探折紙操作 析多樣解法 顯素養立意

【摘 要】 《義務教育數學課程標準（2022年版）》最重要的變化是提出了“數學課程要培養學生的核心素養”，為此，試題命制要能夠體現素養立意.試題解法的多樣，為有不同活動經驗的學生提供更多的思考切入點.通過對2024年江蘇省宿遷市中考第28題正方形翻折類試題多樣性解法的探析，談談對以素養立意的中考命題的思考.

【關鍵詞】 折紙操作；多樣性解法；素養立意

中考數學壓軸題是中考試題創新的重要體現，一經發布，其解題方法和命題分析就備受師生的關注.筆者考后與學生分享2024年江蘇省宿遷市中考第28題壓軸題時發現，解題方法多樣，評價維度多元，試題結構新穎，凸顯素養立意.本文通過對2024年江蘇省宿遷市中考第28題正方形翻折類試題解法的探析，談談對以核心素養為導向的命題思考.

1 試題呈現

（2024年江蘇省宿遷市第28題）在綜合實踐活動課上，同學們以折疊正方形紙片展開數學探究活動.

【操作判斷】

操作一：如圖1，對折正方形紙片ABCD，得到折痕AC，把紙片展平；

操作二：如圖2，在邊AD上選一點E，沿BE折疊，使點A落在正方形內部，得到折痕BE；

操作三：如圖3，在邊CD上選一點F，沿BF折疊，使邊BC與邊BA重合，得到折痕BF.

把正方形紙片展平，得圖4，折痕BE，BF與AC的交點分別為G，H.

根據以上操作，得∠EBF=______°.

【探究證明】

（1）如圖5，連接GF，試判斷△BFG的形狀并證明；

（2）如圖6，連接EF，過點G作CD的垂線，分別交AB，CD，EF于點P，Q，M.求證：EM=MF.

【深入研究】若AGAC=1k，請求出GHHC的值（用含k的代數式表示）.

2 解法探析

G·波利亞指出：好的思路來源于過去的經驗和以前獲得的知識［1］.一方面，從學生角度分析，通過義務教育階段的學習，學生積累豐富的數學活動經驗，因此，在解答中考壓軸題會呈現多樣性的解題思路；另一方面，從命題角度分析，命制的試題解法多樣，為有不同活動經驗的學生提供更多的思考切入點.

對于【操作判斷】：∠EBF=45°

對于【探究證明】（1）：

方法一 利用四點共圓

思路1：如圖5，因為∠ACD=∠ACB=12∠BCD=45°.又∠EBF=45°，所以∠EBF=∠ACD.根據“同底同側頂角相等的兩個三角形，四點共圓”，推出點G，B，C，F四點共圓.所以∠GFB=∠ACB=45°.又因為∠EBF=45°，所以∠BGF=90°.所以△BFG是等腰直角三角形.（也可證∠BFC=∠BGC，得G，B，C，F四點共圓.）

方法二 利用相似三角形

思路2：如圖5，由思路1得，∠EBF=∠ACD.因為∠BHG=∠CHF，所以△BHG∽△CHF.所以BHCH=GHFH.因為∠GHF=∠BHC.所以△GHF∽△BHC.所以∠GFB=∠ACB=45°.所以∠BGF=90°.所以△BFG是等腰直角三角形.

思路3：如圖6，因為∠AEG=∠GEF，∠DAC=∠EBF=45°，所以△AEG∽△BEF.所以AEBE=GEEF.又∠AEG=∠GEF，所以△ABE∽△GFE.所以∠EGF=∠EAB=90°.因為∠EBF=45°，所以△BFG是等腰直角三角形.

思路4：如圖7，連接BD，交AC于點O.證得∠DBF=∠ABG，∠BAG=∠BDF=45°.所以△ABG∽△DBF.所以ABBD=BGBF.因為∠EBF=∠ABD=45°，所以△ABD∽△GBF.所以∠BGF=∠BAD=90°.所以△BFG是等腰直角三角形.（事實上，只需連接BD，通過“等量換比”及兩次相似可以證△GBF∽△OBC∽△OCD∽△ODA∽△OAB∽△DAC∽△ADB∽△BCA∽△BCD，進而得證.）

方法三 利用平面直角坐標系

思路5：如圖8，以點B為原點，分別以BC，AB所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系.設AB=1，E（a，1），F（1，b），所以yBE=1ax，yAC=-x+1.可得G（aa+1，1a+1），所以yFG=（b+ab-1）x+1-ab.由（1-a）2+（1-b）2=（a+b）2，所以b+ab-1=-a.因為kFG·kBE=-1，所以FG⊥BE.所以∠FGB=90°.可得△BFG是等腰直角三角形.

方法四 利用旋轉（典型錯誤剖析）

思路6：如圖10，將△CBF繞點B逆時針旋轉90°至△ABC′，連接GC′，EF，所以△CBF≌△ABC′，所以BC′=BF，AC′=CF.因為EF=AE+CF，所以C′E=EF.所以BE垂直平分C′F.所以∠FGB=90°.因為∠EBF=45°，所以∠GFB=45°.所以△BFG是等腰直角三角形.

分析：學生在解題過程中易將點C′，G，F三點看作在一條直線上，直接得出∠FGB=90°.如何證明C′，G，F三點共線？一是，類比思路5，如圖9，先求出直線FC′的解析式，后判斷點G在直線FC′上，故C′，G，F三點共線；二是，參考文［3］的思路，證明C′G+GF=C′F，故C′，G，F三點共線.學生作答時若未證明點C′，G，F三點共線，則解題過程不完整.

對于【探究證明】（2）：

方法一 利用平行線

思路1：如圖6，因為四邊形ABCD是正方形，所以∠EAB=90°.因為PQ⊥AB，所以∠GPB=90°.所以∠EAB=∠GPB=90°.所以PG∥AD.所以∠PGB=∠AEB.因為∠PGB=∠EGM，∠AEB=∠BEF，所以∠MEG=∠MGE.所以ME=MG.由等角的余角相等，可得MG=MF.所以ME=MF.

方法二 利用三角形全等

思路2：如圖11，由（1）得∠FGB=90°，BG=FG，PQ⊥AB.所以△PBG≌△QGF.所以PG=QF.因為PG=AP=DQ，所以DQ=QF，又PQ∥AD，所以ME=MF.（如圖12，過點E作EN⊥PQ，垂足為N.可證△EMN≌△FMQ求解.）

方法三 利用等腰三角形的軸對稱性

思路3：如圖13，連接DG.由軸對稱性可得DG=BG.因為△BFG是等腰直角三角形，所以BG=FG.所以DG=GF，因為PQ⊥AB，所以DQ=QF，又PQ∥AD，所以ME=MF.

方法四 利用垂直平分線

思路4：如圖14，連接DM.因為四邊形APQD是矩形，所以AP=DQ.由思路2得PG=QF，又因為AP=PG，所以QF=QD.因為PQ⊥AB，所以DM=MF.所以∠MDQ=∠MFD.由等角的余角相等得∠EDM=∠MED，所以DM=EM.所以MF=ME.

對于【深入研究】：

方法一 利用代數推理

思路1：如圖6，設AG=1，則AC=k.所以PA=PG=22，DC=22k，所以CF=2（k-2）2.所以CFDC=k-2k.因為AB∥CD，所以CHAH=CFAB=k-2k.所以CH=k2-2k2k-2，HA=k22k-2.所以HG=k2-2k+22k-2.所以GHHC=k2-2k+2k2-2k.

方法二 構造垂線

思路2：如圖15，過點G作GN⊥BC，垂足為N，交BF于點M.因為GM∥CF，CF∥AB，所以△GHM∽△CHF，△ABH∽△CFH.所以GHHC=GMCF.因為AGAC=1k，所以BNBC=1k.所以BNBC=NMFC=1k.設AP=1，CF=k-2.所以BNBC=NMCF=1k=NMk-2.所以NM=k-2k.因為GN=k-1，所以GM=k2-2k+2k，又CF=k-2，所以GHHC=GMCF=k2-2k+2k2-2k.

思路3：簡證：如圖16，設AP=1，由PQ∥BC，所以PB=k-1，CF=k-2.由勾股定理得BG=k2-2k+2，因為∠EBF=45°，所以GK=22k2-2k+2.由面積法可得CN=k2-2k2×k2-2k+2，由△GKH∽△CNH，得GHHC=k2-2k+2k2-2k.

方法三 在外部構造相似

思路4：如圖17，延長BF交PQ的延長線于點M.設AP=1，則AB=k，所以PB=k-1，CF=k-2.因為△MFQ∽△BFC，所以MQBC=FQFC.所以MQk=1k-2.所以MQ=kk-2.所以GM=k-1+kk-2=k2-2k+2k-2.所以GHHC=GMBC=k2-2k+2k2-2k.

方法四 利用模型

思路5：如圖18，利用兩個相同的等腰直角三角板拼成的模型的結論GH2=BG2+CH2.如圖4，設AG=1，則AC=k.令GH=x，CH=y，由題意得，x+y=k-1，x2=y2+1.可以得出x+y=k-1，x-y=1k-1.解得x=k2-2k+22（k-1），y=k2-2k2（k-1）.所以GHHC=k2-2k+2k2-2k.

思路6：簡證：如圖19，利用操作判斷所得圖3的模型，過點B作BS⊥EF，垂足為S，連接GS，SH.可得∠GSH=90°.設AG=1，則AC=k.令GH=x，由勾股定理得x2=（k-x-1）2+12，x=k2-2k+22k-2，所以GHHC=k2-2k+2k2-2k.

方法五 利用平面直角坐標系

思路7：如圖20，以點B為原點，分別以BC，AB所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系.設AP=1，所以PG=1.所以yAC=-x+k，yBF=k-2kx.所以G（1，k-1），H（k22k-2，k2-2k2k-2）.所以CHGC=yHyG=k2-2k2k2-4k+2.所以GHHC=k2-2k+2k2-2k.

方法六 利用三角函數

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）對于三角函數知識要求為，利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數值［2］69.但部分學生提前學習涉及高中的三角函數相關知識，故得出思路8.

思路8：如圖6，設AP=1，則AB=k，所以tan∠PBG=PGPB=1k-1.因為∠EBF=45°，∠ABC=90°，所以∠FBC=45°-∠PBG.用高中三角函數誘導公式，得tan∠FBC=FCBC=FCAB=k-2k.證得GHHC=k2-2k+2k2-2k.

3 素養表現

《課標（2022年版）》總目標是：通過義務教育階段的數學學習，學生逐步會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界［2］.2024年江蘇省宿遷市中考第28題著重考查學生對初中數學主干知識的掌握程度以及在學習過程中核心素養的發展情況.

（1）通過對空間觀念、幾何直觀和創新意識的考查引導學生用數學的眼光觀察現實世界.如“操作判斷”以圖形軸對稱運動為背景，在不同水平上考查學生觀察和探索經過運動變化形成的新圖形的性質，以及運用發現的性質解決問題的能力，考查空間觀念；如“探究證明”思路4，連接BD后，目之所及的8個等腰三角形都可與△BFG相似，進而發現解決問題的思路和方法，考查幾何直觀;如學生發現判斷△BFG的形狀以及求GHHC的值（用含k的代數式表示）有難度時，能利用非常規的建立平面直角坐標系求解，嘗試用代數的方法研究幾何對象之間的關系和性質（坐標幾何），考查創新意識.

（2）通過對運算能力和推理能力的考查引導學生用數學的思維思考現實世界.數學家伍鴻熙指出：“推理是數學的命根子.”章建躍博士說：“運算是數學的童子功.”不難得出，運算和推理是初中數學的“關鍵能力”.如“操作判斷”求∠EBF的度數以及“深入研究”求GHHC的值，特別是求GHHC的值，若選擇適合的方法計算量較小，選其它方法計算量較大，著重考查運算能力；判斷△BFG的形狀、求證EM=MF，更多考查學生的推理能力.

（3）通過對模型觀念和應用意識的考查引導學生用數學的語言表達現實世界.如“深入研究”思路6利用“操作判斷”的模型可以快速、準確求出GHHC的值，考查模型觀念；如“探究證明”和“深入研究”中多樣性解法，考查學生能否發現題干中蘊含的邏輯關系，結合所給數據應用符合實際要求的最優解決問題的能力，考查應用意識.

4 命題分析

4.1 立足基礎，素養導向眾所周知，基礎知識與基本技能是發展學生核心素養的有效載體.因此，以核心素養為導向的試題編制也必須涵蓋學生的基礎知識和基本技能.試題以教材中最基本的正方形為背景，設計了多層次、多角度由淺入深的探究性問題.這些問題旨在創設與學生的認知水平和思維方式相匹配的問題情境，考查學生分析、解決問題過程中的關鍵能力，凸顯素養導向.

4.2 回歸操作，注重理解

試題設計讓學生在經歷折疊正方形紙片的的操作實踐中，獲得直接的經驗和體驗，建構真正的數學理解.如學生在折紙操作的探究中，充分理解圖中形成的線段與角，就能更好的靈活運用.

4.3 創新設計，結構合理

傳統的試題通常采用“串聯”結構，然而，這種結構存在一個問題：當學生無法解決前一個問題時，會對后續問題束手無策，這樣的設計無法真實考查出學生的實際水平.反之，本道中考壓軸題從最簡單問題為起點，編制考查學生3個思維不斷進階的探究性問題.問題鏈之間既有一定的邏輯關聯性，又有個體的獨立性.從關聯性看，“深入研究”的思路6就是在理解“操作判斷”的基礎上得出的解決方法，“探究證明”需用到“操作判斷”的結論等；從獨立性看，學生在無法證明EM=MF情況下也可以直接對“深入研究”進行求解，實現考查關注學情差異，突顯評價維度多元化的目的.總之，前后問題鏈的“并串聯”邏輯關系和學習經驗一致，利于學生作答和展示自己對數學的理解.

5 結束語

《課標（2022年版）》增加了學業質量標準和考試命題建議，并明確提出了“堅持素養立意，凸顯育人價值”的命題原則［4］.試題設計從“操作判斷”到“深入研究”，緊密結合數學情境，合理構建數學問題.這種設計注重基礎性，強化綜合性，并堅持開放性與探究性.借此，試題不僅考查學生靈活運用所學知識和方法的能力，還引導教學回歸教材，促進評價與教學的良性互動，最終實現以核心素養為導向的試題命制.

參考文獻

［1］G·波利亞.怎樣解題［M］.上海：上海科技教育出版社.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］周斌.創生激活：讓數學課堂教學真正發生［J］.數學通報，2023，62（01）：26-29.

［4］許柱，周斌.一道中考網格作圖題多樣性解法的探究與思考［J］.中學數學雜志，2022（12）：59-63.

［5］章建躍.“圖形的變化”課程教材設計與教學［J］.數學通報，2023，62（02）：1-8+63.

作者簡介 許柱（1977—），男，江蘇泗洪人，中小學高級教師，宿遷市初中數學兼職教研員；主要研究中學數學教育.