新工科背景下常微分方程課程教學改革舉措

康霞霞 賀 艷 劉艷梅 石曉玲

①呂梁學院數學系 ②常熟理工學院數學系

根據呂梁地方應用型本科院校的實際情況，結合新工科背景下以OBE為導向的高校人才培養需求特點，以常微分方程這門課教學改革為例，提出實踐性教學改革的具體舉措.以進一步強化地方應用型本科院校的人才培養工作，助推培養創新型多元化人才，實現應用型人才培養目標.

早在2018年，《關于加快建設發展新工科實施卓越工程師教育培養計劃2.0的意見》中就已提出，要推進教學創新和綜合改革，培養復合型的“新工科”人才.隨后，教育部高教司司長吳巖，于2019年在上海關于“以新工科建設領跑中國高等教育變革”的講話，再次明確指出要落實課程改革創新舉措，提出“兩性一度”課程建設標準.與此同時，教育部在《關于一流本科課程建設的實施意見》中也明確指出，課程要體現跨專業能力融合、多學科思維融合、產業技術與學科理論融合.作為各地高校數學系本科生的專業必修課，常微分方程，在新工科背景下努力探索這門課教學改革的實踐性舉措勢在必行.下面將從課程目標和教學改革的實踐性舉措這兩個方面介紹常微分方程這門課的教學改革.

一、課程目標

新工科背景下基于OBE理念結合呂梁學院人才培養目標，數學系常微分方程課程組設定課程目標為：知識目標、能力目標、實踐目標與人文素質目標.知識目標指通過該課程的學習，學生能夠理解常微分方程的基本理論，掌握一些常微分方程的基本求解方法，并能夠運用相關的理論知識結合實際問題構建合理的數學模型.能力目標是指課程教學中有意識地引導并培養學生的自主學習、嚴密推理和創新思維意識，進而培養大學生自學能力、邏輯推導能力、抽象思維能力和創新能力等.此外，呂梁學院數學系學生在常微分方程這門課開課之前，已經通過一些實踐性課堂對matlab、mathematics、maple等軟件的使用有了初步的掌握.因此，這里的實踐目標是指要求學生會在掌握理論知識的基礎上，熟練利用這些軟件編寫相應代碼，最后借用數學軟件分析有關常微分方程問題的能力.此外，常微分方程這門課也是與諸多領域的實際問題聯系緊密的應用型課程，在教學中融入思政教育，不僅可以豐富課堂教學，激發學生學習興趣，也能更好地實現知識傳授與價值引領的有機結合.因此，所謂的人文素質目標一方面是指教師充分挖掘數學資源在課堂中滲透一些數學文化，增強數學應用意識，提升學生數學素養；另一方面是指教師充分挖掘思政元素，在常微分方程課堂教學中滲透思政教育，使得學生子在學習理論知識的同時，提升自己的思想政治素質.

二、新工科背景下教學改革的具體舉措

新工科背景下的OBE理念重點關注想讓學生取得什么學習成果，為什么讓學生取得這些成果，如何幫助學生取得這些學習成果以及怎么知道學生取得了這些成果.因此，常微分方程這門課教學改革的實踐性舉措也將圍繞這四個問題采取有效的改革措施.

（一）借助數學軟件輔助教學。

隨著互聯網時代的飛速發展，常微分方程的教學也由傳統的72個理論課時，改革為48個理論課和16個實驗課相結合.但是傳統教學模式下實驗課和理論課是相分離、并未互相支撐.為了克服這一弊端，課程團隊在平時教學也采用matlab、maple等軟件求解常微分方程，也提倡學生在平時學習中結合自己熟悉的數學軟件輔助學習這門課程.這些數學軟件的使用，不僅避免了傳統教學重數學推導輕數值求解的問題，而且也使數學由傳統的紙和筆的大篇幅抽象推導變的更加直觀現實.選擇數學軟件輔助教學，可以提高學生學習熱情，激發學生的探索精神，培養學生應用數學意識和創新意識[1].

（二）采用應用問題驅動下的案例教學。

問題驅動下的案例教學是常微分方程教學過程中重要的組成部分.常微分方程這門課理論知識量大，邏輯性很強，應用面也非常廣.傳統的教學模式將依賴于教材注重理論推導和計算，使得課堂僅僅停留在告知學生怎么做，不能激發學生對這門課的興趣，也未能實現四維課程目標[2].而應用問題驅動下的案例教學以提問的方式將理論知識轉化為具體的實際問題，并在解決問題的過程中將理論知識滲透給學生.換言之，教師設置問題情境，引導學生抓住關鍵問題，準確捕捉數學信息，從而找到解決問題的線索.

下面將結合具體實例詳細介紹應用問題驅動下的案例教學模式.

例如，在講解完伯努利微分方程的求解方法時，可以嘗試讓學生解決如下實際問題，以檢驗學生的掌握情況以及提升對所學知識的應用能力.

假設在某偏僻小島上居住有800人，某一天發現有居民感染某種傳染病，在隨后12小時又相繼發現有3位居民感染，但是該傳染病早期沒有任何癥狀，島上醫療條件缺乏，居住條件有限.因此，這些染病者并未能及時隔離，假設能有效預防該傳染病的疫苗能在60～72小時左右送達島嶼，試問在什么時候該傳染病達到高峰期？

引導學生嘗試通過構建關于染病者的數學模型解決該問題.

分析問題：傳染病傳播不同階段，傳播速率大不相同.這里將重點分析傳播中期，染病者和未染病者人數都比較多的情形.此時，染病者人數的增加必然與未染病者和染病者的有效接觸密切相關.

提出假設：基于上述分析，假設傳染率與未染病者和染病者呈正相關.

構建模型：設t時刻染病者人數為I(t)則基于上述假設可構建如下數學模型：

解決問題：結合理論分析結果可知，該島嶼上的疫情預計將在72.8小時左右達到高潮，且感染的最大規模預計為400人.

這一應用問題驅動下案例教學，不僅滲透了數學建模的思想，也讓學生親自體會到常微分這門課和實際生活的密切聯系[3-4].這種案例教學方式的生動性、直觀性和趣味性特點也將有效激發學生學習的興趣[4].而主講教師在《常微分方程》備課中則需圍繞以下問題進行教學設計.這節課需要解決什么問題？這個問題是如何建立起來的？需要用什么思想方法去解決該問題？如何引導學生利用所學知識循序漸進地去解決該問題？在課堂上抓住這些關鍵問題開展教學，可以有效調動學生學習的積極性，提高教學質量.這也是每位高校教師必備的學科素養.

（三）增加課外教學。

能夠激發一個人自主學習的基本動力是理想和興趣，常微分方程這門課程也一樣.因此，教學改革的首要任務是激發學生學習的興趣，提高學生自主學習的主動性.因此，常微分方程新大綱中為綜合實現四維課程目標，考核環節增設有大作業，即讓學生開展課題研究.

課題開展的具體過程：首先，讓學生自己找合作伙伴，每3～5人形成課外學習小組，開展課外學習.其次，結合教師引導，課外學習小組自己選取和常微分方程有關的案例作為研究課題.進一步，小組通過討論，網上查找資料結合自己課堂中學到的相關理論知識，開展自主研究探索.最后，在課程結束時，各小組整理一份前期研究成果并以PPT形式匯報該課題的完整開展過程以及取得的成果.

課外學習小組開展合作式學習，在課題研究過程中培養了學生自主學習能力和科研能力，激發了探索精神，增進了師生溝通，鍛煉了學生的綜合素質，達到了課程目標的要求.這種教學方式引導學生自主探索，初步構建數學模型，綜合分析，解決實際問題，使得學生自己深刻體會到課堂中學到的數學知識和實際生活的密切聯系.它也能有效提升學生的綜合素質，培養學生的創新精神[5].這種課外教學方式也是創新教學改革的一部分，它也完全符合新工科背景下以產出為導向的教育理念.

（四）融入課程思政。

全國高校思想政治工作會議上，習近平總書記強調要思想政治工作貫穿教育教學全過程，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應[6].《常微分方程》這門課不僅可以培養學生用數學理論知識解決實際問題的能力，還可以激發學生的愛國情懷，增強民族自信.例如，求常微分方程的通解和特解，實際上是處理一般問題和特殊問題.就如在14億兄弟姐妹組成的大家庭中，每個人都有著獨特的個性，大家也有一個最大的共性，那就是同為中華兒女.這樣巧妙將課程思政融入枯燥的理論教學中，不僅能發揮課程的育人功能，將而且能實現這門課程顯性教育功能和隱性教育功能的有機結合.

（五）改革考試方式。

呂梁學院常微分方程這門課程舊大綱中的考核由40%平時成績和60%的期末考試成績組成.這種考核方式只能考核學生對理論知識的掌握，未能考核學生實踐能力.因此，基于四維課程目標，在新大綱將考核方式改革為課后作業、單元小結、大作業、期中考試、期末考試五部分組成.課程總成績中各部分所占比例及其與課程目標對應關系如表1所示.增加單元小節以及課外教學的考核環節，可以督促學生及時回頭復習歸納，也可以避免學生考前搞臨時突擊的現象.這種綜合性考核方式更突出實踐的重要性，使學生學以致用，也調動了學生學習積極性.

三、結束語

本文結合新工科背景下的四維課程教學目標提出，借助數學軟件輔助教學，采取應用問題驅動的案例教學、增加課外教學，融入課程思政以及改革考試方式等五大教學改革的具體舉措.此外，基于這五個方面教學改革實踐，常微分課程團隊在超星爾雅平臺上建立了豐富的教學資源庫.教學資源庫分為三部分：第一部分是關于常微分方程的教學案例庫，第二部分是應用數學軟件對各類典型例題求解方法建立的代碼庫，第三部分是收集整理學生完成的研究報告庫.相信如果學生充分利用這些教學資源庫，教師把這些教學改革舉措落到實處，必將會大大提高學生學習的熱情和學習效果，也將有利于學生綜合能力的可持續發展.