如何引導學生多角度探究二次函數綜合題

數學典型問題的求解，需要考慮與此相關的問題。筆者結合二次函數復習課，引導學生充分運用分類討論思想、數形結合思想，多角度分析，多知識點交融，講述思路分析，拓展探究的過程。由淺入深，由易到難，層層推進，訓練學生思維。

問題提出：在平面直角坐標系中，二次函數y＝－x2－x＋2的圖象與x軸交于A（－3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C，點P是直線AC上方的拋物線上一動點。

（1）過點P作PM⊥x軸于點M，交AC于點Q，求線段PQ的最大值；

（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點D，使得△ACD為等腰三角形？

（3）在拋物線對稱軸上是否存在一點E，使得∠ACE為=90°？

分析（1）：設點P的坐標，用含有字母的代數式表示PQ的長度，求出PQ的最大值即可。在教學中與線段最值問題相關的，可以引導學生探究周長和面積最值問題。

拓展探究1：在（1）的條件下，過點P作PH⊥AC于點H，如何求△PHQ周長的最大值？

拓展探究2：是否存在點P，使△APC的面積最大呢？課堂上通過相關問題的研究，引導學生總結周長和面積的最值問題實質是線段的最值問題。

分析（2）：邊AC確定，按照邊的相等關系分類：AC=AD、CA=CD、DA=DC。通過“兩圓一線”的基本方法即可找到點D的軌跡，讓學生實現對知識本質的理解。

解法1：幾何法

當AC=AD時，點D在以點A為圓心，AC長為半徑的圓上，此時AD=AC=[13]，求得點D1（-1，[3]），D2（-1，[?3]）.

當CA=CD時，點D在以點C為圓心，AC長為半徑的圓上，構造直角三角形，求得D3（-1，[2+23]），D4（-1，[2?23]）。

當DA=DC時，點D在線段AC的垂直平分線上 ，所以D5[（?1，14）] "。

進一步讓學生思考：能否在平面直角坐標系中用點坐標表示線段進行計算？

解法2：代數法

設D（-1，m），則AD=[4+m2]，CD=[1+（m?2）2] ， AC= [13] ，根據條件分別列出方程求解即可。下面引導學生思考可不可以有更特殊的情況呢？

拓展探究3：是否存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？我們可以通過點Q的特征構造正方形找出相應的四個點。

分析（3）：點E是過點C且垂直AC的直線與對稱軸的交點。此時，受上面問題的啟發，學生聯想到應用點坐標表示線段長，借助勾股定理求解。

解法1：設點E（-1，y），則[EC2=1+（y?2）2] ， [EA2=4+y2]， [AC2=13].由[AE2=AC2+EC2]. ∴[4+y2=1+（y?2）2+]13， 解得[y=72]，

∴[E（?1，72）]

解法2：解析法

先求得直線EC的解析式為[y=?32x+2]， 當x=-1時，[y=72]，

∴[E（?1，72）]。

解法3：相似法

作EF垂直y軸于點F易得△AOC∽△CFE，利用相似性質求解。

“不滿是向上的車輪”，探究至此似乎總有后續工作值得繼續反思。不妨讓學生擴大思考，自己提出相關問題。

拓展探究4：將（3）改為在拋物線對稱軸上是否存在一點E，使得△ACE為直角三角形？如何探究？

分析：分類討論當點A、C、E分別為直角頂點的情況。類比點C的方法，當點A為直角頂點，解得E（-1，-3）。當點E為直角頂點時，通過數形結合，從代數和幾何兩個角度進行求解。

解法1：由勾股定理得[AE2+EC2=AC2]，∴[4+y2+1+（y?2）2=]13，解得y1＝[1+3]，y2＝[1?3] "∴[E（?1，1+3）]或[E（?1，1?3）]。

解法2：從本質上認識：以AC為直徑的圓與直線x=-1的交點就是點E。

此時學生會發現上面的直角三角形好像與拋物線沒有關系，如何變化，可以讓拋物線重現價值呢？讓學生嘗試提出問題。

拓展探究5：在拋物線上是否存在一點E，使得△ACE為直角三角形？如何探究？這時候學生自然會聯想到類比上面的方法進行分類討論即可探索至此，我們還可以引導學生思考相關的問題。比如探索構成相似三角形或平行四邊形的問題。每個問題又有不同拓展和思考方式。

通過一題多解和拓展探究，讓學生學會思考，學會在不同條件下挖掘相關知識點的聯系，綜合運用數形結合、轉化、函數與方程、建模等基本思想，培養學生思維的靈活性和創造性，同時培養學生反思問題的習慣，不斷積累解題經驗，選出最優解題方法，提升解題能力的同時使思維得到升華。