摘要：本文中以一道平行線中拐點(diǎn)問(wèn)題為例，對(duì)“拐點(diǎn)在平行線內(nèi)”和“拐點(diǎn)在平行線外”兩種情形展開(kāi)探究，得出解答此類題目主要分為兩個(gè)步驟.首先，判斷拐點(diǎn)與平行線的相對(duì)位置關(guān)系；其次，過(guò)拐點(diǎn)作平行線，引入單拐點(diǎn)模型，利用平行線單拐點(diǎn)結(jié)論求解.同時(shí)，提出了平行線相關(guān)知識(shí)的教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：解題方法；平行線與拐點(diǎn)位置關(guān)系；教學(xué)啟示

1考題解析

考題 （2022年蘇州模擬）

問(wèn)題情景：

如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù).

小明的思路：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，通過(guò)平行線的性質(zhì)來(lái)求∠APC的度數(shù).

（1）按小明思路，易求得∠APC的度數(shù)為""" .

（2）問(wèn)題遷移：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，記∠PAB=α，∠PCD=β，當(dāng)點(diǎn)P在B，D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠APC與α，β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）拓展延伸：在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在B，D兩側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O，B，D三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APC與α，β之間的數(shù)量關(guān)系.

思維突破：本題以線段、角、相交線與平行線為背景命題，讓學(xué)生開(kāi)展幾何探究，屬于動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題.解題的關(guān)鍵在于把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)規(guī)律，采用“化動(dòng)為靜”的策略［1］，構(gòu)建幾何模型，利用性質(zhì)定理求解.下面逐問(wèn)展開(kāi)探究.

1.1 第（1）問(wèn)的探究

第（1）問(wèn)，求∠APC的度數(shù)，問(wèn)題中隱含了平行線拐點(diǎn)問(wèn)題中的“鉛筆”模型，構(gòu)建平行線提取其中“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”關(guān)系即可求得角的度數(shù).

如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB.因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥AB∥CD.故∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°.因?yàn)椤螾AB=130°，∠PCD=120°，所以∠APE=50°，∠CPE=60°.故∠APC=∠APE+∠CPE=110°.

1.2 第（2）問(wèn)的探究

第（2）問(wèn)是平行線拐點(diǎn)問(wèn)題從特殊到一般的探究，本題過(guò)點(diǎn)P構(gòu)建平行線轉(zhuǎn)變成“M”型，提取其中“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”關(guān)系，實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，得出∠APC與α，β之間的關(guān)系.

如圖4，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB交AC于點(diǎn)E.因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥PE∥CD.因此∠APE=α，∠CPE=β.

所以∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.

1.3 第（3）問(wèn)的探究

第（3）問(wèn)，同樣通過(guò)構(gòu)建平行線，將拐點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行線問(wèn)題.本題過(guò)點(diǎn)P構(gòu)建平行線轉(zhuǎn)變成“鷹嘴”型.要找∠APC與α，β之間的關(guān)系，由于P點(diǎn)會(huì)發(fā)生位置變化，可知點(diǎn)P在BD延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)存在一種關(guān)系，在DB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)存在另一種關(guān)系，因此，必須分情況討論利用平行線的性質(zhì)找出角的關(guān)系.

如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥CD交ON于點(diǎn)E.因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥AB∥CD.于是∠CPE=β，∠APE=α.由此可得，∠APC=∠APE-∠CPE=α-β.

如圖6，當(dāng)點(diǎn)P在DB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB交AO于點(diǎn)E.因?yàn)锳B∥DC，所以AB∥PE∥CD.于是∠APE=α.∠CPE=β.由此可得，∠CPA=∠CPE-∠APE=β-α.

2 深入探究

上述考題，涉及了眾多的知識(shí)點(diǎn)和幾何模型，如平行線的性質(zhì)、角的轉(zhuǎn)化、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，以及“鉛筆”模型，考查學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力.其中，第（3）問(wèn)為考題的核心，主要考查學(xué)生對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)規(guī)律的把握，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀素養(yǎng).從本質(zhì)上看，可以將其歸為平行線中的拐點(diǎn)問(wèn)題，下面對(duì)此類型問(wèn)題作進(jìn)一步的深入探究.

2.1 平行線中拐點(diǎn)問(wèn)題歸納

對(duì)于平行線中的拐點(diǎn)問(wèn)題，需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是平行線的對(duì)數(shù)和拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)；二是兩者的相對(duì)位置關(guān)系.特別是平行線與拐點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系，將直接決定圖形的形狀，以及適用的平行線相關(guān)性質(zhì).下面以一組平行線和一個(gè)拐點(diǎn)的相對(duì)關(guān)系為例，分兩類共四種情形加以探究.

（1）一組平行線單拐點(diǎn)在兩條平行線之間

拐點(diǎn)在平行線之間，其圖形會(huì)出現(xiàn)兩種情況，如圖7-1、圖7-2.若AB∥CD，則∠BED與∠B和∠D之間的關(guān)系，可以通過(guò)拐點(diǎn)作其中一條直線的平行線進(jìn)行探究.

對(duì)于圖7-1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB（如圖7-3），因?yàn)锳B∥CD，所以EF∥CD，則∠BED=∠B+∠D.

對(duì)于圖7-2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB（如圖7-4），則∠B+∠D+∠BED=360°，這就是考題第（1）問(wèn)中的模型.

（2）一組平行線單拐點(diǎn)在兩條平行線之外

拐點(diǎn)在平行線之外，其圖形也會(huì)出現(xiàn)兩種情況，如圖8-1、8-2.若AB∥CD，則∠BED與∠B和∠D之間的關(guān)系，可以通過(guò)拐點(diǎn)作其中一條直線的平行線進(jìn)行探究.

對(duì)于圖8-1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則∠B=∠D+∠BED.

如圖8-2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則∠B+∠D-∠BED=180°.

2.2 考題關(guān)聯(lián)探究

平行線拐點(diǎn)問(wèn)題在初中數(shù)學(xué)中十分常見(jiàn)，其中平行線與拐點(diǎn)之間的規(guī)律在解題中應(yīng)用廣泛.不同情形的平行線與拐點(diǎn)位置關(guān)系之間有不同的聯(lián)系，但本質(zhì)上同為平行線性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題.在實(shí)際命題中，通常采用幾何變換的方式，下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步探究.

問(wèn)題 已知直線AB∥CD，M，N分別是AB，CD上的點(diǎn).

（1）若E是AB，CD內(nèi)一點(diǎn).

①如圖9所示，請(qǐng)寫(xiě)出∠BME，∠DNE和∠MEN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②如圖10所示，若∠1=13·∠BME，∠2=13∠DNE，請(qǐng)利用①的結(jié)論探究∠MFN與∠MEN的數(shù)量關(guān)系.

（2）若E是AB，CD外一點(diǎn).

①如圖11所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EMB，∠END和∠MEN之間的數(shù)量關(guān)系；

②如圖12所示，已知∠BMP=14∠EMB，在射線MP上找到點(diǎn)G，使得∠MGN=14∠E，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)G的大致位置，并求出∠ENG∶∠GND的值.

分析：上述四個(gè)小問(wèn)題都屬于平行線單拐點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)則就是平行線單拐點(diǎn)的兩種情形，只需根據(jù)總結(jié)的規(guī)律過(guò)拐點(diǎn)作平行線即可求解.

解：（1）該情形為拐點(diǎn)在平行線內(nèi).

①∠BME+∠DNE+∠MEN=360°.

證明：如圖9-1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB.因?yàn)锳B∥CD，所以EF∥CD，于是∠BME+∠FEM=180°，∠DNE+∠FEN=180°，從而∠BME+∠FEM+∠DNE+∠FEN=180°+180°=360°.

②如圖10-1，過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB.因?yàn)锳B∥CD，所以FG∥CD，則∠1=∠MFG，∠2=∠NFG，于是∠MFN=∠1+∠2.又因?yàn)椤?=13∠BME，∠2=13∠DNE，所以∠BME=3∠1，∠DNE=3∠2.又因?yàn)椤螧ME+∠DNE+∠MEN=360°，所以3∠1+3∠2+∠MEN=360°，即3∠MFN+∠MEN=360°.

（2）①∠EMB，∠END和∠MEN之間的數(shù)量關(guān)系為∠DNE-∠BME=∠MEN.

理由如下：如圖11-1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB.

因?yàn)锳B∥CD，所以EF∥CD.故∠DNE=∠FEN，

∠BME=∠FEM.

又因?yàn)椤螰EN-∠FEM=∠MEN，

所以∠DNE-∠BME=∠MEN.

②點(diǎn)G的大致位置如圖12-1所示.

設(shè)MG與NE交于點(diǎn)Q，NG與AB交于點(diǎn)F，設(shè)∠GMB=α，∠G=β.因?yàn)椤螧MP=14∠EMB，∠G=14∠E，所以∠EMQ=3α，∠E=4β.因?yàn)椤螮QM=∠GQN，所以∠E+∠EMQ=∠G+∠GNQ，即∠GNQ=∠E+∠EMQ-∠G=4β+3α-β=3α+3β.因?yàn)椤?是△GFM的外角，所以∠1=∠G+∠GMF=β+α.又因?yàn)锳B∥CD，所以∠GND=∠1=β+α.

故∠ENG∶∠GND=（3α+3β）∶（β+α）=3∶1.

評(píng)析：上述四個(gè)小問(wèn)題均為平行線拐點(diǎn)探究題，涉及到拐點(diǎn)在平行線內(nèi)和拐點(diǎn)在平行線外兩類情形，問(wèn)題的解析可以分如下兩個(gè)步驟展開(kāi).

第一步：判斷拐點(diǎn)與平行線的相對(duì)位置關(guān)系；

第二步：過(guò)拐點(diǎn)作平行線，引入單拐點(diǎn)模型，利用平行線單拐點(diǎn)結(jié)論求解.

3 教學(xué)建議

上文中以一道平行線拐點(diǎn)考題為例，立足本題的核心問(wèn)題（第3問(wèn)），圍繞拐點(diǎn)在平行線內(nèi)和拐點(diǎn)在平行線外的兩類情形展開(kāi)深度探究并總結(jié)規(guī)律、構(gòu)建模型，這對(duì)深入理解和運(yùn)用平行線性質(zhì)，強(qiáng)化和鞏固平行線知識(shí)有一定的幫助.下面基于教學(xué)實(shí)踐，對(duì)平行線相關(guān)內(nèi)容提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

3.1 關(guān)注知識(shí)，探尋本質(zhì)

上述考題以平行線單拐點(diǎn)問(wèn)題為背景開(kāi)展幾何探究，拐點(diǎn)是平行線問(wèn)題的重要形式，對(duì)掌握和運(yùn)用平行線的性質(zhì)及判定十分重要.以上述考題為例，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)進(jìn)行推導(dǎo).在實(shí)際教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)本身，深入理解并探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)；要?jiǎng)?chuàng)設(shè)相關(guān)的問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生理解平行線的性質(zhì)和判定.以上通過(guò)拐點(diǎn)構(gòu)造平行線來(lái)促進(jìn)學(xué)生理解平行線拐點(diǎn)特性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題，并能夠發(fā)現(xiàn)線段、角、相交線與平行線之間的規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀素養(yǎng).

3.2 歸納模型特征，發(fā)展數(shù)學(xué)思想

在考試中，幾何壓軸題的命題，往往會(huì)綜合眾多幾何模型，考查學(xué)生利用模型對(duì)知識(shí)點(diǎn)融合的能力.因此，解題教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題中已有的模型，通過(guò)觀察和分析提取問(wèn)題中已有模型的特征，充分利用已有模型的性質(zhì)；引導(dǎo)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化和化歸的方法來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題條件，滲透轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法.如上述考題實(shí)則以“平行線和三角形”為背景創(chuàng)設(shè)命題，該問(wèn)題中的模型具有“平行線拐點(diǎn)”特性，包括單拐點(diǎn)在平行線內(nèi)和單拐點(diǎn)在平行線外兩類情形.教學(xué)中要積極引導(dǎo)學(xué)生從已有條件中提取模型，分析和歸納模型的核心特性，并結(jié)合相關(guān)幾何知識(shí)加以證明，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的核心素養(yǎng).

3.3 總結(jié)規(guī)律，積累經(jīng)驗(yàn)

考題第（2）問(wèn)中第②小問(wèn)本質(zhì)上是考查單拐點(diǎn)在平行線外的情形，并且結(jié)合三角形外角性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算，這是問(wèn)題的本質(zhì)特征，也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.上述基于平行線單拐點(diǎn)不同情形問(wèn)題進(jìn)行了深度探究，并立足兩類情形總結(jié)規(guī)律及解題策略，其探究過(guò)程具有一定的參考價(jià)值.教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生基于問(wèn)題本質(zhì)特征開(kāi)展深度分析與探究，總結(jié)解題規(guī)律，積累解題經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］黃玉霞，蔡德清，陳紀(jì)韋華.由何而來(lái)，為何而解，因何而去——一道幾何壓軸題命制的實(shí)踐與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（14）：48-50.