例談換元法妙解“疑難題”

解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這種方法就叫做換元法.換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化或者變為熟悉的形式，簡化計算和推證.

換元法可以化繁瑣為簡單、化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式，在方程、不等式、函數等問題中有著廣泛的應用.

1 換元法在實數計算中的應用

例1 計算：2 0203-2 019×2 020×2 021．

分析：觀察題目數據，顯然數值較大，直接計算非常復雜，但分析發現數據大都在2 020左右，故可以考慮利用換元法.

解析：令2 020=x，則原式=x3-（x-1）x（x+1）＝x3-x3+x＝x，再將代換的數值復原，即2 020.

點評：例1中把一個較大的數作了代換，利用換元法將復雜的數據結構問題轉化為簡單的整式運算，技巧性較強.

變式 計算：12+13+14+……+12 022·1-12-13-14-……-12 021-1-12-13-14-……-12 02212+13+14+……+12 021.

分析：觀察整個式子，發現每個括號里面最多含有2 022個數，少的含有2 020個數，則可考慮設“元”.設12+13+14+……+12 021=x即可順利求解.

2 換元法在整式求值中的應用

例2 已知實數x，y滿足x+y＝4，試求代數式x2+y2的最小值．

解析：（均值換元法）由x+y＝4，得x與y的均值為2，所以可設x＝2+t，y＝2-t，再代入原式換元得x2+y2＝（2+t）2+（2-t）2＝2t2+8≥8，故x2+y2的最小值為8.

點評：本題的換元沒有明顯的特征，但是在審題過程中可以發現變化中的不變情況，即x與y的和始終不發生變化，故可以考慮使用“元”來表示這兩個變數，從而建立不等關系，確定最小值.

變式 已知△ABC的三邊長為a，b，c，滿足b+c＝8，bc＝a2-8a+32，請判斷△ABC的形狀.

分析：觀察題干，分析特征，找到變化的b，c，發現不變的情況“b與c的和”，從而可設b＝4+t，c＝4-t，再代入代數式中利用非負數的性質求解即可.

3 換元法在因式分解中的應用

例3 對多項式（x2+2x+3）（x2+2x-1）+4進行因式分解．

解析：觀察多項式，發現相乘的兩個多項式存在共同點，即都含有x2+2x，故可設x2+2x＝y，則原式＝（y+3）（y-1）+4＝y2+2y+1＝（y+1）2，再將代換的式子還原，即可得原式=（x+1）4.

點評：這類換元法也稱為“局部換元法”.分析問題時要注意式子局部特征，這樣處理往往將原式中的字母完全替換掉，減少多項式次數，便于分解.

變式 請用換元法對多項式（9x2-6x+3）·（9x2-6x-1）+4進行因式分解．

分析：很容易發現其問題結構中都有多項式9x2-6x，故可設9x2-6x＝y來進行替換解答．

4 換元法在無理方程中的應用

例4 “通過等價變換，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數學學習中解決問題的基本思維方式，例如：解方程x-x＝0，就可以利用該思維方式，設x＝y，將原方程轉化為y2-y＝0，得到關于y的一元二次方程，解出y，再求x，這種方法又叫“換元法”．請你用這種思維方式和換元法解決下面的問題．解方程：x2+2x+4x2+2x-5＝0．

解析：根據材料分析可設x2+2x＝y，得x2+2x＝y2，則原方程可變為y2+4y-5＝0，從而將無理方程轉化為整式方程，解關于y的一元二次方程得y1=-5，y2=1，需注意y的取值范圍是y≥0，最終得原方程的解為x1=2-1，x2=-2-1.

點評：對于無理方程，初中生解答起來非常困難，甚至可以說超出了他們的解題能力.

解決此類問題主要從方程中根號內的式子入手，分析根號內和根號外的式子是相同還是具有倍數關系，從而將二次根式作為“元”進行替換，再運算即可.

變式 解方程：x2+3x-x2+3x-2=0．

分析：根據方程中二次根式的特點，設x2+3x＝y，把原方程轉化為關于y的一元二次方程，注意y的取值范圍是y≥0．

5 換元法在方程組中的應用

例5 已知實數x，y滿足5x2y2+2x+2y=133，x+y4+2x2y2=51，試求x2+y2的值．

解析：例5在問題結構上存在多個特點，即都含有xy和x+y，故可設xy＝a，x+y＝b，

代入原方程組中得關于a，b的方程組，

從而可解得b＝4，a＝±5，即可求出x2+y2的值為6或26．

本題還可設x2y2=m，x+y=n進行求解，

在解答的過程中可以對比分析這兩種方法哪一種更簡捷.

點評：

單純根據式子特點直接換元有時并不能解決問題，因此需要根據具體問題拓寬思路，轉變觀念，

多方位分析其特征進行“換元”.同時，通過一題多解，提升解題能力，培養發散思維.

變式 若關于x，y的方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2的解為x=10，y=6，求關于m，n的方程組

5a1（m-3）+3b1（n+2）=c1，5a2（m-3）+3b2（n+2）=c2

的解．

分析：觀察問題結構，和已知方程組進行對比，將它們轉化為形式一樣的方程組后，發現僅靠相同多項式的代換難以完成任務.因此需轉變思想，設5（m-3）＝x，3（n+2）＝y，則將所求方程組可轉化為a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c1，根據題意可以直接寫出其解為

x=10，y=6，即

5（m-3）=10，3（n+2）=6，從而快速得到答案.

6 換元法在分式方程中的應用

例6 解分式方程：2xx-1+x-12x+2＝0．

分析：本題可按照常規解法，將分式方程化為整式方程進行解答，但解答過程中發現計算仍比較復雜.再仔細觀察問題結構，

發現xx-1和x-1x恰好互為相反數，故可考慮使用換元法.

解析：設x-1x＝y，則xx-1=1y，原方程可變為2y+12y+2＝0，兩邊同乘2y，得y2+4y+4＝0，從而將分式方程轉化為解關于y的一元二次方程，即可迅速得到答案，最終原分式方程的解為x=13.

點評：解答此類問題關鍵是要分析分式間分子和分母的關系，從而判斷出特征，再利用換元法轉化為整式方程即可求解.

變式 解分式方程：2x2+1x-2x2x2+1＝1．

分析：根據兩個分式的結構特點，可設2x2+1x＝y，則原方程可化為y-2y＝1即可求解.

7 換元法和其他知識點的融合應用

例7 關于x的方程x2-2|x|+2＝m恰好有三個不相等的實數根，求m的值．

解析：本題可利用數形結合法，將求方程的解轉化為求函數圖象交點的問題.設y1＝x2-2|x|+2，y＝m，原方程有三個不相等的實數解，則y1，y的圖象有三個交點，如圖1可用圖象快速求得m的值為2．

點評：此類已知含參數的方程的實根個數問題，通常轉化為兩個函數圖象的交點問題進行求解，根據題意畫出圖象是解答此類問題的關鍵.

變式 若方程|x2-6x|-a＝0有四個不相等的實數根，試求實數a的取值范圍．

解析：將原方程進行變形，得a＝|x2-6x|.令y1=a，y2=|x2-6x|，作出y2＝|x2-6x|的圖象（如圖2）.由圖象可知，要使方程|x2-6x|-a＝0有四個不相等實數根，則直線y1=a與y2的圖象需有4個交點，

則0＜a＜9．

綜上所述，我們發現數學教學中巧妙地運用換元法來解題，不僅能讓課堂教學變得更加生動，提高解題速度，還能激發學生學習數學的興趣，提升數學核心素養.