根植教材 注重推理 滲透人文 促進銜接

【摘 要】 2024年度山東省濱州市中考數學試題，積極踐行《義務教育數學課程標準（2022年版）》理念，不落窠臼，守正創新，在根植教材、注重四基考查基礎上，從“強化代數推理，凸顯幾何直觀”“關注數學文化，滲透數學育人價值”“促進初高銜接，關注核心素養發展的一致性”等角度進行了探索.

【關鍵詞】 試題評析；代數推理；幾何直觀；課程育人；初高銜接

初中學業水平考試是終結性考試，承擔了學生學業水平即初中三年學習情況的評價任務，又具有高中招生考查繼續學習潛能的選拔功能.2024年濱州市學業水平考試題切實發揮了“兩考合一”的性質，具有基礎性與普適性，注重“四基”的考查；又具有層次性和梯度性，實現“四能”目標的落實.在“四基、四能”統合力下進一步考查了學生的關鍵能力、思維品質，有效落實了核心素養的評價目標，具有良好的導向性、教育性.

1 根植教材，注重四基考查

“四基”是教學永恒的追求，也是考查永恒的目標，什么時候也不能削弱.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準（2022年版）》）在“課程理念”部分指出“課程目標以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步強調使學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗”［1］.與時俱進的“四基”，拓寬了基礎的領域，更加突出了學生的數學素養與“四基”的密切關系.而教材是課標的物化載體，是課程目標和課程內容的具體化，是教師教學和學生學習的主要資源，以及命題最公平化的參考資料.中考題的命制過程也是挖掘教材中例題、習題教育價值的過程.尊重教材，理解教材，以教材為依據設計的試題，應然是命題的基調，本試題的24道題都能在教材例習題找到原型，相當數量的基礎題即教材中例、習題的直接引用或稍作改變而成，即使是綜合題也是基礎題的組合、加工和拓展，是對教材資源的進一步開發與利用.充分體現了命題者對“四基”的重視，對教材的理解.其意在于引導數學教學的方向，使其真正步入新課程改革所倡導的課程育人大方向和數學思維發展的主方向上來.下面僅以第15題為例闡述.

試題呈現 15.如圖1，四邊形AOBC的四個頂點的坐標分別為A（－1，3），O（0，0），B（3，－1），C（5，4），在該平面內找一點P，使它到四個頂點的距離之和PA＋PO＋PB＋PC最小，則P點坐標為 """.

試題評析 本題改編自人教版七年級上冊150頁第15題.課本原題只要連接對角線得交點即可，對應考查的是“兩點之間、線段最短”這一基本事實，重點指向幾何直觀、模型觀念之核心素養.《課程標準（2022年版）》在“圖形與坐標”中指出：在平面直角坐標系中用坐標表示圖形上點的位置，用坐標法分析和解決實際問題；感悟平面直角坐標系是溝通代數與幾何的橋梁，感悟通過幾何建立直觀、通過代數得到數學表達的過程；強調數形結合，用代數方法研究圖形［1］71.基于此，在原題基礎上進行了改編，把四個點置于平面直角坐標系中，將圖形與坐標聯系在一起，融合了一次函數及一次函數與二元一次方程組的關系等知識，在原題考查內容的基礎上，還綜合考查了基本運算技能，待定系數法、消元、數形結合等基本思想和方法，以及抽象能力、模型思想、推理能力.

植根于教材的創新試題在保證公平性的同時，減少了因機械訓練、押題猜題對考試產生負面影響的誤差，啟示廣大教師“刷題”收效不大，立足教材扎扎實實地全面復習才是王道.這為扭轉當前一些學生被動學習方式和教師不重視教材“以練代教、代學、代思”的教學方式有重要意義.以此倡導教師要致力于教材資源價值的開發，讓教材發揮其應有的“范本”功能，提高教師開發以教材為主的課程資源的能力.

2 強化代數推理，凸顯幾何直觀

加強代數推理是《課程標準（2022年版）》提出的要求，也是發展學生數學核心素養的重要抓手.《課程標準（2022年版）》明確闡述：“初中數學中，在圖形與幾何領域有推理或證明的內容，在數與代數領域也有推理或證明的內容.在直觀理解和掌握圖形與幾何基本事實的基礎上，經歷得到和驗證數學結論的過程，感悟具有傳遞性的數學邏輯，形成幾何直觀和推理能力.”［1］144本試題中很多題目關涉幾何直觀、代數推理，有的還將二者融合在一起相互助力進行考查.如第7題、8題、12題、15題、16題、21題、23題等.

2.1 通過數形結合，顯化代數推理

試題呈現 8.劉徽（今山東濱州人）是魏晉時期我國偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基者之一，被譽為“世界古代數學泰斗”．劉徽在注釋《九章算術》時十分重視一題多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導，他給出了內切圓直徑的多種表達形式．如圖2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的長分別為c，a，b．則可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的內切圓直徑d，下列表達式錯誤的是

A.d=a+b-cB.d=2aba+b+c

C.d=2（c-a）（c-b）D.d=（a-b）（c-b）

試題評析 本題除了彰顯數學文化元素外（后有論述），還有意識地把代數推理通過幾何背景顯化出來，實現了數與形的結合.四個選項中，A，B兩個選項可以通過勾股容圓的圖形，利用切線長定理、切線性質以及直角三角形內切圓的性質、直角三角形面積公式及分割法求三角形面積等直接推演出來.確定這兩個選項的過程本身就是代數推理，而C，D兩個選項可以結合選項A借助式的恒等變形，利用完全平方公式及二次根式的化簡，通過代數推理作出判斷.即2（c－a）（c－b）=2c2+2ab－2ac－2bc

=a2+b2+c2+2ab－2ac－2bc=（a+b－c）2=a+b-c.可知此選項正確.不正確的答案為D.

試題呈現 21.【問題背景】

某校八年級數學社團在研究等腰三角形“三線合一”性質時發現：

①如圖3，在△ABC中，若AD⊥BC，BD=CD，則有∠B＝∠C；

②某同學順勢提出一個問題：既然①正確，那么進一步推得AB＝AC，即知AB+BD＝AC+CD．若把①中的BD＝CD替換為AB+BD＝AC+CD，還能推出∠B＝∠C嗎？

基于此，社團成員小軍、小民進行了探索研究，發現確實能推出∠B＝∠C，并分別提供了不同的證明方法．

小軍：分別延長DB，DC至E，F兩點，使得……

小民：∵AD⊥BC，∴△ADB與△ADC均為直角三角形，依據勾股定理，得……

【問題解決】

（1）完成①的證明；

（2）把②中小軍、小民的證明過程補充完整.（說明：完成兩種證明方法中的任意一種即得5分，兩種全部完成得滿分7分.）

試題評析 本題以學生熟悉的等腰三角形為載體，從經典的“三線合一”這一性質的逆命題出發進行研究，再現發現問題、提出問題、進而分析問題、解決問題的全過程，蘊含研究圖形的基本方法和研究思路.其研究過程即包括對圖形形成過程的理解，又包括對圖形結構的剖析.本題第（2）問的兩種解法，其一由于提示了輔助線變得相對簡單，采用幾何證明的常規思路推理論證即可；其二是利用勾股定理通過數與形的結合落實了幾何直觀與代數推理的有機融合.在獲得△ADB與△ADC均為直角三角形基礎上，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，進而（AB－BD）（AB＋BD）＝（AC－CD）（AC＋CD），又AB＋BD＝AC＋CD，故AB－BD＝AC－CD，得出AB＝AC，則∠ABC＝∠ACB.可見，本小題從勾股定理出發，利用平方差公式變形及方程的運算，從數與式的視角進行代數推理，以代數表達為抓手，探索圖形的數量關系，從而進行驗證，使學生真切感受代數式變形、解方程等代數推理的魅力，在代數邏輯論證的過程中，逐步形成推理能力.用代數推理驗證幾何結論.

2.2 通過畫圖作圖，強化幾何直觀

《課程標準（2022年版）》在學業要求中指出：“經歷尺規作圖的過程，增強動手能力，能想象出通過尺規作圖的操作所形成的圖形，理解尺規作圖的基本原理與方法，發展空間觀念和空間想象力.”［1］71尺規作圖重在“明理”，在動手作圖之前，先要在腦子中建立目標圖形的大致形狀，或畫出草圖，借助草圖去分析圖形數量及位置之間的相互關聯，從而找到解決的突破點.然后動手作圖，實現“構圖—析圖—解圖”的過程.尺規作圖體現學生對幾何圖形屬性的認識，折射出學生的邏輯推理能力.學生通過理解圖形，經歷動手操作的過程，感受圖形形成過程中的遷移與轉化，這樣知法明理悟道的學習過程，有助于學生在空間觀念的基礎上進一步建立幾何直觀，提升抽象能力和推理能力，促進數學思維生成.本試題的第16題和第23題（2）問做了有益的探索.

試題呈現 16.如圖4，在邊長為1的正方形網格中，點A，B均在格點上．

（1）AB的長為 ""；

（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出以AB為邊的矩形ABCD，使其面積為263，并

簡要說明點C，D的位置是如何找到的（不用證明） ""．

試題評析 本題通過只用直尺作矩形強化幾何直觀，條件是借助網格給出了一條線段，營造了“趙爽弦圖”的蓄勢，由此把構造直角三角形的全等給逼了出來，這都是幾何直觀的作用所在.特別是限制只用直尺，無形中增強了挑戰性，倒逼學生只能用好關鍵的格點.

試題呈現 23.②一塊三角形余料MNH（如圖5），要把它加工成菱形零件，使它的一個頂點與△MNH的頂點M重合，另外三個頂點分別在三邊MN，NH，HM上，請在圖上作出這個菱形.（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

試題評析 本題是23題的第（2）問，第（1）問的第2小題嵌入了角平分線定理的逆命題，通過結論探索為接下來的尺規作圖搭了支架.第（2）問依托生活情境，順勢給出了菱形的幾何作圖，其本質是作三角形的內接菱形，且本作圖不是單一的告知性作圖，而是需要綜合考量菱形的判定方法.假設把菱形作了出來，然后逆向探測如何構造菱形，這是地地道道的逆向思維，對學生是一種挑戰.本題有著寬闊的入口，其解決途徑多樣，為不同的學生開啟了不同的思考路徑，全方位考查了初中學段的五種基本作圖.總體觀之方法有兩類：一類是顯性作出角平分線，然后再作角分線的中垂線或構造平行線，而構造平行線方法又多樣，可以作一個角等于已知角，可以構造中位線，可以構造平行四邊形；還可以隱形構造角平分線，即通過作菱形去完成等等不一而足.

顯性作角分線的方法有五：

如圖6，作∠M的平分線MQ，作MQ的垂直平分線；

如圖7，作∠M的平分線MQ，作∠NQP＝∠H，得PQ∥MH，在MH上截取MR=MP；

如圖8，作∠M的平分線MQ，作∠NQP＝∠H，∠RQH＝∠N，得PQ∥MH，RQ∥MN；

如圖9，作∠M的平分線MQ，構造以MN為中位線的△M′Q′Q從而得平行；

如圖10，作∠M的角平分線，以MN，NQ為邊作平行四邊形得QR∥MP，再截取PM=MR.

隱形的如圖11，就是在△MNH中以頂點M為頂點以構造任意菱形，連對角線得角平分線，然后重復顯性的5個作圖.由此可見，本題有10種不同作圖方法，且把初中學段關于平行線的構造方法來了個大盤點：從同位角（內錯角）相等到中位線到平行四邊形到菱形，步步進階.

尺規作圖是代數與幾何的紐帶，對加深各知識的關聯，體現數學的整體性，以及促進學生對知識的理解大有裨益.縱觀整個作圖歷程，完整呈現了尺規作圖的“一般觀念”：畫目標圖形—想作法—作圖—證明—應用，尺規作圖重在教“思維”，讓學生明白作法背后的數學原理［2］.

3 關注數學文化，滲透數學育人價值

數學的發展源遠流長，數學文化是人類文化的一種，它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分，數學的德育價值是課程育人功能的集中體現.作為“文化”的數學，要充分展示數學知識發生、發展及應用的過程，體現數學的人文價值，而其中“數學的觀念、意識和思維方式”是“數學文化”的核心，在數學學習中具有極其重要的作用.《課程標準（2022年版）》指出，“課程內容的選擇要關注數學學科發展前沿與數學文化，繼承和弘揚中華優秀傳統文化.”［1］92優秀的外國傳統文化，也可以借鑒吸收；關于試題的命制也指出，可以“設計合理的生活情境、數學情境和科學情境，適當引入數學文化”［1］2.基于課標的定位，命題者深入挖掘教材內的數學文化元素，顯化為考場上的德育資源，引導學生在初中學段的最后一次實戰練習中，喚醒自己的知能儲備，再次習得助力于自己可持續發展、可有效增值成長的知識，再次彰顯課程思政的育人功能，讓學生在最后一堂課中受到德育教育，體悟到數學文化的魅力.本套試題中有多處體現了這一理念.

其中第3題通過數學中常見的“懸鏈線”“黃金螺旋線”“三葉玫瑰線”和“笛卡爾心形線等精美的曲線考查了軸對稱圖形，解題的同時讓學生感受到數學的對稱美.第8題則來源于人教版九上教材第103頁第14題，以蘊有歷史背景的“勾股容圓”為切入點，把原本的解答題改編為選擇題，且把四個選項分別設為整式、分式、二次根式、含絕對值的超越式，涵蓋了初中學段的所有式，是對其圖形的深入探索、自身變形及推理演變，既從形的角度，直觀感知圖形的關系，又從數式的角度進行推理，綜合考查了學生的幾何直觀、代數推理、運算能力等核心素養.尤其是挖掘出了本土的著名數學家劉徽，用劉徽對勾股容圓的研究為背景，不但是數學文化的一種展示，數學魅力的一種感受，更是數學素養的一種演繹，以此增強學生對本土數學家的認同感和自豪感，體驗數學的人文價值和古人的智慧，激發學生的家國情懷.19題統合于人教版八上教材第147頁第15題（2）小題，159頁13題第（2）小題及教參第297頁的拓展材料，將潛藏于數學教材的文化元素挖掘出來，以歐拉分式為背景，以函數的對應思想為基，把分式化簡融入.學生答題的同時，可感受到數學家歐拉的偉大與智慧，以此涵養學生的數學情趣及求真向善的心性.

另外，第16題是一個多元復合且隱性滲透數學文化的題目，它立足八下教材39頁第9題，營造了曾作為2002年國際數學家大會徽標“趙爽弦圖”的蓄勢，將教材章頭圖中的趙爽弦圖巧妙嵌入，考查了全等三角形的構造、矩形的判定，尤其把二維的面積值轉化為一維的線段長，是解決本題的瓶頸所在，同時也折射出轉化思想的光輝.可見，其中既有隱形的數學文化，又有構造性思維和代數推理思維，具有思維的挑戰性，是一道有創意的好題.

4 促進初高銜接，關注核心素養發展的一致性

《課程標準（2022年版）》加強了學段銜接，指出要了解高中階段學生特點和學科特點，為學生進一步學習做好準備；還指出，以核心素養為導向的考試命題，要關注數學的本質［1］91.初中學業水平考試肩負著為高中選拔優秀學生的任務，選拔的學生既要有扎實的基礎，也要有繼續學習的潛能與學習力，為此本套試題設計了有利于高中后續學習所需知識的問題，意在考查學生對所學知識的深層次認知，體會知識產生、發展的來龍去脈，達到對所學知識靈活運用之目的.如23題的第（1）問的②和第24題.

試題呈現 24.【教材呈現】現行人教版九年級下冊數學教材85頁“拓廣探索”第14題：

（第14題圖）

14.如圖，在銳角△ABC中，探究asin A，bsin B，csin C之間的關系．（提示：分別作AB和BC邊上的高．）

【得出結論】 asin A＝bsin B＝csin C．

【基礎應用】 在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=2，利用以上結論求AB的長．

【推廣證明】 進一步研究發現asin A＝bsin B＝csin C不僅在銳角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且還滿足asin A＝bsin B＝csin C＝2R（R為△ABC外接圓的半徑）．

請利用圖12證明：asin A＝bsin B＝csin C＝2R．

【拓展應用】 如圖13，四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝3，CD＝4，∠B＝∠C＝90°．求過A，B，D三點的圓的半徑．

試題評析 本題源自人教版九年級下冊85頁第14題（其實就是高中的正弦定理），以此為背景，通過“教材呈現”等5個序列化進階式欄目，在原本考查銳角三角函數概念及化歸（斜化直）思想的基礎上，邊學、邊用、邊證、邊推廣并拓展應用，把三角函數從直角三角形范疇擴至一般三角形中，體現了從特殊到一般的數學研究路徑.即首先借助教材原題呈現正弦定理（銳角三角形）并直接應用.然后是正弦定理的另一證明方法的探究及在圓中的延伸拓展，此處用到的理論基礎和證明方法俱為初中學段的重要內容和方法，以此推出其結論—高中學段的正弦定理.基礎應用部分，若沒有正弦定理的支持，也能通過斜化直來處理，拓展應用同樣，也可以直接作出直徑，通過銳角三角函數、勾股定理及圓的有關性質合力解決，但均需要構造較為復雜的輔助線等創造性思維的助力，而用正弦定理不然，能順勢衍生出簡單解法，即使是拓展應用部分，結合解直角三角形的方法和正弦定理，即學即用，綜合運用考場上的所學也不難解決，這些都為學生的后續發展起到了很好的引領作用.中考中，在考查幾何直觀、幾何模型和幾何推理能力的同時，多一些代數推理意味的題目，能較好的推動初、高銜接的教學導向［3］42，踐行以評促教，初中延伸點觸及高中的下銜點，彈奏出核心素養發展一致性的韻律.5 結束語

本試題根值學生使用的教科書，關注數學本質，注重通性通法的考查，把代數推理與幾何直觀融合，顯性或隱性的滲透了數學文化，并關注了核心素養發展的一致性，通過中考命題與教學實踐的結合點與著力點，形成了課標與考查的有效對接，進而導航教學，引領一線教師要在真正通透課標、吃透教材、理解教材、理解教學、理解學生基礎上下功夫，厘清課程內容的脈絡，用單元整體觀統籌布局，在每一個課節中不失時機地誘導學生深度思考、引發學生深切體驗、升華學生深刻領悟，觸及數學內在本質，把握知識縱橫聯系，化知為識，轉識成智，進而形成數學學科“大概念”，讓發展學生核心素養有效落地.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準：2022版［M］．北京：北京師范大學出版社，2022：89．

［2］駱文娟.從《原本》與“課標”談尺規作圖教學［J］.數學通報，2022，61（12）：17-21.

［3］牛方云，邢成云.立足教材·指向素養·守正創新：一道2023年濱州市中考壓軸題探析［J］.中學數學教學參考（中旬），2023（26）：40-43.

作者簡介 牛方云（1974—），女，山東鄒平人，中學高級教師;濱州市名師、濱州市學科帶頭人、濱州市優秀教師、濱州市最美教師、濱州市教學能手，多次獲得省市優質課一等獎，省教學成果一等獎;主要研究方向是課堂教學研究.

邢成云（1968—），男，山東無棣人，中學正高級教師（二級教授）;國家“萬人計劃”教學名師、山東省特級教師、齊魯名師、山東省有突出貢獻中青年專家;主要研究方向是課堂教學及其理論研究.