對“圓”和“相似形”編排順序的思考與教學(xué)建議

【摘 要】 “圓”和“相似形”是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，現(xiàn)行各版本初中數(shù)學(xué)教材的編排順序不盡相同.通過比較分析國內(nèi)各版本教材以及美國和日本幾何教材中這兩部分內(nèi)容的編排順序，探討成因，并結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，給出教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】 圓;圖形與幾何;相似形;編排順序

“圓”和“相似形”（本文主要指“相似三角形”）都是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的重要內(nèi)容.浙教版的初中數(shù)學(xué)九年級上冊教材將“圓的基本性質(zhì)”排在“相似三角形”之前.但在教學(xué)實(shí)踐中，很多老教師常常調(diào)整教學(xué)順序，先教“相似三角形”，再教“圓”.教材的編排順序是否具有普遍現(xiàn)象？其背后蘊(yùn)著怎樣的邏輯？對學(xué)生的學(xué)習(xí)會產(chǎn)生怎樣的影響？

1 各版本教材比較分析

我國現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)教材主要是依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》.在編寫過程中，教材編寫者會考慮學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律和心理發(fā)展規(guī)律，并保持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)科自身的邏輯體體系.2000年以后，教育部加大了教材編寫權(quán)的開放力度，出現(xiàn)了多個版本的教材，不同版本的教材在內(nèi)容組織、知識結(jié)構(gòu)和教學(xué)方法上存在一定差異.但是都是以“課標(biāo)”為編寫依據(jù).

由表1可知，按“相似形—圓”順序編排的教材最多，其次是按“圓—相似形”順序編排.而浙教版教材是唯一將“圓”內(nèi)容拆分成兩部分，并將“相似形”排在中間.共同點(diǎn)是，各版本教材基本上都是將圓和相似形編排在九年級［1］.此外，三種編排方式都將“銳角三角函數(shù)”和“投影”緊隨“相似形”之后.

再比較國外教材關(guān)于這兩部分內(nèi)容的編排.日本東京版［2］（2011年版）：基本屬于“相似形—圓”型編排順序，位置和我國教材大致相當(dāng).美國ML版［3］《幾何》教材也是屬于“相似形—圓”型編排.不同的是，美國這版教材把“相似形”提前到八年級上冊，緊隨“全等三角形”之后，“圓”的內(nèi)容也是安排在九年級.由此可見，絕大部分教材都選擇用“相似形—圓”型編排方式.2 教材編寫依據(jù)分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“教材編寫要努力凸顯特色，積極探索教材的多樣化.”同時，課標(biāo)還建議：“教材編寫應(yīng)體現(xiàn)科學(xué)性，整體性.即整體體現(xiàn)課程內(nèi)容；整體考慮知識之間的關(guān)聯(lián)；重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想要體現(xiàn)螺旋上升的原則等.教材內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的形成過程，反映數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程.”［4］

數(shù)學(xué)中的一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識過程，逐步理解和掌握的，教材在呈現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容和思想方法時，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識積累，在遵循科學(xué)性的前提下，采用逐級遞進(jìn)、螺旋上升的原則.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標(biāo)”三個主題.“相似三角形”是屬于“圖形的變化”主題［5］.它向上承接的是全等三角形，是全等三角形的自然延申和拓展，是從特殊的相等到一般的成比例的深化.同時，相似也是學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)、投影與視圖的基礎(chǔ).所以說相似在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用，它具有較廣泛的應(yīng)用.由于相似三角形對學(xué)生的分析能力、理解能力、邏輯推理以及建模思想要求較高，故一般教材安排在九年級教材中，個別版本安排在八年級下冊.

而“圓”是屬于“圖形的性質(zhì)”主題.它是在學(xué)習(xí)了直線圖形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究的一種特殊的曲線圖形.圓是常見的幾何圖形之一，它具有軸對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性，在初中數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位.圓與其它知識的綜合性較強(qiáng)，能夠很好地體現(xiàn)幾何直觀、邏輯推理等核心素養(yǎng)，且在生活中有廣泛的應(yīng)用，因此，一般教材將這部分內(nèi)容編排在九年級.3 關(guān)于編排順序的思考

3.1 從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展角度分析

學(xué)生從八年級的“全等”到九年級的“相似”，從特殊到一般，研究的數(shù)學(xué)思想和方法可以類比遷移，中間又經(jīng)歷了特殊三角形和特殊四邊形的學(xué)習(xí)，已經(jīng)積累了對圖形的豐富的感性認(rèn)識、一定的邏輯推理論證能力和利用幾何模型分析解決實(shí)際問題的能力.這為相似形和圓的學(xué)習(xí)提供了堅(jiān)實(shí)的知識基礎(chǔ)和能力基礎(chǔ).九年級的“圖形和幾何”要求學(xué)生具備更高的邏輯思維能力和推理能力.把相似形和圓安排在九年級體現(xiàn)了螺旋式上升的編排體系，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特征.

相似三角形的概念相對比較直觀，學(xué)生更容易理解和接受.在學(xué)習(xí)相似三角形的過程中，學(xué)生逐步建立起對圖形的比例關(guān)系、相似性質(zhì)等的認(rèn)識，這為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的相關(guān)知識奠定了一定的基礎(chǔ).在圓的學(xué)習(xí)中，會涉及到一些與相似相關(guān)的問題，如圓與相似三角形的結(jié)合等，這樣學(xué)生能夠更好地理解和應(yīng)用這些知識.

而圓的知識相對來說更加抽象，需要學(xué)生有一定的抽象思維和空間想象能力.先學(xué)習(xí)相似三角形可以幫助學(xué)生逐步提升這些能力，再學(xué)習(xí)圓時就會更加順利一些.這也是大多數(shù)教材選擇“相似形—圓”型編排順序的原因.

3.2 從數(shù)學(xué)的邏輯和連貫性分析

“圓”承接于七年級的平行線和八年級所學(xué)的三角形及特殊四邊形之后，它們都同屬于“圖形和幾何”領(lǐng)域的“圖形的性質(zhì)”主題，從直線形到曲線形，從簡單到復(fù)雜，符合數(shù)學(xué)自身內(nèi)在的邏輯體系.而“相似形”從屬于“圖形的變化主題”，能力和要求是全等三角形的延續(xù)和進(jìn)階.從邏輯和連貫性角度看，“圓—相似形”編排似乎更合理些，這可能是少數(shù)教材選擇這樣編排的原因.

但是，相似三角形涉及到比例關(guān)系、相似性質(zhì)等基本概念，在圓的學(xué)習(xí)中，會用到相似三角形的知識來解決一些問題，比如圓與弦、切線等相關(guān)的計(jì)算和證明.而相似三角形是研究圖形之間的關(guān)系，基本可以不涉及圓的內(nèi)容.因此，“相似形—圓”型編排順序能使知識的銜接更加順暢，學(xué)生也更容易理解和掌握.另外，相似三角形的性質(zhì)與圓的性質(zhì)有較多的相關(guān)性，圓中涉及的相似問題較多，先學(xué)相似三角形有助于學(xué)生更好地理解圓的性質(zhì)和特點(diǎn).4 教學(xué)建議

基于以上的分析，如果教師所用是“圓—相似形”型編排順序的教材，可以考慮調(diào)整教學(xué)順序，即先教相似三角形再教圓.

“相似形”提前教學(xué)時要注意幾個問題：首先，要重視基礎(chǔ)的建立.通過生活中的實(shí)際例子或幾何圖形，向?qū)W生展示相似三角形的特點(diǎn)和性質(zhì)，幫助他們感受相似三角形的概念;其次，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生理解相似三角形的比例關(guān)系，包括邊長之比、高度之比、面積之比等，通過比例關(guān)系來加深對相似三角形的理解;再次，應(yīng)充分類比學(xué)習(xí)全等三角形的判定和性質(zhì)的方法，通過引導(dǎo)學(xué)生主動觀察、試驗(yàn)、猜想、推理驗(yàn)證與交流等數(shù)學(xué)活動掌握相似三角形的判定.

在學(xué)習(xí)相似三角形之后，引入圓的相關(guān)知識，包括圓的基本性質(zhì)、弧長、扇形面積等內(nèi)容.結(jié)合相似三角形的概念，引導(dǎo)學(xué)生理解圓的直徑、半徑、圓心角、弦等要素.然后設(shè)計(jì)綜合性的練習(xí)，結(jié)合相似三角形和圓的知識，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力，加深對概念的理解和掌握.

如果不調(diào)整順序，按照教材的編排教學(xué)，即先教圓后教相似三角形.在開始階段，要引導(dǎo)學(xué)生了解圓的定義、半徑、直徑、圓心角等基本概念，通過生動形象的比喻或圖象來幫助學(xué)生理解和記憶.通過圖形展示圓的特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生對圓的興趣，幫助其對圓的概念有直觀的認(rèn)識.在學(xué)習(xí)完相似三角形后，應(yīng)設(shè)計(jì)一些綜合性的問題.建議補(bǔ)充圓中的相似專題，結(jié)合相似三角形和圓的知識，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力，以及邏輯思維和解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)

［1］朱光.新課標(biāo)下“浙教版”與“北師版”初中數(shù)學(xué)“空間與圖形”比較研究［D］.長春：東北師范大學(xué)，2012：18.

［2］余萍.中日初中數(shù)學(xué)教材圓和相似圖形的比較研究［D］.杭州：杭州師范大學(xué)，2018：12.

［3］田一君.中美初中幾何知識編排的比較［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（中旬）：高中版，2016（08）：18-19.

［4］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2011年版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：60-63.

［5］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：62-63.

作者簡介 朱光（1979—），男，浙江溫州人，碩士，中學(xué)一級教師;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)表論文10余篇.