指向思維進階的推理性作圖教學

【摘 要】 以推理性尺規作圖為抓手，通過“過直線外一點作這條直線的平行線”教學實施，推動學生思維方式、思維結構和思維品質從低階走向高階，從而提升學生學科素養.

【關鍵詞】 思維進階；推理性；尺規作圖；教學策略

在義務教育階段，數學思維主要表現為運算能力、推理意識或推理能力.布魯姆按照認知方式，將認知行為分為記憶、理解、應用、分析、評價與創造，其中記憶、理解、應用稱為低階思維方式，分析、評價與創造稱為高階思維方式.尺規作圖是強化幾何直觀的重要抓手，是發展學生思維能力的重要載體.教師應加強尺規作圖中思維能力培養，從而助推學生思維進階、素養提升.

1 尺規作圖的價值意蘊

尺規作圖起源于古希臘的數學問題，指用沒有刻度的直尺和圓規來解決不同平面幾何作圖題.以“尺規作圖”為關鍵詞在《義務教育數學課程標準（2011年版）》和《義務教育數學課程標準（2022年版）》中分別搜索發現，2011年版的課標中出現3次，而在2022年版新課標中出現了15次，可見尺規作圖的重要程度提升了.從內容上細看，新課標中新增兩個作圖要求——能用尺規作圖：過直線外一點作這條直線的平行線；*能用尺規作圖：過圓外一點作圓的切線（例76）.同時在“圖形與幾何”領域中強調通過實驗探究、直觀發現、推理論證來研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實的基礎上，從基本事實出發推導圖形的幾何性質和定理，理解和掌握尺規作圖的基本原理和方法；通過尺規作圖等直觀操作的方法，理解平面圖形的性質與關系；經歷尺規作圖的過程，增強動手能力，能夠想象出通過尺規作圖的操作所形成的圖形，理解尺規作圖的基本原理與方法，發展空間觀念和空間想象力［1］.

2 尺規作圖中的思維進階要素分析

“思維進階”指學生基于學習主題所遵循的思維層級發展的路徑描述.思維進階過程是一個復雜的思維行進過程.參照布魯姆認知理論，將學生在尺規作圖思維認知上的表現劃分為三個水平等級.水平一為記憶、理解層次，學生通過回憶，從問題本質出發分析作圖，在頭腦中建立起與要求直接相關的知識，以此培養形象與抽象思維能力.水平二為應用、分析層次，學生能夠聯想數學基本幾何圖形并遷移應用，以提高關聯意識及推理能力.水平三為評價、創造層次，學生能總結歸納已有的方法并進行客觀評價，最終以本為本，以提升批判性思維，確保思維可持續發展.由此可見，尺規作圖方法的生成過程可以促進學生思維認知水平不斷向縱深發展，逐步形成高階思維［2］.

3 指向思維進階的推理性作圖教學探索

縱觀近幾年中考有關尺規作圖的題目靈活度明顯加大，對尺規作圖的考查形式多樣，把作圖與計算、推理、判斷、證明等數學思維活動有效融合，既體現了動手實踐的數學思維活動，也考查了學生運用數學思考解決問題的能力，發展了空間觀念和空間想象力.下面筆者結合“過直線外一點P作這條直線l的平行線”一節尺規作圖復習課，談談對指向思維進階的推理性作圖的教學思考與建議.

3.1 探尋思路，讓思維綻放

思維進階需要設階，為此應通過問題喚醒學生思維的起點.教師首先提出問題“如何經過直線外一點作這條直線的平行線”，啟發學生明確問題的關鍵是“作平行”.然后借助追問，從學生的最近發展區出發，調取直觀記憶理解作圖本質.最后“倒過去”想，找到與問題相關聯的知識，以便將這些零散知識縱橫聯系，形成整體結構，讓思考從無序到有序，讓知識從單點結構向多點結構發展，并自然形成如圖1所示思維結構圖.

3.2 凸顯本質，讓思維明晰

數學內容的產生都是基于一定的現實或理論，只有努力挖掘知識背景，才能揭示必要性、合理性，才能讓學生認識到其本源所在、本質所指［3］.有意義的學習離不開活動.為了激活學生思維，助推學習真實發生，教學應在學生舒適區開始，從而給學生“悅”的體驗.教師在引導學生回憶與“平行”關聯的知識后，還需幫助學生從尺規作圖角度逐個擊破各種平行線的作法，從而打通初中幾何圖形各知識模塊的隔斷墻，發展學生能力，培育學生素養.

利用角作平行線其本質就是作一個角等于已知角.在教學中，應首先抓住契機，復習“作一個角等于已知角”的基本畫圖步驟，為學生思維進階提供可靠的腳踏點和支撐點，并讓學生自主歸納這樣作圖兩個角就相等的道理（常用的兩個根據是“SSS”證明兩個三角形全等和同圓或等圓中相等的弦所對的圓心角相等）.其次，對于比較淺顯的，學生自己能夠學會的，教師要放手學生讓其自主探索.如利用“同位角相等，兩直線平行”來解題.如圖2過點P作任意一條直線與直線l交于點A，構造∠PAB；在點P處構造與∠PAB大小相等的同位角.同理，可利用“內錯角相等，兩直線平行”“同旁內角互補，兩直線平行”以及“垂直于同一直線的兩條直線平行”等思路作圖.在學生動手操作、動眼觀察和動腦思考中，教師要引導學生歸納其本質都是作一個角等于已知角，從而完成對構造同位角、內錯角、同旁內角三種方法的統一，從通性通用走向特事特辦，從知識的應用轉向思想的滲透，促進思維進階.

3.3 借力原型，讓思維活躍

在復習中，教師若只關注知識內容的按序依次展開進行“識記、理解與應用”，未能形成基于富有挑戰性的問題進行知識多維整合與關聯，未能促進“分析、評價與創造”，就不能實現由低階思維向高階思維進階［4］.在課堂教學中，對于新舊知識有直接聯系的原型，教師要通過啟發、點撥、鼓勵等方式因勢利導，激活其內在思維及創造性，從而使學生積極地參與學習活動、創造性地開展活動.教師應該鼓勵學生多角度思考問題，提升思維品質，增值學習經驗.

為了發展學生思維，挖掘學生創新潛力.教師要廣開言路，讓學生充分地想、有條理地說.如有學生利用三角形中位線構造平行，依據中位線的性質“三角形的中位線平行于第三邊”作圖.教師通過追問，一要明確構造三角形中位線的關鍵是要找中點，二是過點P的線不一定是中位線，可能是定理中的“第三邊”，從而得到如圖3、圖4兩種不同作圖方法.

又如有學生利用平行四邊形來作圖，在經歷過上面的教學環節后，學生已經能夠借助平行四邊形的判定進行有序思考，從而歸納得到三種思路：利用一組對邊平行且相等構造平行四邊（如圖5），其本質是先“作一個角等于已知角”，再“作一條線段等于已知線段”；利用兩組對邊分別相等構造平行四邊形（如圖6），其本質是兩次“作一條線段等于已知線段”；利用對角線互相平分構造平行四邊形（如圖7），其本質是“作一條線段的垂直平分線”，再“作一條線段等于已知線段”.實際教學中，還有學生提出可以將平行四邊形特殊化——作矩形，本質上就是作兩次“過一點作已知直線的垂線”.

再如有學生利用“角平分線+等腰三角形→平行”這個原型進行作圖.如圖8，構造∠PAB，作∠PAB的平分線，以點P為圓心、PA為半徑畫弧，交∠PAB的平分線于點Q，則直線PQ即為所求.還有的學生想出另一種作圖方法（如圖9）.在此活動中，學生不僅復習“作一個角的平分線”的作圖過程，同時對“過直線外一點作這條直線的平行線”生成新的認識，產生新的思考.

知識和方法大多都要經歷發生、發展和完善的過程，在習得方法之前需厘清知識的來龍去脈，挖掘其背后所隱藏的數學本質，這樣才能初步養成講道理、有條理的思維品質，并逐步形成理性精神.通過借助基本圖形，學生的能力不再是停留在知識的識記、理解和應用的低階思維層面上，而是經歷了畫草圖“倒過去”想的分析過程，在一題多解中主動比較、多角度評價，歸納出最簡單最便于操作的方法，經歷從無到有，從有到優，從優到簡的思辨過程，不知不覺中讓思維拾階而上，向高階發展.

3.4 關注過程，讓思維逐高

尺規作圖能力的提升體現在知識和方法應用的有序化、結構化，還體現在思維遷移的規律性.為了進一步促進學生深度學習，教師在關注學生“知能”的同時，更要關注評價能力、創新能力的培養.在引導學生舉一反三、學以致用過程中，培養學生批判性思維能力，厚植問題解決經驗，從而化淺學為深究.

為了防止學生思維“滑過”，當問題存在多解時，教師不要固化學生思維，而要讓學生進行比較、歸納和總結，助推其從多解走向優解.由于這是九年級一輪復習課，當學生思路受阻的時候，教師通過追問：從小學到現在，還有哪些知識里面有“平行”.有幾個學生竟然能夠主動翻閱課本，并帶動了周圍的學生一起到書本中尋求靈感，從自己翻書作獨立思考到抱團討論，整個過程無需任何引導，均自然而然地發生.如有一位學優生首先想到蘇科版教材九年級上冊第48頁的一道題目，并展開思路——任取一點O，確保以點O為圓心、OP長為半徑的圓與直線l相交，記交點分別為E，F（如圖10）.以點F為圓心、PE長為半徑畫弧，交⊙O于點Q，則直線PQ即為所求.還有一位學生在這種方法的基礎上想到構造△PMN與△QNM全等（源自八年級上冊課本第36頁復習鞏固第7題），繼而推出PQ∥l（如圖11）.這些作法雖相對抽象，不易理解，但通過學生自身努力挖掘到也在情理之中.學生能夠主動翻閱課本積極學習，通過“合作”，主動建立問題之間的聯系，這是解決數學問題乃至所有問題時必須要有的思考和聯想，從而化復雜為簡單，化陌生為熟悉，化未知為已知，讓思維走向深遠！

3.5 提煉方法，讓思維創新

縱觀初中三年的尺規作圖學習，學生已經初步掌握了一些作圖方法，教師一要注意設計的問題應處于學生現有水平和未來水平之間；二要在作圖教學過程中培養學生“由什么條件能想到什么結論”“要想得到什么結論需要知道什么前提”的關聯意識和推理習慣；三要借助有意義的教學環節，如組織、引導、激勵，從而發展學生的高階思維能力.

在課后小結階段，教師要引導學生反思學習過程，積淀學以致遠的學習經驗.如在尺規作圖的過程中，通過直觀操作的方法，增強了動手操作能力；通過畫草圖，想象所形成的圖形，有利于形成作圖的正確思路；通過深度剖析尺規作圖的基本原理與方法，從數學本質出發來進行推理總結，學會“倒過去”分析問題，發展逆向思維能力；通過規范作圖語言的表達和作圖過程，培養邏輯推理能力；通過準確提取作圖依據，對已有知識進行系統化的遷移、內化和應用，做到一題多解，多解歸一，能提升對幾何性質、定理的理解與運用能力.通過這些方法的提煉，便于學生由識記單知識點到構建知識體系，形成完整的認知過程，完成思維的進階，最終在頭腦中形成結構化的知識與方法，提升核心素養（思維進階如圖12）.

在推理性作圖教學過程中，廣大教師要聚焦學生是否學會、會學、愛學、樂學，從而鍛造學生思維方式、思維能力和思維品質.當然，我們還可以繼續限制作圖的工具或者工具的使用次數展開變式追問，從而開展富有理解性、批判性、結構化、創造性的深度學習，推進學生思維不斷進階.

參考文獻

［1］

中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］B.S.布盧姆.教育目標分類學［M］.羅黎輝，丁證霖，譯.上海：華東師范大學出版社，1986.

［3］石志群.數學教學如何突出數學本質［J］.數學通報，2019（06）：23-26.

［4］葛余常.促進思維進階的初中數學深度教學改進：以“由35所想到的……”專題復習為例［J］．中學數學月刊，2023（02）：1-3.

作者簡介 梅婷（1988—），女，江蘇泰州人，中學高級教師，曾獲得泰州市優質課一等獎，江蘇省青年教師基本功比賽二等獎.

葛余常（1966—），男，江蘇興化人，中學正高級教師，江蘇省特級教師.