深度學習視角下的高中數學課堂教學設計

張香莉

【教學內容】

人教版數學高一必修第二冊（A版）8.6.2直線與平面垂直

【理論依據】

以深度學習為理論基礎。深度學習強調通過激發學生的內在動機、培養學生的元認知能力、促進學生的深層加工和深層理解、建立學生的知識網絡和思維模式、發展學生的創造力和批判性思維等途徑，實現對知識、技能、態度、價值觀等方面的深入和全面的學習。高中數學是一門重要的基礎性和應用性學科，既有嚴密的邏輯性和抽象性，又有廣泛的實際性和啟發性。高中數學課堂教學應該遵循深度學習的原則，采用信息技術融合手段，引導學生主動探究、積極參與、合作交流、反思評價。

【教學目標】

1.通過觀察探究直線與平面垂直的概念，知道點到平面距離的概念。

2.通過實驗探究能準確應用直線與平面垂直的判定定理。

3.遵循“直觀感知—探究確認—思辨論證—應用提升”的認識過程，在認識直線與平面垂直的概念、直線與平面垂直的判定定理的過程中，體會立體幾何中研究問題的基本思路，培養數學抽象、邏輯推理等素養。

【教學重點】

發現、歸納并確認直線與平面垂直的定義和判定定理，認識斜線在平面內的射影，斜線與平面所成的角等相關概念，并能準確應用。

【教學難點】

運用點到平面的距離和直線與平面所成角的概念和方法，能自主進行探究活動并建模計算，解決實際問題。

【教學過程】

一、問題引入

活動一：你知道嗎？——課件展示生活中的垂直現象，激發學生思考

教師課前準備一些生活中常見的垂直現象的圖片或視頻展示給學生，如旗桿與地面垂直、電線桿與地面垂直、書架與墻壁垂直等。請學生觀察并提出以下問題：

1.你能說出圖片或視頻中有哪些物體之間是垂直關系嗎？

2.以上示例中哪些垂直關系可抽象為直線與平面垂直呢？

3.你知道什么叫作直線與平面垂直嗎？

教師：通過觀察生活中的垂直現象，我們直觀了解了垂直、直線與平面垂直的概念。生活中直線與平面垂直的關系還有很多，那么，大家想不想知道更多關于直線與平面垂直的知識和應用呢？

二、探究活動

活動二：你能發現嗎？——觀察實驗，發現直線與平面垂直的判定定理

教師在講桌上展示出立體幾何模型，如正方體、長方體、三棱柱、三棱錐，同時教師在大屏幕上播放兩個動畫，如沿一條直角邊固定在軸上慢慢旋轉成圓錐的直角三角板、書脊線豎直固定在桌面上慢慢翻頁的一本書等。請學生觀察并提出以下問題：

1.你能找出這些模型中有哪些直線與平面垂直的例子嗎？（如正方體的棱與底面垂直、三棱柱的側棱與底面垂直、圓錐的軸與底面圓垂直等）

2.你能說出直線與平面垂直時，直線與平面內的直線分別有哪些位置關系呢？

3.你能判斷嗎？

①直線與平面內的一條直線垂直，能說明直線與平面垂直嗎？（不能）

②直線與平面內的無數條直線分別垂直，直線與平面垂直嗎？（不能）

③直線與平面內的兩條相交直線分別垂直，直線與平面垂直嗎？（能）

4.在桌面上（或者在桌面外）取一點O，過點O作直線與桌面垂直，這樣的直線能作幾條？在直線上取一點B，過B畫一個平面與直線垂直，這樣的平面又能作出幾個？（有且唯一）

5.你能歸納出直線與平面垂直的定義和判斷方法嗎？

師總結：通過反復的實驗和推理，我們發現了一條直線與一個平面垂直的性質和判斷方法，這就是我們今天學習的定義和判定定理。

直線與平面垂直的定義：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α。畫圖時一般畫成直線l與表示α的橫邊垂直。

【注意】定義要點：

①直線與平面的垂直是相互的，直線l叫作平面α的垂線，平面α叫作直線l的垂面，它們唯一的交點P，叫作垂足。②過一點與已知直線垂直的平面有且只有一個。③過一點與已知平面垂直的直線有且只有一條。

直線與平面垂直的判定定理1：如果一條直線與平面內的任意（所有）直線都垂直，那么它就與這個平面垂直。

直線與平面垂直的判定定理2：如果一條直線與平面內的兩條相交直線都垂直，那么它就與這個平面垂直。

【追問】請同學們思考：為什么平面內的“兩條相交直線”，可以代替平面內的“任意一條（所有）直線”，而“兩條平行直線”卻不能？

師總結：從前邊的動畫中可以得出：任意改變兩條相交直線的角度大小，兩條相交線首先可以代表經過交點的任意直線，再根據異面直線所成的角定義可知，平移不改變角度，從而可以代表平面內的所有直線；而兩條平行線通過平移后可以重合為同一條直線，不能代表平面內的任意直線。同學們也可以從平面向量的角度做出解釋：兩條相交線上可以構造兩條不共線向量，作為平面的基底，表示平面內的任意（所有）向量，而兩條平行線上的向量只能是共線向量。

活動三：你能探究嗎？——構造變換，發現直線與平面垂直的性質定理

教師課前準備一些三角板、尺子、圓規等工具展示給學生。教師邀請學生利用這些工具，在紙上畫出一個平面α和它的一條垂線l，垂足為P，并提出以下問題：

1.你能在平面α內任意畫出一條過垂足P的直線m嗎？能用三角板或圓規測量一下垂線l和m所成的角度嗎？（可以）

2.你能說出垂線l和m所成的角度是多少嗎？（90°）

3.你能在平面α內再畫出另一條經過垂足P的不同于m的直線n嗎？能用三角板或圓規測量一下垂線l和n所成的角度嗎？（可以）

4.你能說出垂線l和n所成的角度是多少嗎？（90°）

5.你能在平面α內再畫出一條不經過垂足P的直線q嗎？并在平面α內過垂足P作出直線q的平行線q′嗎？（可以）

6.垂線l與直線q是否垂直？（垂直）

7.你能根據以上結果，歸納出當一條直線與一個平面垂直時，它與平面內的直線都有什么共同特征嗎？（它們都與垂線l垂直）

師總結：通過變換和測量，事實說明，直線與平面垂直的定義也可作為直線與平面垂直的性質。

直線與平面垂直的性質定理1：如果一條直線與平面垂直，那么它與這個平面內的任意（所有）直線都垂直。

三、實踐應用

活動四：你能創新嗎？——建模計算，掌握點到平面的距離和斜線與平面所成角的概念和方法

課前教師準備與點到平面的距離和直線與平面所成角相關的實際問題，如計算飛機從機場起飛到達一定高度的時間、計算太陽光線與地面的夾角等，課堂展示。并提出以下問題：

1.你能用數學語言描述這個問題嗎？（如設飛機從機場起飛時的速度為v，飛機與地面所成的角度為α，飛機到達高度為h時所需的時間為t，求t的表達式）

2.你能用數學符號表示這個問題中涉及的點、線、面嗎？（如設地面為平面α，飛機起飛時的位置為點A，飛機到達高度h時的位置為點B，飛機的運動軌跡為直線l，求t的表達式）

3.你能用圖形表示這個問題嗎？（如在紙上畫出平面α，點A，點B，直線l，并標出相關數據）

4.你能用已學知識建立這個問題的數學模型嗎？（如利用直線與平面垂直的性質定理2，得到l與α所成的角等于l與α內任意一條經過A的直線m所成的角，利用三角函數知識，以及勻速直線運動知識，得到AB=vt；聯系以上三個式子，得到t=h/〈vsinα〉）

活動五：你能解決嗎？——運用直線與平面垂直的判定定理和性質定理證明和解決空間幾何問題

教師在課前準備一些與直線與平面垂直相關的空間幾何問題，如證明正方體棱與底面對角線、面垂直，對角線與對角平面垂直、對角線與底面所成角問題等，展示給學生。邀請學生選擇一個問題，并提出以下問題：

1.你能分析這個問題涉及哪些已知條件和未知量嗎？（如設正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長為a，底面對角線AC和BD相交于點O，已知條件是正方體邊長為a，未知量是底面對角線BD與對角面AA1C1C是否垂直）

2.你能用已學知識構造證明或解決這個問題的思路嗎？（如利用正方體性質，AA1⊥ABCD，利用性質定理1，證明AA1⊥BD；又AC⊥BD，利用判定定理2，證明BD與對角面AA1C1C垂直）

3.你能用已構造的思路寫出完整的證明或解答過程嗎？（按照思路，用數學語言和符號寫出證明或解答過程，并給出結論）

教師總結：通過證明和解答，我們運用直線與平面垂直的判定定理和性質定理，解決了一些簡單的空間幾何問題。

【課堂小結】

本課我們學習了直線與平面垂直的定義，掌握了直線與平面垂直的判定定理和性質定理，并能夠運用到證明和解決空間幾何問題中。還學習了點到平面的距離和斜線與平面所成角的定義及其計算方法，并能夠運用到解決實際問題中。

【作業布置】

課后復習本課的知識要點，鞏固對直線與平面垂直的定義、判定定理和性質定理的理解和運用；課后完成教材本節練習題，檢測對點到平面的距離和直線與平面所成角的概念和方法的掌握。

【教學反思】

優點：本課以深度學習為理論基礎，以問題為導向，以實驗探究為主要方式，以實踐為支撐，以評價為反饋，構建了高中數學課堂教學設計，使學生在有意義的情境中，深入理解直線與平面垂直的定義、判定定理和性質定理，并能夠靈活運用到空間幾何問題中，同時培養了他們空間想象能力、實驗探究能力、邏輯推理能力、數學抽象能力以及創新應用能力等數學核心素養。

不足之處：本課知識頗多，信息量大，問題和實驗過程又比較抽象，對于初學者來說需要時間去探究發現和理解，所用時間較長，所以教師上課時不能搶時間趕進度，需要提前布置任務，讓學生有充足的時間做好預習和準備，才能達到更好的學習效果。

編輯：曾彥慧